Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4,3, Тяжелый симметричный гироскоп в нардановом подвеее В дополнение к сделанным выше предположениям будем считать, что ротор симметричен (А" =В"), ось внешней рамки (ось 1) вертикальна, общий центр тяжести ротора и внутренней рамки ле- Все дальнейшие исследования в этой главе будут проводиться при следующих предположениях: а) трение в подшипниках рамок и ротора отсутствуе~; Ь) оси вращения рамок и ротора пересекаются в одной точке; с) рамки и ротор являются абсолютно твердыми телами; с)) в нормальном положении рамок и ротора их главные оси инерции совпадают и направлены вдоль осей вращения рамок и ро- тора.
Главные моменты инерции трех тел системы обозначим следую- щим образом: для ротора АЯ, ВЯ, СЯ; для внутренней рамки Аз, Вз, Сз; для внешней рамки А", Положение в пространстве указанных трех тел определяется угла- ми а, (1 и у, которые являются углами поворота внешней рамки, внутренней рамки и ротора вокруг соответствующих осей. Проек- ции векторов вя, в',.
и в угловых скоростей ротора и рамок на оси связанных с ними трехгранников имеют вид (см. также (1.51)): ви = а соз 3 соз у + 3 91п у, 4.3. Тягкелый синнетричный гироскоп н кардановом подвссе 191 жит на осн симметрии ротора (эг = эа = О, эа — — з М 0). Если э ) О, то при р = + и/2 гироскоп будет стоячим (центр тяжести находится выше точки подвеса), а при !! = — пгг2 — висячим.
Иногда оказывается неудобным менять угол р в столь широких пределах. Тогда при близких к л12 значениях 8 можно получить стоячий илн висячий гироскоп, полагая э ) 0 или з ( 0 соответственно. (4.33) У = Сээ!пб, где с! — вес ротора и внутренней рамки. Для кинетической энергии справсдливо следующее выражение: Т= Т + Т'+ Т" = г/я ~~.", [А'(вг) +В'(ва)'+С" (ва) ), которое после несложных преобразований приводится к виду Т= г/а (а'[А созе р+ (А" + Ск) з!п-'6) + фВ+ Сл (у+а э!и 6)а); (4 34) здесь введены обозначения А = Ан + Ак + А', В = Вн -ф- Ва. Аналогично случаю Лагранжа можно найти три первых инте- грала уравнений движения тяжелого симметричного гироскопа в кардановом подвесе. Два из них обнаруживаются благодаря тому, что углы и и у являются циклическими координатами: выражения для Т и сг' содержат лишь производные от этих углов, но не сами углы.
Взяв в уравнении Лагранжа (!.87) в качестве обобщенной координаты угол у и использовав (4.34), получим дт —. = Сл (у + а з!п р) = сонэ(, др или ва=у+ аз!пр=вв (4.35) Таким образом, проекция кинетического момента ротора, а вместе с ней и проекция угловой скорости ротора на ось ротора остаются постоянными. Механически это объясняется как следствие введенного выше предположения об отсутствии сопротивления врашению ротора. Из уравнения Лагранжа для обобщенной координаты а вытекает далее, что вертикальная составляющая кинетического момента всей системы сохраняет постоянное значение: —.=а(Асов'()+(А" +Сл)з!цер)+Савва!яр=Но —— сопя!.
(4.36) дг 4.3.1. Общее решение. Для вывода уравнений движения исполь- зуем выражение кинетической и потенциальной энергии У всей системы. Так как ось внешней рамки вертикальна, потенциальная энергия зависит только от угла !! и не зависит от а: 192 4. Гиростат и гиросиоп в иардаиовои подвеси аа[А сова 6+ (Ад+ Сг) игпи 6[+ раВ+ Саотаа+ 2бз з)пб= 2Е . (437) Используя данные интегралы, найдем общее решение уравнений движения. Из (4.36) следует На — С А сов 5+ (А" + С ) Мп Р (4.38) Подставив это выражение в (4.37) и разрешив относительно я, получим А сов Р+ (А" + С ) в!п 5 или Для того чтобы легче было использовать в рассматриваемой задаче результаты, полученные для случая Лагранжа, введем замену з1п 6 = и, р = и/соз р. (4.40) Тогда имеем [ 2Ео С ото 2па (Но — Спмои) иа = (1 — иа)  — — и — — У(и).
В В [А — (А~ + Ая — С~) иа[ 1 (4.41) Если моменты инерции рамок обращаются в нуль, то это уравнение переходит в уравнение (3.46), справедливое для случая Лагранжа. Однако в данной задаче гироскопическая функция 0(и) будет уже не многочленом, а дробно-рациональной функцией, так что квадратуры, которые появятся в процессе решения, не выражаются через известные функции, и для их нахождения следует использовать численные или графические методы. Данному факту тоже можно датьнаглядноемеханическоеистолкование.
Внешними моментами, действующими на систему, являются момент силы тяжести и момент реакций в подшипниках оси внешней рамки, приложенный к внешней рамке. Вследствие предположений о вертикальности оси внешней рамки и отсутствии трения в подшипниках векторы этих моментов лежат в горизонтальной плоскости, т. е. их проекции на вертикаль равны нулю.
