Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Принимая во внимание указанное выше обстоятельство, что вместе с корнем Л характе- ристического уравнения должен быть и корень — Л, следует в дан- ном случае считать все корни чисто мнимыми; Ля= <юа, Л,а= — <ю, (б=!, ..., л>). (5.50) Это означает, что движение складывается из незатухающих коле- баний. Не вычисляя явно круговые частоты этих колебаний (для этого требуется решить характеристическое уравнение), мы можем полу- чить некоторые общие результаты с помощью следующих рассу- >кдений. В виду предположения, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней, общее решение будет линейной комби- нацией частных решений вида аас ха=А <а>еа, которые, будучи подставлены в исходные уравнения (5.46), дают систему уравнений (а„Л',+д„Ла+[з,)А„„=О (у=1, ..., лт). (5,51) Амплитудные множители Аз, могут оказаться комплексными.
Но в силу того, что коэффициенты системы являются действительными величинами, амплитудные множители, соответствующие паре кор- ней (5.50), должны быть комплексно сопряженными: Аза=Вро+ <С а Ар< аа>=Вза — <Сра=Аза (5 52) Умножим уравнения системы (5.51) на Ага и просуммируем по у: (5.53) Учитывая (5.52) н то, что матрицы ар и [вт симметричны, а матри- ца дз кососимметрична, преобразуем выражения, входящие в (5.53): пртАр м>'4т м> — — пзт [Вр м>Вт <и + Сз <а>Ст <а>[ = аа ) О, кзтАр <а>Ат <а> — — <арт [Сз,а,Вт<а, — С„м>Ври>) = >ма (5.54) [ртАр м>Ат <а> = > [Вр <а>В <а> + Ср <а>С <а>) = >а.
5. Гироскопические системы 240 Здесь а„де, Ге — действительные величины, пРичем величина ае является суммой двух определенно-положительных квадратичных форм и поэтому тоже положительна. Квадратичные формы, сумма которых равна 1"е, в силу (5.36) будут определенно-положительными только для статически устойчивого положения равновесия; билинейная форма де может быть как положительной, так и отрицательной.
Уравнение (5.53) с учетом (5.54) принимает вид (5.55) откуда (5.56) В рассматриваемом случае устойчивых решений корни Ц должны быть, как отмсчалось выше, чисто мнимыми, поэтому подкорсннос выражение не должно быть отрицательным: де +4а,д„~)0 (5=1, ..., и). (5.57) (5.58) и будем рассматривать предельный случай, когда Н вЂ” и оо. Из (5.58) следует, что а„= Нйа,, д,= Н~,", (5.59 где величины йа " 8' Уже не зависят от Н, так как элементы гироскопической матрицы в силу (5.45) зависят линейно от Н„. Подставим (5.59) в (5.56) и, разлагая радикал в ряд по степеням 1/Н, получим следующие приближенные выражения для корней: (5.60) Отсюда непосредственно следует вывод, который уже приводился вместе с другими общими теоремами в п.
5.2.2, а именно; в случае статически устойчивого положения равновесия (1е ) О) добавление гироскопических сил не нарушает устойчивости, статически неустойчивое положение равновесия может стать устойчивым (не асимптотически) только при достаточно больших гироскопических силах, т. е. при достаточно больших кинетических моментах гироскопов. Полученные выше результаты позволяют достичь некоторых упрощений для случая быстро вращающихся гироскопов.
Введем для этого параметр Н, имеющий размерность кинетического момента, положив 241 5.3. Системы с быстровращающимкся гироскопами Корни Ла1, приближенная формула для которых получена с учетом двух членов ряда, при Н- оо стремятся к нулю; им соответствуют медленные прецессионные колебания гироскопической системы. Корни Л а, приближенное выражение которых получено с учетом одного члена ряда, растут пропорционально Н; с ними следует сопоставить быстрые нутационные колебания. Таким образом, справедливо следующее общее утверждение: Собственные частоты устойчивой консервативной гироскопической системы при йе1(др ) Ф 0 распадаются на две группы; при большом кинетическом моменте Н частоты одной группы можно приближенно считать пропорциональными 1/Н, а частотгм другой группы — пропорциональными Н, Очевидно, что такое разбиение частот на две группы возможно только в случае четного т. Вследствие (5.50), кроме корней (5.60), имеется еще т корней, модули которых равны модулям соответствующих корней (5.60), а знаки противоположны.
