Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 53
Текст из файла (страница 53)
— Прим. ред Поэтому полученные выше результаты относительно устойчивости гироскопа Лагранжа с верхним расположением центра тяжести можно непосредственно перенести на рассматриваемый случай. Гироскоп Лагранжа с верхним расположением центра тяжести становится устойчивым в центрально-симметричном поле тяготения, если выполняется условие 302 8.
Гироскоп в центрально-симметрияном поле тяготения относительно тела, так и в пространстве. Ось вращения должна быть вертикальной: езз — — аз»ото. (8.27) Выяснить, возможно ли такое движение, можно проще всего, если умножить (8.9) скалярно на зь Из (8.27) и равенства ото = сопи( следует, что озоны»аз~В»газззз = (38)К) и;, »азГВ»зазззг. Это равенство выполняется не только в малоинтересном особом случае етоз = 38Я, но и при произвольной скорости вращения соо, если е,,а, В»зазгзг= О. (8.28) Это условие идентично полученному выше условию (3.93), поэтому и в рассматриваемом здесь обобщенном случае геометрическое место возможных осей вращения образует в теле конус Штауде.
Однако при исследовании устойчивости обобщенных вращений Штауде обнаруживаются некоторые различия. Пожарицкий [59) показал, что область устойчивых осей вращения на конусе Штауде в обобщенном случае несколько больше, чем в классическом случае однородного поля тяготения. 8.3. Вращательные движения искусственных спутников Для спутника, вращающегося в центрально-симметричном поле тяготения и не имеющего неподвижной точки, в качестве начала отсчета выбирают центр масс М, движение которого исследуется с помощью теоремы о количестве движения (7.2), Используя для силы тяготения выражение (8.1) и предполагая, что масса т спутника постоянна, из (7.2) получаем оР а»Йз — — — утлв " р аглз.
(ди)з Вследствие Равенства )тнз = Р, + и, подинтегРальнаа фУнкциЯ зависит не только от расстояния )г до центра притяжения, но и от формы и ориентации спутника. Поэтому орбитальное движение спутника не является независимым от его вращательного движения. Следовательно, к теореме о количестве движения (8.29) следует присоединить теорему о кинетическом моменте, которая в силу (8.3) выражается равенством а'о, Ггй» вЂ” + е, »со Н» = — утвеы» ) — е(т.
лт ! (ян)з (8.30) Чтобы с помощью вектора угловой скорости ин определить ориентацию спутника относительно некоторой надлежащим образом выбранной системы отсчета, следует использовать кинематиче- 3.3. Вращательные движения искусственных спутников 303 ское соотношение. Оно может быть получено, например, из обобщенного уравнения (1.55), примененного к вертикальному единичному вектору ам, В центрально-симметричном поле тяготения этот вектор всегда направлен от притягивающего центра к спутнику; следовательно, его направление при движении спутника по орбите не остается постоянным. Если вертикаль вращается с угловой скоростью Й„то справедливо равенство Иаи а'ан — = — + е„ввз,азв = ез! агаев.
Основные уравнения (8.29) — (8.3!) образуют в совокупности систему двенадцатого порядка, так как уравнение (8.29) представляет собой векторное уравнение второго порядка, а уравнения (8.30) и (8.31) — векторные уравнения первого порядка. С помощью интегралов, справедливых для орбитального движения, а также интегралов кинетического момента и энергии порядок системы можно несколько понизить, но не настолько, чтобы, согласно теории интегрирования Якоби, можно было найти полное решение. Трудности в нахождении решения прежде всего обусловлены необходимостью рассматривать совместно орбитальное и вращательное движения.
8.3.1. Частные решения общих уравнений движения. Прежде чем будут обсуждены технически важные приближенные решения для малых спутников, укажем на некоторые частные решения общих уравнений. Эти решения удается определить, если ввести ряд существенных ограничений на параметры системы и начальные условия. А именно указанные ограничения накладываются на: !) форму тела (т.
е. на его эллипсоид инерции), 2) траекторию центра масс, 3) ориентацию тела относительно траектории, 4) характер движения. В качестве примера рассмотрим спутник, имеющий форму стержня, у которого А = В, С= 0 и центр масс движется по круговой орбите вокруг притягивающего центра, т. е. зс = сопз1. Введем орбитальную систему координат (оси 1, 2, 3), как пока- зано на рис. 8.2; ось 1 перпендикулярна к плоскости орбиты, ось 2 направлена по касательной к орбите, а ось 3 направлена вдоль вертикали.
Если материальная точка с массой т движется с постоянной скоростью по окружности радиуса 1с, то центробежная сила должна уравновешивать силу притяжения: г лзелз тйю!с = тЫ = у оз откуда находим значение круговой частоты обращения спутника 12,=)/уа=)~у Я (8.32) 304 З. Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения Промежуток времени, за который совершается один оборот, вычисляется по формуле Т, = — = 2п3/Р/д. (8.33) Если для д и )т взять значения, соответствующие земной поверхности, то период Т, будет равен 84,3 мин (период Шулера). Эта земная константа, найденная Шулером [60) в другой связи, представляет наименьшее возможное время одного оборота для спутника Земли.
