Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Кельвин описал опыты с жидкостным гаростагом, представляющим собой тонкую оболочку в форме эллипсоида вращения, целиком заполненную жидкостью. Оказалось, что если оболочка имеет сплюснутую форму, то, после того как гиростат раскручен вокруг оси симметрии, он может двигаться на горизонтальной плоскости подобно волчку (рис. 6.5); между тем такой же гиростат и форме вытянутого эллипсоида падает, как только его отпустят. Подобный опыт можно Рис. 6.5. Жийиастный гнрсстат Калинина. поставить и с цилиндрической оболочкой, как это сделал Перри [9].
Расчет такого явления весьма сложен, так как при точном описании движения жидкости необходимо пользоваться уравнениями непрерывного пространственного потока, поэтому теоретическое объяснение нашли лишь относительно простые случаи. При некоторых предпосылках оказывается возможным рассматривать движение оболочки, оперируя лишь с конечным числом переменных. Например, при изучении устойчивости движения интерес представляет главным образом поведение оболочки, характер же течения жидкости внутри полости имеет второстепенное значение.
Правда, оба движения взаимодействуют одно с другим, так что уравнения движения должны учитывать наличие н оболочки, и жидкости. Мы рассмотрим некоторые аспекты такого анализа. Более подробное изложение можно найти в основополагающей работе Жуковского 262 б.
Вращение не абсолютно твердых тел [49] и в обзорном докладе Румянцева (50), наиболее полно обобщающем результаты по данному вопросу. К гироскопу с жидким наполнением можно применить теорему о кинетическом моменте (!.75), учитывая при этом, что в данном случае кинетический момент системы выражается соотношением Н, = Нхб + Н", = Ох со + рв,, ) г о с('гг, (6.! 2) где интеграл взят по всему объему Р, занятому жидкостью. Если жидкость идеальна (отсутствует внутреннее трение), несжимаема и целиком заполняет полость, то ее кинетический момент можно представить в виде Н", = Ом.бт.
+ Н;. г! ! (6.!3) Здесь Н! — кинетический момент жидкости в ее движении относительно оболочки, а величина Огг представляет собой тензор инерм ции жидкости, как бы застывшей в полости тела. Тензор Он относится не к точке опоры Р, а к центру тяжести жидкости — точке й4 (см. рис. 6.6). 3 Риь б.б. Тяжелый гироскоп с симмегричиои полостью, ееполиеииоа жидкостью. Тензоры инерции можно просуммировать: х м Он+Он=6н. В случае совпадения главных осей инерции тела и полости для эффективных значений главных моментов инерции имеем следующие выражения: А = Ах + Ам, В = В» + Вл', С = Сх + См. (6. (4) 6.2.
Гироскопы с жидким заполнением 263 Уравнения движения целесообразно отнести к главным осям инерции: Ай~ — ( — С) вгаз+ Н1 — Нгаз+ Нзаг = М~ Если предположить, что течение жидкости в полости является потенциальным, то из (6.!5) получим несколько усложненную по сравнению с (3.35) систему уравнений Ай~ — (А — С) вгаз — Нгаз+ Нзвг = Озазг, Ай + (А — С) азв~ — Нза| + Н(аз — — — Озазь (6.16) Сйз — Н(аз + Нга~ = О. Эта система имеет частное решение в~ — — вг — — О, аз = взо = сопи(, аз~ = азг = 0 Н1 — — Нг= О, лез=1, Нз = Нзв = сопи(, (6.17) соответствующее перманентному вращению вокруг оси симметрии, направленной по вертикали. Устойчивость такого движения может быть исследована известным способом — путем анализа уравнений в малых отклонениях.
В выкладках полностью сохраняется аналогия с тяжелым симметричным гироскопом в случае Лагранжа (п. 3.3.2). В качестве необходимого и достаточного условия устойчивости движения (6.17) эти выкладки дают неравенство (Свзо + Нзо)г ~ )4ОзА. (6.18) В отличие от выведенного ранее условия (3.?О) здесь моменты инерции А и С изменены в соответствии с формулами (6.14). Если Вйг — (С вЂ” А) аза~ + Нг — Нза~ + Н(аз = Мг, (6.15) Свз — (А — В) а1вг + Нз — Н1вг + Нгв~ = Мз. Для определения составляющих кинетического момента Н1, Нг и Нз необходимо использовать уравнения течения жидкости. Жуковский показал, что эти составляющие сохраняют постоянные значения, если течение жидкости в полости потенциальное с постоянной циркуляцией, В частном случае, когда Н; — = О, уравнения движения (6.!5) переходят в известную форму уравнений Эйлера, н наличие жидкости здесь проявляется лишь в изменении моментов инерции согласно формулам (6.!4).
При Н) 4= 0 появляются дополнительные гироскопические моменты вращающейся жидкости, соответствующие дополнительным членам в уравнениях (6.15). Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп с симметричной полостью, у которого центр тяжести В лежит на оси симметрии 3' на расстоянии з от точки опоры (рис. 6.6).
В этом случае А = В, М, = — Озазг, М, = — Озазы 264 6. Врашенне не абсолютно твердых тел жидкость не участвует во вращении тела, то Нзо= — С атзв и нем равенство принимает внд (Скот, )з)46з(Ак+ Ам) (6.19) В этом случае наличие жидкости ухудшает устойчивость системы по сравнению с гироскопом, имеющим те же значения величин Ак, Сн и Оз, но не содержащим жидкости. Вращение жидкости в сторону вращения тела улучшает устойчивость.
