Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 37
Текст из файла (страница 37)
При добавочном грузе, которому соответствует кривая 2, неустойчивость имеет место, если ро ( йоа, в то время как движение с ббльшими, чем роа, углами ()о наклона внутренней рамки может быть устойчивым. Наконец, еще большему добавочному грузу соответствует кривая 3, которая не пересекает критическую полосу. В этом случае устойчивость возможна при любых значениях угла ро, Найденные в теории результаты могут быть подтверждены экспериментально.
Далее, если сделать соответствующую оценку, то окажется, что уточненное условие неустойчивости (4.89) в рассматриваемом случае лишь незначительно отличается от условия 4.5. Устойчивость встатнческого несимметричного гироскопе 213 (4.88), полученного в первом приближении. Поэтому достаточно точными будут результаты, даваемые более простым условием (4.88) . Результаты, о которых говорилось выше, допускают наглядное механическое толкование, позволяющее одновременно установить связь с устойчивостью движения твердого тела в случае Эйлера.
Если ротор гироскопа в кардановом подвесе рассматривать как одно из тел системы, то влияние рамок можно учесть, заменив ротор свободным твердым телом с соответственно увеличенными эффективными моментами инерции А*= А" + 6з и В* = В" + 6з. Добавочное слагаемое 6з, как следует из (4.83), в интересующей нас области монотонно возрастает с ростом угла йв. Поэтому эффективные моменты инерции А* и В* при увеличении наклона внутренней рамки тоже увеличиваются. Пусть при бе = 0 выполняются неравенства С" ) А* ) В*; тогда существует такая область значений угла наклона, где А* ) С" ) В*, а при еще ббльших значениях угла йв получим А' ) В* ) С".
Таким образом, увеличение наклона внутренней рамки эквивалентно увеличению ее массы путем присоединения добавочных грузов. Если обобщить для гироскопа в кардановом подвесе понятия, определенные для одного твердого тела, то можно сказать, что при наклоне внутренней рамки гироскоп, вращающийся вокруг наименьшей оси эффективного эллипсоида инерции, превращается в гироскоп, вращающийся вокруг средней оси, а затем вокруг наибольшей оси; при этом распределение масс всех трех составляющих тел не изменяется. 4.5.3. Вращение вокруг оси внешней рамки. Из двух вращений Прандтля (4.74) и (4.75) достаточно рассмотреть только первое, так как прн изменении угла у на 90' и одновременной замене А" на В" и В" на А" уравнения движения остаются прежними.
Поэтому условия устойчивости для второго вращения получаются из найденных ниже, если поменять местами А" и В". Для движения, близкого к (4.74), положим а=ав+х, значения величин р и у будем считать отличными от нуля, но достаточно малыми. Тогда из (4.70) получаем Х (А" + Аг + А') = Я„. Следовательно, скорость изменения величины а имеет по меньшей мере второй порядок малости. Если снова пренебречь включенными в правую часть Я„членами, порядок малости которых выше первого, то в первом приближении получим а = ас. Тогда уравнения движения (4.71) и (4.72) принимают вид 3 (ВЯ + Вз) + бав (АЯ+Ах — Сл — Сг) + Уб (Ан — Вн — СЯ) = Яр, (4.90) УСЯ+ Уйе(АЯ ВЯ) — Рао(АЯ ВЯ СЯ) =Я .
214 4, Гироствт и гироскоп в вврдвиовом подвесе Линейные части этих уравнений имеют постоянные коэффициенты, и им соответствует характеристическое уравнение (Ва+ Вг) Лг+ аг(Аа+ Аг — Сл — Сг) а (Аа — Ва — Са) Л вЂ” а (Аа — Ва — Са)Л СлЛг+ аог(Ал Ва) или в развернутом виде а ( —.) + Ь( —.) + с = О, (4.91) где а = Сл (Ва + В~), Ь = (Аа — Ва) (Аа + Вг — Сл) + Са (Аг + Вл — С'), с = (Аа — Ва) (Аа + Аг — Сл — Сг). В характеристическом уравнении отсутствуют нечетные степени Л, поэтому система может быть в лучшем случае устойчивой по Ляпунову. Но она будет заведомо неустойчива, если не будут выполняться необходимые условия устойчивости.
