Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а~ = 3, = О, зя — — э эь О), то уравнения движения допускают точное решение. Здесь система (3.29) переходит в следующую: Ай, — (А — С) в,ве — — бама, Авя+ (А — С) в,в, =- — Оамз, Свз = О. (3.35) Из (3.35/3) как новый частный интеграл немедленно следует постоянство проекции вектора угловой скорости на ось симметрии: (3.36) вг = во = сопз1. Этот результат также легко объясним: если центр масс 5 лежит на оси симметрии, то вектор М; всегда перпендикулярен последней; вследствие этого конец вектора кинетического момента Н; может двигаться только в плоскости, перпендикулярной указанной оси симметрии.
Тогда при постоянном Ня в силу Нз — — Свз остается неизменной и вз. Если для последующего анализа принять неподвижную систему координат 1, 2, 3 с вертикальной осью 3 (например, согласно рис. 3.16), то, используя эйлеровы углы ф, б, гр, можно прийти к особенно простым соотношениям, достигнутые при этом результаты, приходится, однако, констатировать, что с физической точки зрения или с точки зрения чисто гироскопической техники они почти (или даже совсем) не представляют интереса. К этому следует добавить, что с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин сведению решения к квадратурам уже нельзя больше отводить того исключительного места, которое оно по праву занимало в рамках классической механики.
В настоящее время не представляет трудности проанализировать с помощью численного интегрирования возможные типы движения тяжелого гироскопа при произвольных начальных условиях с любой желаемой точностью. Мы ограничимся, однако, исследованием таких случаев, которые или представляют интерес либо с методической точки зрения, либо с точки зрения логики самого явления, или же являются важными с точки зрения приложений. Среди них, несомненно, особую роль играет случай 2 в приведенной выше таблице — тяжелый симметричный гироскоп по Лагранжу. Читатели, интересующиеся преимущественно результатами классической теории гироскопов, могут почерпнуть для себя необходимые сведения из обширной специальной литературы (например, [3, 4, 6, 7]).
3. Гироскоп. Силы и движение 120 С помощью выражений з!пбз!пср япбсоз р сов 0 авс = вытекающих из (1.45) и (!.69), получаем для интеграла кинетического момента (3.33) Аз!пд(в, з!п~р+ внсоз~р)+ Свосозд= Но. Это равенство с учетом (1.53) переходит в Аф з!п'б+ Свосозб= Но. Из (1.62) для интеграла энергии (3.34) следует (3.37) (3.38) в уравнение (3.38). Решив последнее относительно Ь с учетом (3.39), получим бв = А ~~Ее — 20зсозб — Сво — ' А . ', ~ =~(б), (3.41) Ав1п Е Отсюда может быть определено 1=1, + ) '" =1(б), 1~Й) (3.42) а затем путем построения обратной функции и б = б(!). Далее на основании (3.40) и (3.39) в результате повторного интегрирования могут быть найдены остальные два угла Эйлера: (3.43) «о с (тес — Св, сов д) сов Е ] ! (3,44) А Б!пса с, '/в(А$' з1 п' 0 + АЬ' + Свн) + Сз сов д = Е„ где, согласно (3.36) и (1.49), во=ф+ $созб.
(3.39) а) Аналитическое решение. С помощью указанных трех частных интегралов (3.37), (3.38) и (3.39) 'полное решение может быть сведено к трем эллиптическим интегралам. Для этого сперва исключим переменную ф подставив найденное из (3.37) значение Ос — Сва сов б (3.40) А в!пс Е 3.3. Тяжелый гироскоп Полученные интегралы могут быть приведены к нормальным эллиптическим. Проделаем это подробнее только с интегралом (3.42), тем более что сама по себе функция 6 = 6(1) дает хорошее представление о возможных видах движения тяжелого гироскопа. Если ввести обозначение (3.46) и = соз О = агв и соответственно и = — з(п О Ь, то из (3.41) следует 1 вЕо С"о зоа г й У По Сыб А А ~) а) ~ А А и) =У(и).
(3.46) Гироскопическая функция У(и) является полиномом третьей сте- пени относительно и. Он может быть записан также в форме 2йа У (а) = А (а — аг) (а — ат) (а — ав), (3.47) где и„ий, и,— корни уравнения У(и) =О. Нетрудно оценить, как в принципе ведет себя гироскопическая функция. Положим з ) О. Это означает, что при 6 = 0 центр масс 5 расположен на вертикали над точкой опоры (стоячий гироскоп), а при 6 = и — под ней (висячий гироскоп) '). При з ( 0 картина будет обратной.
Таким образом, перемену знака з можно учесть путем соответствугощего изменения значения О, так что предположение в ) 0 не нарушает общности рассуждений. Ввиду 26з/А ) 0 мы на основании (3.46) заключаем, что У обладает следующими свойствами: и — » — оо: У-ь — оо, и = -~- 1: У ~( О, и- + со: У-ь+ оо. Ч В отечественной литературе приняты термчны «гироскоп с верхним расположением центра тяжести» н *гироскоп с нижним Расположением центра тяжести». Мы в осиовнои буде» придерживаться их, но иногда для краткости испольауем термины «стоячий гироскоп» н «висячий гироскоп». Прим.