Потенциальное движение, в частности, возможно и при нулевом значении относительного кинетического момента Н„ "= 0 (потенциальный вихрь). В этом случае неравенство (6.18) принимает вид (Сахно)'~ )40зА. (6.20) Иные результаты получаются, если течение жидкости носит более общий характер. Примером может служить случай чистого вращения, когда жидкость вращается целиком, подобно твердому телу.
В этом случае составляющие кинетического момента могут быть представлены в виде произведений моментов инерции на угловые скорости: Н1= А*йь Нз — — В"йз, Нз = С*Из, (6.21) однако величины 1)з должны быть найдены из уравнений Гельмгольца для вихревого течения.
Поскольку речь идет о дополнительных дифференциальных уравнениях первого порядка, то общий порядок системы уравнений, описывающих движение, повышается. Приведем некоторые результаты. Если оболочка гироскопа, имеющая форму эллипсоида вращения с полуосями а и с, достаточно тонка, так что можно пренебречь ее собственными моментами инерции, полностью заполнена идеальной несжимаемой жидкостью и подвешена, например в кардановом подвесе, так, что центр эллипсоида совпадает с неподви>кной точкой (свободный гироскоп), то достаточные условия устопчивости перманентного вращения системы как одного твердого тела вокруг вертикальной оси симметрии можно получить в виде а)с илн За(с.
(6.22) Это означает, что полость должна быть либо сплюснутой, либо достаточно вытянутой, что совпадает с результатами опытов, проведенных Кельвином и другими исследователями. В этом состоит и объяснение известного факта, что сырое яйцо, даже сильно раскрученное, не может вращаться на носике вокруг своей оси подобно волчку. С вареным яйцом это удается без всякого труда. Такое положение оно принимает под действием сил трения, даже если первоначально его раскрутили вокруг поперечной оси (см.
гл. 7). Для случая перманентного вращения вокруг вертикальной оси тяжелого гироскопа с симметричной полостью при вихревом дви- 266 6.2. Гироскопы с жидким заполнением женин жидкости, вращающейся вместе с телом, Румянцевым получено достаточное условие устойчивости в виде (С вЂ” А) оз,' ) Сз.
(6.23) Поскольку С вЂ” А = Ск + См — Ак — Ам, для тела с вытянутым эллипсоидом инерции (Ск ( Ак) условие устойчивости (6.23) все же может быть выполнено при высокой скорости вращения, если полость с жидкостью достаточно сплюснута (Азг ( См). Условие (6.23) остается в силе, если жидкость, заполняющая полость, имеет конечную вязкость. В рассматриваемом случае, когда жидкость вращается вместе с телом как одно целое, вязкость жидкости не оказывает влияния на движение. Следует отметить, что условие (6.23) не является необходимым. Оно всегда сильнее условия (6.20). Чтобы это показать, применим оба условия к твердому телу. Полагая А = Ак, С = С» и обозначая х = Ск/Агс, получаем из (6.20) ~14 (хоззо) > к (6.24) а из (6.23) (6.25) (х — 1) созе) — л.
Поскольку (х/2 — 1)' ) О, то хам ) х — 1; следовательно, условие (6.25) более жесткое, чем (6.24). Для твердого тела (6.25) является излишне жестким, так как еще раньше (см. (3.70)) уело. вне (6.24) было получено как необходимое и достаточное. В другом предельном случае, когда тело состоит из жидкости, заключенной в тонкую оболочку, массой которой можно пренебречь, условие (6.23) принимает вид (С" — А )оззо>Сз (6.26) что согласуется с опытами Кельвина, так как для гироскопа с вытянутым эллипсоидом инерции (Ам ) См) при верхнем расположении центра тяжести (з ) О) условие (6.26) не может быть выполнено.
Физическое объяснение установленного факта можно усмотреть в том, что в случае сплюснутой оболочки распределенные силы давления жидкости создают стабилизирующий момент, а в случае вытянутой оболочки — опрокидывающий. Схематично это изображено на рис. 6.7. При наклоне оболочки в первый момент жидкость продолжает вращаться вокруг прежней оси, отмеченной на рисунке штрих-пунктирной линией. Результирующие составляющие центробежных сил жидкости накладывают на оболочку момент, знак которого зависит от ее формы. Момент пропорционален озз, так что жидкий гироскоп вытянутой формы не может быть стабилизирован за счет увеличения числа оборотов.
При нижнем расположении центра тяжести (з ( О) 266 6. Вращение не абсолютно твердых тел вытянутый гироскоп сохраняет устойчивость, пока его угловая скорость не превышает некоторого критического значения. По-иному выглядят результаты в случае гироскопа с полостями, заполненными жидкостью лишь частично (примером может служить ракета с жидким горючим в топливных баках); здесь необходимо учитывать колебания свободной поверхности жидкости. При некоторых упрощающих предположениях Стюартсон [5!] смог показать, что опасность потери устойчивости имеется всегда, когда собственная частота какой-либо формы свободных колебаний жидкости близка к частоте нутации несущего жидкость тела.
Весконечному числу форм свободных колебаний жидкости соответствует Рис. 6.7. Квнественнае объиснеиие гироскоп»»еского поведение заполненных мил»остью обалонек, имеющих форму зллипсоидов врвщени». бесконечное число областей неустойчивости, однако, как показывает опыт, лишь несколько первых областей могут иметь практическое значение. Можно полагать, что внутреннее трение, демпфирующее собственные колебания жидкости, сводит на нет области неустойчивости более высокого порядка. Частоты собственных колебаний, а следовательно, и области неустойчивости зависят от степени заполнения полости. Демпфирующее влияние колебаний поверхности жидкости может быть использовано для гашения нутационных колебаний. Например, для демпфирования колебаний искусственных спутников используются круговые трубки, частично или целиком заполненные жидкостью (см., например, Каррьер и Майлс (52]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