Таковыми, кроме всегда справедливого условия а ) О, являются Ь)0, с)0, Ь' — 4ас)0. (4.92) Третье неравенство приводится к следующей форме: Ь' — 4ас = ((Ал — Ва) (Аа — Сл + В') — Сл (Ва + А' — Сг) )'— — 4С" (А" — Ва) (Аа+ Ва — Са)(Аг+ Вг — Сг) ) О. (4.93) Если Вг+ Ст = Аг, то Ь = а+ с, следовательно, Ь' — 4ас = = (а — с)') О. Ниже будем предполагать, что данное соотношение между моментами инерции приблизительно сохраняется и при внесении на внутреннюю рамку добавочных грузов.
Таким образом, далее для простоты рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, близ- Выражения А" + В" — С" и Аг+ Вг — С' вследствие неравенств треугольника (1.10) будут положительными, поэтому прн А" ( ( В" условие (4.93) выполняется. Кроме того, оно выполняется при дискообразном роторе (С" = А" + В"), как это имеет место, например, для колеса Прандтля, и при Аг+ Вг — Ст = О, когда вся масса внутренней рамки сосредоточена в плоскости осей ! и 2.
Однако последний случай едва ли представляет интерес. Гораздо интереснее, что условие (4.93) выполняется н в том случае, когда дискообразная внутренняя рамка расположена в плоскости 2-3, т. е. имеет вид, изображенный на рис. 4.2. Действительно, коэффициент Ь можно записать следующим образом: Ь = а + с + (Аа — Ва — Сл) (Вг + Сг — Аг). 4Д, Устойчивость астатического несимметричного гироскопа 215 кий к показанному на рнс. 4.2, для которого Аг — Ва+ Сг, хотя нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы учесть условие (4.93) в общем случае. У нас остаются только два первых условия (4.92), из них самое первое условие вследствие того, что Ь = а+ с и а ) О, является более слабым, чем второе.
Поэтому остается единственное необходимое условие устойчивости с = (Ай — Вй)(Ай + А' — Сй — С') ) О. (4.94) Нарушение этого условия означает неустойчивость первого вращения Прандтля (4.74). В соответствии со сказанным выше соответствующее условие для второго вращения Прандтля (4.75) имеет вид с' = (Вй — Ай) (Вй + А' — Сй — С') ) О.
(4.95) 4.5.4. Устойчивость вращений Прандтля. Рассмотрим, как влияют на устойчивость перманентных вращений Прандтля (вращений ротора гироскопа в кардановом подвесе вокруг его главных осей инерции) различные добавочные грузы, помещаемые на внутреннюю рамку. Экспериментально это влияние можно проверить с помощью колеса Прандтля (рис. 4АЗ) либо гироскопа в кардановом подвесе (рис. 4.2), если дополнительные массы закрепить на удлиненной оси ротора (колесо Прандтля) или в местах соединения оси ротора с внутренней рамкой (гироскоп в кардановом подвесе) так, чтобы моменты инерции Аз и Вг внутренней рамки увеличились в одинаковой мере; А = Ао+6, В = Во+6 (4.96) Добавочный момент инерции 6 будем считать параметром, принимающим различные значения.
Влияние его на устойчивость мы и должны исследовать. Так как для первого вращения Прандтля (4.73) интересным является только случай ро — — О, то, используя выражение (4.83) для 6а(ро), найдем 6з (О) = '/з (А'+ В' + А'). Принимая во внимание это равенство и (4.96), запишем левые ча- сти неравенств (4.87), (4.94) и (4.95), которые являются необхо- димыми условиями устойчивости для каждого из трех вращений Прандтля соответственно, в следующем виде: 5~ =(А — С + '/з(Аа+ Во+ А")+6)( — С + + '/з(Ае+ Во+ А")+ 6], Вз=(А — В )(А — С + Ао — С +6), й й й й г г (4.97) Яз=( — А )( — С + Аа — Сг+6). Графики функций Яе(6) даны на рис. 4.!5.