Для гироскопа в кардановом подвесе при введенных предположениях имеет место, кроме интегралов (4.35) и (4.36), выражающих постоянство проекций кинетических моментов ротора и всей системы, еще один интеграл — закон сохранения полной механической энергии Т+ 0 = Е,, или в развернутом виде гй4 4. Гироствт и гироскоп в кирдвиовом подвеси Из уравнения (4.39) после интегрирования получим (4.42) откуда путем обращения находим 8 = 8(1).
Если подставить эту функцию в (4.38), то после еще одного интегрирования определяется я = св((). Наконец, подстановка найденных функций в (4.35) и снова интегрирование дает у = у(~). Следовательно, найдено общее решение уравнений движения тяжелого гироскопа в кардановом подвесе с вертикальной осью внешней рамки. С помощью этого решения удалось установить, что движение гироскопа в кардановом подвесе только тогда существенно и даже качественно отличается от движения твердого тела в случае Лагранжа, когда вершина гироскопа находится в окрестности полюса единичной сферы с центром в точке подвеса или проходит через этот полюс.
В момент, когда вершина гироскопа совпадает с полюсом, рамки оказываются лежащими в одной плоскости, так что ось ротора совпадает с осью внешней рамки. В этом положении рамки складываются, что может привести к появлению возмущающих сил, существенно влияющих на движение гироскопа в кардановом подвесе. Пример такого влияния показан на рис. 44, где представлены проекции траекторий вершины гироскопа на горизонтальную плоскость. На рис. а) и Ь) изображены траектории, рассчитанные теоретически, а на рис.
с) и Й) — траектории, полученные экспериментально, причем все траектории найдены при следующих одинаковых начальных условиях: в момент г = О по вертикальной оси ротора (вершина гироскопа находится в верхнем полюсе) производится боковой удар. Траектории а) и с) соответствуют случаю Лагранжа, траектории Ь) и г() — гироскопу в кардановом подвесе. Существенное различие между ними состоит в том, что кривизна траекторий в случае Лагранжа остается почти постоянной, а траектории для гироскопа в кардановом подвесе в окрестности полюса заметно спрямлены. Кроме того, направление смещения среднего положения вершины гироскопа, показанное штриховой стрелкой, оказывается в этих двух случаях противоположным.
На рис. 4.5 представлены экспериментально полученные траектории, охватывающие верхний полюс, т. е. значения угла (о близки к я/2. В случае а) з ) О (стоячий гироскоп), а в случае Ь) з < О (висячий гироскоп). В последнем случае обнаруживается типичная для гироскопа в кардановом подвесе деформация траектории, обусловленная приближением к верхнему полюсу, 4.3.2. Фазовый портрет движения. Различные возможные виды движения по углу 8 можно наглядно представить с помощью фазового портрета. В качестве исходного уравнения возьмем уравне- 4.3.
Тяжелый симметричный гироскоп в кардановом подвесе 199 ние (4.39), записанное в следующем виде: йе = Р (6) = (2Е, — 1'()1))/В, где (4.43) А сов~ Р + (А + С ) Мп Р Уравнение (4.43) будем рассматривать как интеграл энергии для некоторой консервативной системы с одной степенью свободы, для которой 6 является обобщенной координатой; тогда йа и ~(6) мо.
жно считать пропорциональными кинетической и потенциальной энергии этой системы. Если потенциальная функция ~(6), в выражение которой входят постоянные гоо и Но, известна, то для любого значения постоянной энергии Е, при помощи (4.43) можно построить соответствующую фазовую траекторию й(1)). Для этого, как показано на рис. 4.6, на график потенциальной функции ~ф) следует нанести энергетический уровень в виде прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояние 2Ео, тогда разность между ординатами этой прямой и кривой 1((3) будет равна значениям Вйе. Очевидно, нас должна интересовать лишь та область изменения угла 6, для которой указанная разность неотрицательна, так как движение имеет место только при 6' ) О. Варьируя значения постоянной энергии Е,, можно указанным способом построить фазовые траектории, соответствующие различным типам движения.
На рис. 4.6 изображены фазовые траектории для семи значений Е,, из которых три являются характеристическими значениями, разграничивающими качественно различные типы движения. Первое характеристическое значение Ее определяется из условия, что график функции касается энергетического уровня в точке минимума. В этом случае на фазовой плоскости имеем положение равновесия 1, соответствующее регулярной прецессии гироскопа, когда 6 = — йо. Подробнее регулярная прецессия будет рассмотрена в следующем пункте.
Второму характеристическому значению Ео, определяемому из условия касания кривой )(6) энергетического уровня в точке промежуточного максимума при 6 = — 90', соответствует в качестве фазовой траектории сепаратриса 3. Наконец, при касании в точке главного максимума (р = +90') получаем сепаратрису 6, соответствующую третьему характеристическому значению Е,. Промежуточные значения Ео могут дать три различных типа движения. Кривые, лежащие внутри сепаратрисы 3, представляют возмущенную прецессию, при которой угол 6 периодически колеблется около значения йо, соответствующего положению равновесия 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
