Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Гиростат с регулируемой угловой скоростью ротора. Для практических применений гиростата, например при управлении ориентацией космического корабля, в общем случае может оказаться необходимым с помощью некоторого регулятора поддерживать относительную угловую скорость вг ротора постоянной или равной заданной функции времени.
В этом случае кинетический момент Н; всей системы целесообразно представить в виде суммы и кинетического момента Н; гиростата при закрепленном роторе и г дополнительного кинетического момента Нг, соответствующего вращению ротора относительно тела. В силу предполагаемой симг метрии ротора момент Н; всегда направлен по оси ротора.
Полагая, таким образом, Н, = Н', + Н'г =- Н'г+ Н'ы спроектируем векторное уравнение (4.!) на главные оси инерции гиростата с закрепленным ротором (ось ротора имеет в гиростате произвольное направление). Если внешним моментом является момент силы тяжести, определяемый равенством (4.2!), а дополниг г г г гт тельный кинетический момент Н; =(Н1, Нг, Наг постоянен, то из (4.!) получаем следующие скалярные уравнения: Ай, — ( — С) в,в + в,Нг — в,Нг = 6 (аа,яа — а, я ), Вйа — (С вЂ” А) в,в, + в,Нг — в, Нг = 6 (ааая, — ам я,), (4 26) Св, — (А — В) в,в. + в,Нг — в На= 6(а„яг — аагя,), К этим динамическим уравнениям движения тяжелого гиростата с постоянным дополнительным кинетическим моментом ротора следует присоединить кинематические уравнения (3.3!), означающие, что вертикальный вектор ам сохраняет постоянное направление в пространстве. 43.
Гаростат !87 Можно найти решения системы (4.26), которые будут совершенно аналогичны полученным выше решениям для тяжелого твердого тела (см. $ 3.3). Прежде всего укажем два общих первых интеграла. Интеграл энергии, для нахождения которого векторное равенство (4.1) следует умножить скалярно на вектор ат! и учесть (4.21), в силу постоянства Нг записывается в точности в виде интеграла (3.34): !7т Нота,. + Оз,.ам = Е,. (4.27) Константа Е, здесь не равна общей энергии системы, так как в нее не входит часть кинетической энергии, создаваемая относительным вращением ротора.
Второй интеграл получается путем скалярного умножения (4.!) и (4.21) на вектор аа; с последующим интегрированием: Н,ам=(Но+ Нг!)аа, — — Н =сонэ!. (4.28) (4.29) Формально этот интеграл получается путем скалярного умножения векторного равенства (4.1), в котором полагаем М, = О, на веко г тор Н; +Н;. В обобщенном случае Лагранжа к известным условиям А = В и ва = з, з! = з, = 0 следует добавить еще одно: Н! = Н, = О, г г означающее, что оси симметрии несущего тела и ротора совпадают. При этих предположениях из уравнения (4.26!3) следует, что составляющая а!а угловой скорости постоянна.
Равенство ата таза будет в данном случае третьим интегралом. Третий интеграл может быть найден и в обобщенном случае Ковалевской, когда к известным условиям А = В = 2С и з, = з, г г з, = з, = 0 снова присоединяется условие Н, = На = О, Рассмотрим вкратце задачу управления ориентацией несущего тела. Для управления углом поворота тела вокруг одной оси можно использовать ротор, поворот которого относительно тела регулируется с помощью программы или сигнала управления. Тогда в качестве параметра управления можно принять относительную угловую скорость ротора.
Соответственно кинетический момент ротора следует рассматривать как переменную величину. Механический смысл этого интеграла состоит в том, что вертикальная составляющая кинетического момента системы сохраняет постоянное значение. Как показал Кейс [30), общее решение уравнений (4.26) можно найти только в трех случаях, представляющих обобщение случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской движения твердого тела. В обобщенном случае Эйлера для свободного гиростата в качестве третьего интеграла имеем условие постоянства величины кинетического момента всей системы: Н =(Н; + Н<) =сопз1. 4.
