Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Введем комплексные величины е, +ге,=е', т, + !тз=т*, причем вследствие подстановки (3.!26) комплексное возбуждение т* = т*(!) надо представить как функцию новой переменной а. Общее решение уравнения (3.!28) имеет вид а .'- -'-[.'+1 'о1*"' з] о (3.! 29) где е,"=е" (0) — произвольная постоянная, или в вещественной форме о е, =е осозаа+ е оз1паа+ []т, сова(а — р)+ тзз!па(а — 8)]с!р, о е,=еоосоз аа — еез!паа+ [ [тзсоза(а — р) — т, з(па(а — р)! сФ.
о (3.130) Присоединяя сюда уравнение (3.125), получаем систему, описывающую движение при произвольных функциях самовозбуждения. которые позволяют привести уравнения (3.127) к следующему виду: е*'+!поз'= т', (3.128) ззв 3. Гироскоп. Силы и движение 3.4.2. Приложение к случаю постоянных возбуждающих моментов. Поведение гироскопа под действием постоянных связанных с телом моментов произвольного направления впервые было объяснено и исследовано Бедевадтом [25).
Представляется целесообразным рассмотреть по отдельности два случая. а) Вектор момента перпендикулярен оси симметрии. В этом случае Мз = О и из (3.!25) непосредственно следует соз — — пузо. Если Рис. З.ЗЗ. Конус паладин симметрччного гироскопа с самоеоабумдением постоянным моментом М .
с со' соте-замет -' по*со Г е-хамген-т)тут — о о зо) о или от'= — 1 — + !соо+1 — ) е ™ ', а а т (3. 131) где ив= и" (О) — постоянная интегрирования. Этот результат означает, что при таком движении конус полодии представляет собой наклонный круговой конус (рис. 3.33). Его вершиной слу- постоянная созо обращается в нуль, то анализ становится совсем элементарным, так как исходные уравнения (3.124) разделяются.
Этот частный случай представляет определенный интерес, когда речь идет о космическом корабле, кинетический момент которого равен нулю. Более важен, однако, случай созе чь О. Из (3.126) мы теперь находим а = созе(, так что при дальнейшем анализе мы можем снова перейти к временнбй переменной й Решение (3.129) принимает вид ЗА. Гироскоп с сзмовозбуждеиием 1Б7 жит точка опоры Р, а основанием является круг с центром в точке Р, лежащий в плоскости, параллельной плоскости 1-2 и отстоящей на расстояние оззо от точки Р. Координаты центра Р таковы: Мзз (А — С) м .
"'о 020— М~о з' М20 о (А — С) оззо (А — С) созе он стягивается в отрезок РР, что соответствует стационарному вращению вокруг оси, неподвижной как в теле, так и в пространстве. Если эту ось принять за ось 3 неподвижной системы, то для данного частного случая нетрудно найти зависимость положения тела от эйлеровых углов. Имеем зр=фо, 6 =ф= О, т. е. 6=60, ф=ф,. В силу 02~ =мм=зроз'"4)оззпфм 022 = 0220 = 2(20 з!пбосозфо, озз = оззо = — Фо соз бо получаем 100,— — узтт Г— 1 Л1 оззо (А — С) оззо (3.133) мм Мзз (в фо= — = 0220 Мьз Выражение для фо свидетельствует о том, что направление вектора момента Мз совпадает с направлением линии узлов. Возмущенное движение относительно разбираемого стационарного вращения можно толковать как взаимное наложение вынужденного вращения, вызываемого моментом Мь и собственного движения (нутации). Указанное стационарное вращение мало отличается от результирующего движения, поэтому последнее можно считать устойчивым.
Но это ни в какой мере не влечет за собой устойчивости по угловым координатам. Однако расчет этих углов для возмущенного движения сопряжен с значительными М!0 (А — С) зззо 023Р оззо Зависимость между векторами угловой скорости озз и момента Мз можно проследить непосредственно на рис. 3.33: в то время как 022 непрерывно скользит по наружной поверхности конуса полодии, обходя ее в течение промежутка времени (3.132) вектор М, привязан к плоскости 1-2, сохраняя перпендикулярность к отрезку 1'Р', где Р' — основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ту же плоскость.
