Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Прямые, соединяющие точки названной кривой с точкой опоры Р, служат возможными осями вращений Штауде. Они являются образующими так называемого конуса Штауде с вершиной в точке опоры. Уравнение конуса Штауде следует из (3.93), если в последнем рассматривать координаты вектора ам как переменные. Не вдаваясь в разбор этого соотношения (см., например, Граммель (3) или Лейманис [7]), заметим лишь, что и три главные оси, и прямая Р5 сами служат образующими конуса Штауде.
Уравнение (3.93), действительно, всегда удовлетворяется, если вертикальной осью вращения является главная ось. Именно при этом две из координат ам равны нулю. Если же прямая Р5 вертикальна, то мы можем записать вектор ен в форме ен = вазн т.
е. в1 вам в2 э~32 вз ва33 (3.94) Выражения (3.94) тоже удовлетворяют уравнению (3.93). Покажем еще на примере простого частного случая гироскопа с симметричным эллипсоидом инерции (А = В), каким образом можно определить конус Штауде и как выбрать из его образующих динамически возможные оси.
Если А = В, то (3.93) удовлетворяется для а,ам — — в,ам ам — — О. Конус Штауде вырождается при этом в две плоскости, изображенные на рис. 3.28. Это экваториальная плоскость (плоскость 1'-2') и перпендикулярная к ней меридианальная плоскость, проходящая через точки Р и 5. Из (3.91) вытекает, что оси, лежащие в экваториальной плоскости, динамически не возможны, если только точка 5 не лежит на оси вращения. В силу А = В вращению вокруг экваториальных осей всегда соответствует Вцспс Следова. тельно, согласно (3.91), гироскопический момент равен нулю. Что касается момента силы тяжести в правой части (3.91), то он обращается в нуль только тогда, когда з;!~апо т. е. когда центр тяжести расположен на оси вращения.
Для дальнейшего анализа поверием систему координат, связанную с телом, так, чтобы точка 5 оказалась в плоскости 2'-3'. Это можно сделать, не нарушая общности, так как все экваториальные оси, проходящие через точку Р, равноправны. Тогда в меридиональной плоскости, проходящей через точки Р и 5, мы получим картину, представленную на рис. 3.29. Определим положение оси Р5, проходящей через центр тяжести, углом ф, а угол наклона к оси 2' любой другой оси, проходящей через точку Р, пусть Рис.
3.22. Конус Штауде, вмродившийся в две плоскости. Рис. З.й. Области динамически вовмажнмх осей при вращениях Штауде. 246 3. Гироскоп. Силы и движение будет у. Если рассматривать ось 2' как вертикальную ось вращения, то будет азз = север, поз = пзсовчз, вз = в север, азз= в!ппз пзз — — ой в!п Чз, аз= за!и зр. (3.95) (С вЂ” А) оззсоз = 6 (аз,вз — аззвз), озз (С вЂ” А) в!п хр сов ез = 63 в!п (ф — ~р); или (3.96) отсюда озз 203 3!и (хр — хР) А — С юп2р (3.97) Если имеются в виду действительные значения оз, то полученное выражение должно быть положительным.
Из рис. 3.30 видно, что мп2 Рис. 3.30. К оиреиелеиию еоеможиых осей Штеуде. это требование выполняется при предположении А ) С (сплющенный гироскоп) для чз < яз < л/2, л < ср < л+ зР, Зл!2 < чз < 2л. (3.98) Эти области отмечены на рис. 3.29 жирными линиями. При предположении А ( С (вытянутый гироскоп) мы получим дополнительные условия; возможные оси заключены теперь в интервалах 0 < ор < (р, л!2 < ср < л, л+ ф < хр < Зл!2.
(3.99) Угловую скорость оз, при которой обеспечивается взаимная компенсация гироскопического момента и момента силы тяжести, можно определить по формуле (3.97). Она показывает, что при Подставив эти величины в (3.91), мы получим из этого векторного уравнения в качестве первого уравнения в проекциях следующее соотношение: Э.З. Тяжелый гироскоп 147 озг =(озо 0 О) а =(1,0,0), в, = (в, О, 0). (3.100) Это возможное частное решение исходных уравнений движения (3.29) и (З.З!) тяжелого гироскопа.
Для исследования возмущен- ного движения примем для наших шести переменных следующие выражения: озз=(гоп+ х„хз, хз) ггзз (1 + х4 хз хз) (3.101) где хз (г = 1, ..., 6) — возмущения. Подставив их в (3.29) и (3.31), получим систему уравнений Ах, — ( — С) х,хз = О, Вх, — (С вЂ” А) (соо + х,) хз = Овхз, Сх, — (А — В) (оз„+ х,) х,= — бвхз, хз хзхо+ хзхз = О, хо+ (! + х4) хз (гоо+ х1) хо= О, хо + (о\о + хг) хз — (1 + х4) хо = О. (3.102) Если ограничиться нахождением необходимых условий устойчивости системы, то, согласно теории первого приближения, мы можем пренебречь квадратичными относительно х членами уравнений (3.102).