ред. Так как У(и) — непрерывная функция, то по крайней мере для одного из корней справедливо и = ив ~ 1. С другой стороны, в интервале — 1 ( и(+! гироскопическая функция должна принимать положительные значения или по крайней мере обращаться в нуль, потому что иначе уравнение (3.46) не даст для и действительных решений. А это как раз необходимо для того, чтобы можно было описать аналитически движение гироскопа, которое, безусловно, физически существует. Возможное поведение функции У(и) показано на рис.
3.17. Согласно (3.46), значение У(и) = О влечет и = О, а следовательно, и 6 = О. По отношению к 6 это 3. Гироскоп. Силы и движение соответствует точке возврата. Для движения, при котором угол О является переменным, ив = У(и) ) О. Но тогда вид гироскопической функции может быть только таким, как показано на рис.
3.17. Так как У(>!) ) О, интересуюший нас интервал изменения сс определяется неравенством и, ( и < и,. Ему соответствует область Рнс. З,гу Поведение гнроскакнсескав функннн у гк!. изменения угла Ок ( д (дг, в которой движение гироскопа вообще возможно. Для интегрирования уравнения (3.46) введем новую переменную и согласно равенству и= и, +(и,— и,)о'. (3.
48) Она выбрана так, чтобы для и, ( и и, покрывался интервал О ( о' ( 1. Подставив (3.48) в (3.47), после необходимых преобразований получим дифференциальное уравнение б = ( — о)( — о). я ~к (ин и!) 1 2 1 ие и! я~ 24 — /' (3. 49) Введя для сокращения записи обозначение й ис — и, мы можем привести (3.49) к нормальному эллиптическому интегралу первого рода т=Р(о, й).
123 33 Тяжелый гироскоп Обратив этот интеграл, мы получим эллиптическую функцию Якоби, зависящую от параметра й: о = зп т = о(т, й). Тогда из (3.48) следует и=и, +(и,— и,)зп'т. (3.51) Так как функция зпт имеет период 4К, где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода, зп'т имеет вдвое меньший период. Поэтому и=и, для т=2пК, и=и, для т=(2п+1)К (п=О, 1, 2, ...). Следовательно, угол наклона оси симметрии к вертикали периодически колеблется между граничными значениями 01 и бо.
Время полного колебания Лт=2К(й) или б(= Те= Ать т. е. Т К ( й ) 1 3 л (3.52) в обоих случаях, согласно (3.46), гироскопическая функция сг(и) = О, так что и = О, а значит, и Ь= О. Устойчивость этих положений равновесия мы исследуем ниже. Далее предположим, что гироскоп, вращающийся вокруг своей оси фигуры с угловой скоростью гоо и отклоненный на угол бо, предоставляется в этом положении самому себе. Исследуем возникающее затем движение оси фигуры для различных значений ооо. Выражая постоянные Но и Ео через гоо и ио — — соз до.
Н = Ссооим Ео= '/яСго~+ Нэио Из (3.40) и (3.39) видно, что ф и гр имеют тот же период, что и б. Таким образом, всякий раз по истечении времени Тэ движение гироскопа повторяется. Траектория, описываемая при этом какой- либо точкой, лежащей на оси симметрии, составляется из отдельных участков, которые либо конгруэнтны, либо являются зеркальным отображением друг друга (вследствие зеркальной симметрии функции зп).
Это станет еще более ясным ниже при исследовании различных видов движения. 3) Анализ полученных результатов. Рассмотрим теперь подробнее некоторые типичные виды движения. Прежде всего отметим, что гироскоп при вертикальном положении оси симметрии (оси фигуры) сохраняет равновесие как при О = 0 (стоячий гироскоп), так и при д = и (висячий гироскоп). Ввиду О=О, и=1, Но= Сгоо б=-п, и= — 1, Н,= — Сооо, 3. Гнроснон.
Силы н движение 124 преобразуем гироскопическую функцию (3.46) к виду 20п 02 2 У(и) = — (ио — и) ~1 — и' — — '(и,— и) . (3.53) А о ~ 20вА Ее нули определяются постоянной ио и безразмерным параметром Сы о а=— 40вА следующим образом: и, = а — )у а' — 2аи, + 1, (3.54) и,=и„ и, = а+ )у ай — 2аио+ 1. Интересуюший нас.
интервал длн У(и) ) О соответствует условию ий < и ( ий. В предельном случае невращающегося гироскопа Рнс. ПЛП. траекгорнн некоторой точка осн фнгуры тнжелого гкроскопа, предоставленного самому себе (бев толчка), длв рвплнчных вне~евно сабо~венного кинетического момента.
(ото — — О) а = О, т. е. иг — 1, ий = ио. Гироскоп колеблется, как плоский маятник, причем ось фигуры, двигаясь из начального положения дм проходит крайнее нижнее положение О = н и затем достигает противоположного крайнего положения бо. На рис. 3.18 изображены траектории точки оси фигуры для различных значений а. Кривая 1 соответствует а = О, кривые 2 †5 возрастающим значениям а, т.
е. нарастающей угловой скорости собственного вращения. Если боо чьО, т. е. а ) О, то ось фигуры никогда не 3.3. Тяжелый гяроскоп г26 достигает нижнего полюса, поскольку постоянно и, ) — 1. Область перемещения гироскопа, ограниченная параллелями из — — сов дз н из = ио = сов ба, становится тем уже, чем больше шо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