Рнс. 8.2. круговая орбита спутняна, обращающегося вокруг прнтягяаающего центра о, н орбитальная снстема координат тося ц 2, ар Частные решения системы уравнений (8.29) — (8.31) легко обнаружить, если ось стержня совпадает с одной из осей орбитальной системы координат (рис. 8.2). Рассмотрим каждую из трех указанных ориентаций. Положение П1: ось стержня 3' направлена вдоль оси 3. Тогда система главных осей инерции тела совпадает с орбитальной системой координат (оси 1, 2, 3). Ориентация и характер движения задаются векторами азу =(О, О, 1), еуу =(1)пь О, 0), где через ьапт обозначена подлежащая определению круговая частота обращения спутника по орбите. Векторы (8.34) превращают уравнение (8.30) в тождество, так как все его члены обращаются в нуль (правая часть вследствие того, что г;'зле), а.з.
Вращательные движения искусственных снутннкоа ааа Из (8.31), учитывая равенство «тз = ьеь находим угловую скорость поворота вертикали лом — =амлота,а =(О, — ь1ПЬ 0). Наконец, нз (8 29) вследствие равенства )сп = ()с + г) )хх,/гс и (8.32) получаем, полагая хтт = 1сх)г, г е Г ог лаем = — ая Лен )г Ф Если длина стержня равна 2Л, то для интеграла в последней формуле справедливо следуюгцее выражение: с хтг рис Я -1- г)е лх — В' ЯЯ вЂ” Сх ' -с (8.35) Тогда уравнение (8.35) принимает вид е ~он - г Ре+ и, у к % = А + 11 ~)се = О. 18.36) Это дифференциальное уравнение имеет решение 0 — з(п ьагит соз Цп( =[ (8.37) которому соответствует равномерное вращение радиуса-вектора )се с угловой скоростью аи,=ае 1 (8.38) )г1 — (С(Л)' и периодом вращения тп, = —" )Г1 — (ЦЛ)а, (8.39) Таким образом, спутник в форме стержня, ось которого направлена к центру притяжения, движется по орбите несколько быстрее, чем материальная точка, круговая орбита которой совпадает с траекторией центра масс М стержня.
Для спутника конечных размеров обнаруживается отклонение от известного движения Кеплера Положение И: ось стержня направлена вдоль оси 2 (рис. 8.3). Тогда решение основных уравнений будет аа~ =(О, — 1, 0), (8. 40) «т~ —— (ьац, О, 0). В уравнении (8.30) левая и правая части обращаются тождественно в нуль: левая часть в силу (8.40), а правая часть 806 8.
Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения вследствие того, что интегралы от — Ь до 0 и от 0 до Ь взаимно уничтожаются. Из (8.31) следует, что талас — = нтгьто)аеь =(О, О, — ь232). Наконец, уравнение (8.29) с использованием введенных выше обозначений приводится к виду 2 3 Г п2 + гГ леЙ~= — 0~)с)3 ) а (па+ га) Ь Для интеграла получаем следующее выражение: )2 +г щ)2 с(г = яа т Л а)/)ра )а -с поэтому окончательно имеем Рт+ ()пйг — — О, 2 где угловая скорость вычисляется по формуле 1 ьлн ьло 4 'т' ( + (Цм)' (8.41) Данной угловой скорости соответствует период обращения тн= ™„Ь'1+ (Цг). (8.42) Этот период больше, чем время одного оборота материальной 2 Рис.
3.3. Частный слуеая ориентации сеиааиныл со спутником осей Р, 2', 3' относительно орбитальной системы ноорлинат ~оси Ь 2, ЗЬ точки, движущейся по траектории центра масс М стержня. Ниже при исследовании общего случая будет показано, что положение 11 неустойчиво (см. п. 8.3.4а), 8.3. Вращательные двнхчения искусственных спутников 307 Положение 1: ось стержня направлена вдоль оси 1 (рис. 8.4). В этом случае решение имеет вид ааР— — (О, 1, О), втт =(О, О, вто), (8.43) где значение угловой скорости йто произвольно.
Проведя аналогичные предыдущим вычисления, получим ьлт = ь)п и, следовательно, Тй = Тц, т. е. период обращения такой же, как и в случае П. Рис. 3Л. Частный случай ориентации связанных со сиутииком осей и, 2'. 3' относительно орбитальной системы координат заси ь 2, аь Тот факт, что стержень вращается вокруг своей продольной оси с произвольной угловой скоростью втв, становится понятным, если учесть, что вследствие С = О этому вращению не соответствует никакой составляющей кинетического момента. Следует еще упомянуть о том, что в принципе такое вращение вокруг продольной оси стержня допустимо также в случаях П и 1П.
Установленные здесь на примере стержня результаты можно распространить и на другие тела простой формы, такие, как круговое кольцо, круговой диск, круговая цилиндрическая оболочка, круговой цилиндр (Гофер [61)). Во всех случаях оказывается, что время одного оборота тела отличается от периода обращения материальной точки, удаленной на такое же расстояние )4 от притягивающего центра, что и центр масс тела. Если тело занимает положение с меньшей потенциальной энергией, чем энергия материальной точки, то и период его обращения будет меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