Нетрудно показать, что эти корни получаются при перемене местами индексов 6 и у в (5.53). Следовательно, каждому значению Ь можно поставить в соответствие четыре корня, поэтому степень 2т характеристического уравнения должна делиться на 4, что имеет место в случае четного пт. Условие четности т содержится в более строгом требовании йе1(да )Ф О. Необходимость этого требования вытекает из рассмотрения характеристического уравнения (5.49).
Запишем его левую часть в виде полинома степени 2пи и (Л) = ЬтгаЛ + Ьтт — зЛ '" + . ° ° + ЬаЛ + Ьо = О. (5.6 1) Если т четное, то здесь содержится член Ь Л, Ь (Н)=де((д„"в)Н + .... Наивысшая степень параметра Н входит в Ь (Н) с множителем йе1 (д,' ). Соседние с Ь,„коэффициенты тоже суть многочлены от Н, но их степень тем меньше числа пг, чем более они удалены от среднего коэффициента. Крайние коэффициенты Ь, = йе1(а„в) и Ьо = йе1 (1 а) не зависят от Н. В предельном случае быстровращающихся гироскопов, когда Н-я-оо, в выражениях для коэффициентов доминируют члены со старшими степенями Н. Эти степени в выражении Л1 (Л) ЬтЛ + Ьт-яЛ + ° ° ° + ЬтЛ + Ьо (5.62) убывают, а в выражении 5,(Л) = Ья Л™+ Ья„, яЛ™-я+ ...
+ Ь„,Л (5.63) возрастают. Если положить оба этих выражения равными нулю, то из условия ц, = 0 получим корни, модули которых приблизительно пропорциональны МН, в то время как модули корней уравнения 242 5. Гироскопические системы Лг = О приблизительно пропорциональны Н. Приближенное выражение для корней уравнения Л, = О совпадает с Хм из (5.60), а приближенное выражение для корней уравнения Лг = О совпадает с Хег. Примененный здесь прием замены характеристического уравнения двумя уравнениями оправдывается существованием двух групп корней. Из наших рассуждений следует, что полное разбиение корней на две группы возможно только при с(е1(д' ) Ф О.
В случае особой гироскопической матрицы, когда де((д' ) =О, но среди миноров порядка т — 1 хотя бы один не равен нулю, коэффициенты Ь„ег, Ь и Ь, имеют одинаковый порядок роста относительно величины Н. Поэтому в предельном случае Н- оо существуют два корня характеристического уравнения, которые стремятся к предельному значению, не зависящему от Н. Следовательно, движения, соответствующие этим корням, не будут ни прецессией, ни нутацией.
Мы назовем их маятниковыми колебаниями. У системы с нечетным т существует по крайней мере один вид маятниковых колебаний, так как в этом случае оба средних коэффициента Ьч, 1 и Ь е, имеют одинаковый порядок роста относительно Н. Чем выше дефект матрицы дв,, тем больше может оказаться видов маятниковых колебаний. Таким образом, можно сказать, что в общем случае корни характеристического уравнения при Н вЂ” оо разбиваются на три группы, которым соответствуют прецессионные, нутационные и маятниковые колебания. После надлежащего преобразования характеристического уравнения можно найти приближенные выражения для корней.
Так, например, в первом приближении для корня с наименьшим модулем справедливо следующее выражение: 1,= )/ЫЬ,, а для корня с наибольшим модулем Л = ')/Ь, и Известными методами эти приближения могут быть улучшены. Однако для того, чтобы найти собственные частоты системы, совсем не обязательно исходить из характеристического уравнения. При расчетах, связанных с гироскопическими устройствами, вообще говоря, целесообразно использовать непосредственно уравнения движения. Если кинетический момент Н достаточно велик, то в силу равенств др = Но„'„ в уравнениях (5,46) доминируют средние члены. Для медленных движений силы инерции весьма малы. Следовательно, такие движения можно приближенно исследовать, исходя из условия равновесия между гироскопическими и позиционными силами, что приводит к прцблнжепным уравнениям да,х +) х = О (у=1, ..., т).
(5.64) 243 З 3. Системы с оыстровращающимнся гироскопами Мы вновь пришли к приближенным уравнениям (5,45), полученным ранее другим способом. Их решение дает, за исключением вырожденных случаев, прецессионное движение, соотвегствуюшее корням 155) из (5.60). На этом основании в теории гироскопов уравнения (5.64) называют уравнениями прецессиоьной теории. Если же, наоборот, исследуются быстрые движения (нутация), то силы инерции будут сушественно больше, чем позиционные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
