Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Про- стейшая форма (!.75) теоремы о кинетическом моменте и, — =М, Н полностью определяла закон движения тела. В случае тела, не имеющего неподвижной гочки, эта же форма теоремы о кинетическом моменте может быть использована для описания вращательного движения тела вокруг центра масс. Однако такое тело может иметь, помимо вращательного, и поступательное движение, поэтому для полного определения движения нужно использовать еще и теорему об изменении количества движения — закон импульса Н~ — =рс Ж Импульс твердого тела с массой т выражается формулой !, = ) о,.
дт= гаазы (7.3) где оз — скорость центра масс 5. В силу (7.3) теорема (7,2) для системы с постоянной массой может быть записана в форме закона движения центра маее га "г ~и (7.4) Согласно этому закону, центр масс системы движется как материальная точка массы т под действием всех внешних сил Рь приложенных к телу. Закон кинетического момента (7.1) и закон импульса (7.2) или (7.4) в общем случае взаимосвязаны, так что они не могут применяться независимо один от другого. Действительно, силы гг в большинстве случаев зависят от углов поворота тела или от угловых скоростей, определяемых законом кинетического момента, и, наоборот, момент М; может зависеть от положения центра масс тела, его скорости или ускорения, которые определяются из закона 27о 7.
Вращение тел, не имеющих неподвижной точки импульса, Лишь в частных случаях эти законы могут оказаться не взаимосвязанными. Важным примером такого случая может служить падение тела в однородном поле тяжести. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то вес остается единственной внешней силой. Сила веса приложена в центре тяжести 5 и не создает относительно него никаких моментов. Это значит, что поступательное движение тела можно найти, используя лишь закон импульса, а для определения вращательного движения достаточно одного закона кинетического момента.
Однако уже для центрального поля тяготения (это относится и к Земле) такая независимость, строго говоря, не имеет места. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 8. Само собой разумеется, что для тела, не имеющего неподвижной точки, любую точку можно принять за полюс, вокруг которого оно вращается, но тогда закон кинетического момента придется использовать в его общей форме (1.76). Для упрощения же вычислений эту точку целесообразно совместить с центром масс. В следующих параграфах рассматривается два типа движения тел, не имеющих неподвижной точки. Будут рассмотрены тела, свободно движущиеся в пространстве и обладающие, таким образом, шестью степенями свободы, и тела, которые, подобно игрушечному волчку, имеют постоянный контакт с горизонтальной опорной плоскостью.
7 1. 1'кроскопическис эффекты при свободном полете тела Любое брошенное, падающее или летящее тело испытывает действие сил земного притяжения. Если нет никаких других внешних сил, то траектория центра масс тела в центральном поле тяготения Земли имеет вид эллиптической дуги (эллипс Кеплера), которую часто с достаточной степенью точности можно заменить параболой. Характер вращательного движения тела и его влияние на траекторию центра масс существенно зависят от внешних сил и моментов, действующих на тело, помимо силы тяжести.
Ниже рассматриваются некоторые явления, представляющие технический интерес. Движение спутников более подробно исследуется в гл. 8. Находящийся в полете диск имеет, как правило, значительный кинетический момент, вектор которого перпендикулярен плоскости диска. При броске правой рукой вектор кинетического момента направлен вниз (рис.
7.1). Вследствие искривления траектории вектор скорости центра масс почти сразу же после броска не совпадает с плоскостью диска. В таком положении, кроме аэродинамической подъемной силы и силы лобового сопротивления, возникает опрокидывающий момент М;; его направление показано на рисунке. Момент не приводит к опрокидыванию диска, но вызывает его прецессию, так что плоскость диска медленно поворачивается влево, если смотреть в направлении полета. 7.1. Гироскопические эффекты при свободном полете тела Рию 7.1. Скорость ос, кинетические момент ИГ и момент аэродинамических свл МС для 3 летящего диска. и; Рнс.
7.2. К обьяснеиню бокового отклонения вращающегося камешка, отскакивающего от новерхности воды. Благодаря значительному кинетическому моменту — диск имеет достаточно массивный металлический обод — скорость прецессии весьма мала и за малое время полета не приводит к заметному повороту. Эту прецессию легко можно наблюдать, если вместо диска воспользоваться картонным кружком (скажем, подставкой из-под пивной кружки). При броске правой рукой кружок наклоняется влево, а при броске левой рукой — вправо. Аналогичное явление, правда с обратным знаком, можно наблюдать на плоском камешке, брошенном над спокойной поверхностью воды, когда ои, многократно касаясь воды и отскакивая от нее, пролетает значительное расстояние.