Гиростат и гироскоп и кардаиоаом подиесе Для управления пространственной ориентацией тела уже недостаточно одного управляющего параметра; в этом случае нужно оперировать всеми тремя компонентами добавочного кинетического момента. Такое регулирование может быть достигнуто либо приданием ротору дополнительных степеней свободы, позволяющих изменять направление его оси относительно тела, либо установкой трех роторов, оси которых некомпланарны. В первом варианте управления уравнения движения рассматриваемой системы сохраняют вид уравнений движения гиростата только в том случае, когда эллипсоид инерции ротора вырождается в сферу, ибо тогда распределение масс' всей системы остается постоянным при изменении направления оси ротора относительно тела. Чтобы записать уравнения движения для второго варианта, будем считать, что оси трех помещенных иа тело симметричных роторов параллельны главным осям инерции тела.
Тогда и случае отсутствия внешних сил уравнения движения имеют вид Ай, — ( — С) оз,езз = — С'гй'г !- оззСзлгозг оззСзлатза Вй, — (С вЂ” А) от~го, = — Сзлйзх + оз,Салатах — от~С'лоз'х, (4.30) Сй (А В) оз,гоз — Сзлйзх ! С~лоз1х оз,Сзл зх Здесь через С'", Ств и Сз" обозначены моменты инерции роторов относительно их осей, а находящиеся в правых частях уравнений функции пт'и, азза и оз'з (относительные угловые скорости роторов) являются управляющими параметрами. Эти величины должны изменяться таким образом, чтобы несущее тело двигалось по желаемому закону или достигло заданного положения в пространстве, Указанная задача является задачей теории управления, и ее решение здесь не рассматривается.
4.2. Карданов подвее Благодаря техническим приложениям гироскопа самое широкое распространение получил так называемый карданов подвес. Хотя в настоящее время установлено, что такой подвес был известен уже в тринадцатом веке и его не следует связывать с именем математика и врача Иеронимуса Кардано (!50! †!576), мы будем использовать данный термин, так как он является общепринятым. Карданов подвес состоит из двух рамок (колец), обеспечивающих подвешенному телу, в нашем случае ротору гироскопа, полную свободу угловых перемещений. На рис. 4.2 показан один из вариантов карданова подвеса гироскопа. Оси внешней рамки А, внутренней рамки 7 и ротора Й в нормальном положении взаимно перпендикулярны и пересекаются в идеальном случае в одной точке, которая является неподвижной точкой подвеса. Подвес, подобный изображенному на рис. 4.2, называется внешним кардановозм подвигом; существует и внутренний карданов подвиг (рис.
4.3), 189 4.2, Кардйнов поднес который часто называют кардановьтм шарниром илн сочленением Гуда. Оба типа карданова подвеса применяются в гироскопической технике. При помещении гироскопа в карданов подвес следует учитывать как кинематику, так и динамику этого подвеса. Особенности геометрии карданова подвеса могут привести к кинематической Рис, 4д. демонстрационная модель гироскопе в кар- дановом подвесе (внегнний карданов подвес).
Рио 4.3. Внутренний карданав поднес ротора. карданной погрешности, которую приходится принимать во внимание в гироскопических приборах. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен в гл. 12, посвященной гироскопическим приборам. Влияние трения, неизбежно возникающего в кардановом подвесе, будет также изучено ниже (гл. 11). Здесь мы сосредоточим внимание прежде всего на особенностях динамики гироскопа, обусловленных тем, что гироскоп в кардановом подвесе уже нельзя рассматривать как отдельное твердое тело; в данном случае мы имеем дело с системой трех связанных между собой тел. При этом нельзя пренебрегать массами кардановых колец, так как именно они оказываются причиной некоторых типичных и существенных для практики явлений.
Объяснение н аналитическое исследование этих явлений составляют содержание следующего параграфа. 4. Гиростит и гироскоп и кирдииоиом подиесе 190 (4.31) ви = — а соз !з 91п у + () соз у, ви = у+ а и!и 3, в', = а сов 3, вд1 = а, (4.32) в', =(), вА О вг =аз!пй, в"=О. з з При исследовании различных случаев движения системы мы будем применять методы, которые наиболее подходят для рассматриваемой задачи. Так, при исследовании движения тяжелого симметричного гироскопа в кардановом подвесе целесообразно использовать выражение полной энергии системы для вывода уравнений движения методом Лагранжа.
В случае несимметричного гироскопа в кардановом подвесе более удобными для исследования являются уравнения движения в форме Эйлера (см., например, (32]), Для качественного исследования форм движения следует использовать метод фазовой плоскости, обладающий преимуществом наглядности. С каждым из этих трех методов читатель встретится в последующем изложении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