Отсюда следует, что прн таком приближении возмущения вращении вокруг главных осей аз в оо. Последнее ясно физически, ибо при вращении вокруг этих осей гироскопический момент обращается в нуль и при конечной угловой скорости невозможна компенсация момента силы тяжести. Устойчивость вращений Штауде следует рассмотреть отдельно. Мы не будем разбирать во всей полноте эту специальную область, которая охватывает обширное многообразие случаев вращения. Ограничимся исследованием одного важного частного случая, отослав читателя за дальнейшими подробностями к Граммелю [3] н Лейманису [7).
Определенный практический интерес представляет поведение несимметричного гироскопа, вращающегося вокруг вертикальной главной оси, причем центр тяжести 5 расположен на этой же оси и отстоит от точки т на расстояние з. Расстояние в ) 0 соответствует гироскопу с верхним расположением центра тяжести, а в ( 0 — гироскопу с нижним расположением центра тяжести, Предположим, что гироскоп вращается вокруг оси 1'.
Тогда 3. Гироскоп. Силы и диижеиие 148 хз и хз оказываются малыми второго порядка. Поэтому в даль- нейших рассуждениях уравнения (3.102/1) и (3.102/4) можно от- бросить. Остается система уравнений Вхз — (С вЂ” А) в,хз — 6зхз = О, Сх, — (А — В) а,х, + 6гхз= О, хз + хз — вохе = О хз — х, + взх, = О. (3.103) Ее характеристическое уравнение будет ВХ вЂ” (С вЂ” А) а; 0 — 6з — (А — В) ао СХ 6з 0 0 1 Х вЂ” ае — 1 0 ае Х =О, или после необходимых вычислений и преобразований Л'ВС+ ?и[в,'(2ВС вЂ” А — АС+ А') — 6а(В+ С)]+ -(- [( — А) вз+ 6г] [(С вЂ” А) аз+ 6з] = О. (3.104) Система устойчива лишь тогда, когда удовлетворяющие этому уравнению значения У действительны и отрицательны.
Для этого необходимо соблюдение следующих условий: [вез(2ВС вЂ” А — АС+ А') — 6з(В+ С)] > О, (3.105) [( —.4) азо+ 6з] [(С вЂ” .4) в; '+ 6з] > О, (3.106) В>С вЂ” А, С>А — В. ВС > АС+ А — ВС вЂ” А', 2ВС вЂ” А — АС + А' > О. Получаем или (3,108) [со'(2ВС вЂ” А — АС+ А') — 6з(В+ С)]ив '1ВС [(В А) ао'+ 6з] [(С вЂ” А) вп'+ 6з] > О. (3.10?) Прежде чем приступить к более подробному анализу этих неравенств, удостоверимсн в том, что они позволяют легко вывести три уже известных нам частных случая: свободный гироскоп, сферический маятник и симметричный тяжелый гироскоп.
а) Для свободного гироскопа з = О. Поэтому (3.105) и (3.107) всегда удовлетворяются. В этом можно убедиться, если перемножить следующие, вытекающие из (1.10) соотношения: З.з. тяжелый гироскоп 14й Следовательно, при з =0 неравенство (3.105) удовлетворяется. Условие (3.107) можно привести к виду А'(В + С вЂ” А)' > 0; значит, оно тоже удовлетворяется.
Остается неравенство (3.106), которое при з = 0 переходит в ( — А)(С вЂ” А) > О. Оно подтверждает уже полученный нами выше ($ 2.4) результат, что устойчивость обеспечена лишь тогда, когда А является либо наибольшим, либо наименьшим из главных моментов инерции. р) Сферический маятник представляет собою гироскоп, у которого нет собственного вращения, т.
е. гоп = О. Поэтому (3.106) и (3.107) всегда удовлетворяются. Из (3.105) следует, что для обеспечения устойчивости требуется з(0. Это физически очевидно, так как в устойчивом равновесии может находиться только сферический маятник с нижним расположением центра тяжести. у) Симметричному гироскопу, вращающемуся вокруг оси 1', соответствует В = С.
Следовательно, (3.106) всегда удовлетворяется. Преобразуем неравенство (3.107) к виду (Апи~~ — 46зВ) (А — В)' > О. (3.109) Для гироскопа, у которого з ( О, оно удовлетворяется всегда, а для гироскопа, у которого з ) О, — только при условии Апго' > 4беВ (3.110) (3. 11 1) Кроме величин х и у, характеризующих форму тела, поведение гироскопа зависит прежде всего от гироскопической постоянной й, характеризующей соотношение параметров гироскопа: малые значения й свидетельствуют о преобладании гироскопического момента, а большие — о преобладании момента силы тяжести.
Значения Й ( 0 относятся к гироскопу с нижним расположением центра тяжести, а й ) 0 — к гироскопу с верхним расположением центра тяжести. Для й -+ оо получаем сферический маятник, для В силу (3.108) неравенство (3.!05) для е (0 тоже удовлетворяется. Оно удовлетворяется также и в случае з ) О, поскольку в него нужно подставить значение гоп' согласно (3.!10), которое следует из теперь уже более сильного неравенства (3.107).
Следовательно, все три условия выполняются, если выполняется (3.110). Последнее же совпадает с прежним результатом (3.70). Следует лишь помнить, что там в качестве оси симметрии была выбрана ось 3', а здесь — ось 1'. Для исследования условий (3.!05) — (3.!07) в общем виде введем следующие безразмерные величины: А/В = х, А/С = у, 6з/(А глот) = й. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