Можно заметить, что при броске правой рукой траектория камешка в конце его полета всегда отклоняется вправо, а при броске левой рукой — влево. Объяснить это совсем не сложно. Во время полета в воздухе плоский камешек, как и свободно вращающийся гироскоп, сохраняет свою ориентацию 1как и диск). При ударе о воду нижней стороной (рис. 7.2) камешек испытывает действие момента гидродинамических сил. Направление этого момента как раз противоположно 278 7 Вращение теа, не имеющих неподвижной то жи направлению момента, действующего на диск.
Под действием момента камешек прецессирует и с каждым отскоком от воды все больше наклоняется направо. Наклон вызывает поперечную силу, приводящую к искривлению траектории. 7.1.1. Гироскопическая стабилизация снарядов. Очень подробно исследованы гироскопические явления при полете вращающихся снарядов, обладающих значительным кинетическим моментом.
Известно, что снаряды с правосторонним вращением, если смотреть в направлении полета, отклоняются от плоскости стрельбы вправо, а снаряды с левосторонним вращением — влево. Качественное объяснение этого явления достаточно просто, но количественный анализ представляет большие трудности (см, например, (54, 55)). Момент аэродинамических сил М; стремится повернуть снаряд, изображенный на рис. 7.3, вокруг горизонтальной поперечной оси, однако, поскольку снаряд обладает кинетическим моментом Н» возникает прецессия и ось снаряда отклоняется вправо. На рис. 7.4 схематично изображено поведение оси снаряда (рисунок соответствует левостороннему вращению). Представим себе единичную сферу вокруг центра масс, поступательно перемещающуюся вместе с ним.
Рассмотрим точки пересечения с этой сферой оси симметрии снаряда и касательной к его траектории. Вследствие искривления траектории точка пересечения касательной перемещается вниз (точки 1 — 5). Если ось снаряда первоначально проходила через точку О, то ее прецессию можно изобразить дугой окружности с центром в точке 1, считая точку 1 пока неподвижной. Через некоторое время касательная к траектории перейдет в точку 2; теперь прецессия оси снаряда изобразится дугой окружности с центром в точке 2 и радиус окружности будет другим. Такими шагами можно получить некоторое приближение поведения оси снаряда. Отсюда можно установить два существенных факта: во-первых, ось снаряда наклоняется вместе с касательной к траектории; вовторых, она отклоняется влево.
Отклонение оси снаряда приводит к появлению поперечной аэродинамической силы, вызывающей отклонение траектории. В действительности процесс происходит, конечно, непрерывно, но оба следствия, полученные на упрощенноя схеме, остаются в силе. Для правильного выбора кинетического момента снаряда существенны два обстоятельства. Во-первых, кинетический момент Н = Сото должен быть достаточно велик, чтобы снаряд не потерял устойчивости под действием аэродинамических сил и не опрокинулся. Это требование выражается условием устойчивости, практически совпадающим с известным условием устойчивости (3.70), выведенным для тяжелого симметричного гироскопа (случай Лагранжа). Если аэродинамический момент пропорционален углу от- 7.!. Гироскопические аффекты при свободном полете тела 279 Н7 Рис.
7.3. Скорость ог, кинетический момент Нг и момент аэродинамических сил М,, для Я летящего снаряда. адлда Рис. 7дй Примерное поведение оси снаряда в полете. клонения и (М = йа), то условие устойчивости снаряда имеет Вид Нй= Сейте ) 4йА. (7.5) е = —.= —.= .
) 1. М М 6 НЬ Свай (7.6) Бывают случаи, когда условия (7.5) н (7.6) не могут быть выПолиеиы одновременно. При малом кинетическом моменте Не Во-вторых, надо стремиться к тому, чтобы ось снаряда не слишком сильно отклонялась от касательной к траектории. При очень большом кинетическом моменте направление оси снаряда вообще оставалось бы неизменным, так что угол отклонения все время возрастал бы. Ось снаряда должна иметь возможность следить за направлением касательной к траектории, как это изображено нз рис. 7.4. Отношение скорости прецессии тр к скорости поворота касательной 6 называют коэффициентом слежения е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