В зависимости от начальных условий конус полодии может принимать различную форму, В случае 169 3,4. Гироскоп с самовозбуждеиием Здесь . = «1«з = зо (( + (о)з, Мза (А — С) 2АС т. е. аргумент интегралов Френеля и тригонометрических функций растет пропорционально квадрату времени. Формулы (3.135) совместно с выражением (3.!34) для озз представляют собой решение исходных уравнений (3.!24). Таким образом, движение определено. 3.4.3. Возбуждение симметричного гироскопа ударными моментами. В связи с практическим применением гироскопов с самовозбуждением в космонавтике представляет также интерес возбуждение кратковременными ударными моментами. Предположим, что составляющая момента по оси симметрии отсутствует.
Тогда ввиду Мз — — О сразу получаем озз — — аззо —— сопи!. Предположим далее, что время удара мало по сравнению с продолжительностью 2«с/оззо одного оборота. Тогда последовательность кратковременных ударных моментов можно представить с помощью функции Дирака б(() в виде М(()=ХМ,б(( — (,). (3.136) Здесь (,— время и-го удара, а М,— мера его величины. Соответствующие выражения получаются и для величин т((), так что общее решение (3.!29) мы можем теперь записать в следующей форме: оз* = визе """«+ оззо )Г е " и«' н ~~)~~ т*,б (т — (,) с(т.
(3.137) Каждый отдельный удар приводит к скачкообразному изменению мгновенной угловой скорости на величину «+з ~~'соз оззото ) б (т (з) «(т. « -з Введя единичную ступенчатую функцию ( О для (((„ 1(( (з) ~ б(т (з)«(с [ [ 1 для ()(„ приведем общее решение (3.!37) к такому виду: аз*=о«ос ' " +оззоХт 1(( — (,)е ™ ! «). (3.138) Его можно трактовать как взаимное наложение собственных колебаний (нутаций), возбуждаемых отдельными толчками. Между каждыми двумя последовательными ударами вектор ы«обходит часть конуса полодии, который в силу М = О представляет собой 1ЗО 3. Гироскоп.
Силы и движение + М~ — М1 + Ме М2 О >О О <О О <О О >О В предположении одинаковых ударных моментов мы таким способом получим изображенную на рис. 3.34 полодию. При этом угол при вершине подвижного аксоида скачкообразно уменьшается до некоторого предельного значения, обусловленного величиной ударного момента. Промежутки времени между двумя последовательными ударами равны ~15 злым 2 (Л С) ызо (3.139) Для тел с эллипсоидом инерции, близким к сфере, они могут оказаться очень большими, во много раз превышая время одного оборота 2п/соко. Уже из этого видно, что при описанном нами способе гашения колебаний процесс демпфирования для тел, у которых А ж С, значительно более продолжителен, чем для сильно вытянутых (а ж +1) или сильно сплюснутых (а ж — 1) тел.
Движение оси симметрии тела (оси фигуры) в процессе гашения колебаний можно построить, используя зависимости для круговой прямой конус, осью которого служит ось симметрии гироскопа. Каждый толчок может изменить угол при вершине конуса. Если эти изменения Лео, известны, то полодия (основание конуса полодии) может быть построена путем последовательного сопряжения дуг окружности. Вспомнив, кроме того, зависимость между углами при вершине подвижного и неподвижного аксоидов, мы можем построить также пространственную траекторию оси симметрии. Покажем это на одном примере. Пусть поставлена задача погасить нутационные колебания жесткого космического корабля. Пусть в качестве источника момента имеются связанные с осями корабля реактивные сопла, которые создают ударные моменты того или иного направления относигельно осей 1 и 2, перпендикулярных оси симметрии.
Нутационные колебания будут ослабевать, если угол при вершине подвижного аксоида будет под действием толчков уменьшаться. Наиболее эффективно можно этого добиться, если ударные моменты будут прикладываться в те мгновения, когда вектор он оказывается в главной плоскости 1-3 или 2-3. Эти моменты времени можно однозначно определить, используя сигнал измерителя угловой скорости, жестко связанного с корпусом (например, гиротахометра). К разбираемому случаю приложима следуюшая схема: Тег ЗА. Гироскоп с самовозбуждеиием Рис.
3.34. Полодия при гашении нутациоиных колебаний с помощью ударных моментош Рис. 3.33. Траектория оси фигуры при гашении нутационнмх колебаний с помощью удар- ных моментов прн а 0,9. углов 13 и Х соответственно подвижного и неподвижного аксоидов (рис. 2.18 и 2.19). Если иметь в виду мгновение, в которое озг = озго и 932 = О, то 1а1 =— 3оз газо Оз Аюш А 1О(р+Х) = — = — '= — 1ар, тузе Сщзо С (А — г ) ш~ашзо 2 Аюго+ Сюзо б К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