Точки Оь 6а, 6з, 6ь где графики пересекают ось абсцисс, находятся непосредственно 216 4. Гнростйт н гироскоп в кврдановоы подвесе из (4.97). Сама ось абсцисс этими точками разбивается на пять интервалов, каждый из которых характеризуется либо устойчивостью, либо неустойчивостью рассматриваемых движений. Для Рнс. 445. Графики Функций, онрсдслнющнх устойчнвасть вращсннй Првндтлн нвснммстрнч- ного гироскопа в кардановсм подввсс.
гироскопа в кардановом подвесе, которому соответствует рис. 4.!5, справедлива следующая таблица. Интервалы внвчвннй 6 1 и Пг 1Ч 6<6~ 61<6 <вг ег<6<ег вг<6<6~ Врашеннв Првндтлн ч 6,<Е Вращенпе первого типа (4.73), условие устойчпвостп (4.87) Вращение второго тнпа (4.74), условне устойчквостн (4.94) Вращение третьего тнпа (4.?5), условие устойчнвостп (4.95) Знак «плюс> означает, что соответствующее условие устойчивости выполняется, знак «минус> указывает на неустойчивость.
В интервалах 1, !!1 и Ч устойчивы вращения двух типов, в то время как третье вращение, происходящее вокруг средней главной оси, неустойчиво, что соответствует устойчивости вращений твердого тела в случае Эйлера. Такое соответствие нарушается в интервалах П и 1Ч: при 61 ( 6 « 6й устойчиво только одно вращение Прандтля, а при 6в ( 6 ( 61 устойчивы вращения всех трех типов. Это явление было подтверждено экспериментально, причем оказалось, что необходимые условия устойчивости, найденные из уравнений первого приближения, хорошо согласуются с результатами эксперимента. Глава 5 Гироскопические системы 5Л. Уравнения движения в форме Лагранжа — ( — ) — — =Я» ($= 1, ..., п). и / дТ » дг дг (, дд»,) дд» (5.1) Через О» обозначены обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам д», число и которых равно числу степеней свободы системы. Обобщенные координаты должны полностью описывать состояние системы.
Обобщенная координата д„называется циклической, если для нее выполняются условия дг — =О и Я =О. дчк х Из (5.!) следует, что для циклической координаты дт — = р = сопз1. дд, в Величину р„назовем обобщенным импульсом. Таким образом, каждой циклической координате соответствует в силу уравнений движения постоянный обобщенный импульс. (5.3) В гл. ! были найдены различные виды уравнений движения одного твердого тела.
При выводе этих уравнений можно было исходить нз выражения для энергии (уравнення Лагранжа) или применить теорему о кинетическом моменте (уравнения Эйлера). Уравнения соответствующих типов можно получить и для системы твердых тел. Мы сделаем это ниже, обратив внимание на особенности, присущие гироскопическим системам.
Для гироскопических систем характерно наличие так называемых циклических координат. Уравнения движения систем с циклическими координатами можно существенно упростить. Основными достижениями в этом направлении мы обязаны Томсону и Тату [34), Достаточно полное представление о новых результатах дают монографии Меркина (8) и Циглера (35).
В качестве исходных возьмем уравнения Лагранжа второго рода (см. п. 1.5,4Ь) 3. Гироскопические систеМы 5.1.1. Исключение циклических координат. Для того чтобы преобразовать уравнения движения, разобьем обобщенные координаты на две группы: а) Пусть нециклическими координатами будут е/ь ..., с/ . Мы снабдим их индексами а, 5, у, 6, которые принимают значения от ! до и. Ь) Циклические координаты с/ +ь ..., д„ отметим индексами х, Х, !х, и, принимающими значения от т+ ! до и (и ~ ие). Рассмотрим далее кинетическую энергию.
Кинетическая энергия Т любой системы масс может быть записана в виде Т= '/и )' х'с(еи. (5.4) Здесь через х обозначены декартовы координаты; зависимость их от обобщенных координат пусть выражаешься равенствами х=х(до д„..., д„). (5.5) Системы с такого типа уравнениями связей называются голономными и склерономными: голономнымн потому, что в уравнениях связей нет скоростей; склерономнымн, поскольку в эти уравнения не входит явно время. Дифференцируя (5.5), получаем дх х= — д1 ($= 1, ..., и). дое (5.6) По индексам, которые входят в формулу дважды, следует, со- гласно введенному выше правилу, производить суммирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
