Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Такое представление приведено на рнс. 2.!8 для вытянутого ги. роскопа н на рис. 2.19 для сплюснутого. При этом предполагается, йо 2. Свободный гироскоп с неподвюкной точкой опоры что ось 3 неподвижной системы координат направлена вдоль кинетической оси, а ось фигуры — вдоль оси 3'. Осью конуса герполодии является кинетическая ось, а осью конуса полодии — ось фигуры. Общая образующая обоих конусов представляет собой мгновенную ось вращения.
Вектор угловой скорости гв, можно разложить на две составляющие чр и ф по направлениям осей обоих конусов. Угол, образуемый этими осями, равен эйлерову углу д; это постоянный угол, так как оба конуса круговые. При движении .гироскопа, в то время как подвихсный аксоид катится по неподвижному, изображенная на рисунках векторная диаграмма вращается как единое целое вокруг кинетической оси. В процессе этого движения в общем-то зримая ось фигуры гироскопа !ось 3') также описывает круговой прямой конус, называемый конусом нутации.
Половина угла при его вершине равна углу д, а ось совпадает с кинетической осью. Для половин углов при вершине конуса герполодии и конуса полодии (соответственно Л н !с) мы можем на основании закона синусов получить из рисунков следующие зависимости; з!пЛ= — 'з!пб; 12.43) Подставив сюда ранее полученные для ф и ф значения (2.39) и (2.40), мы можем выразить эти углы через характеристические параметры гироскопа. Примечательно, что отношение — = — =~ — — 1)созбо Мпх ф тА вгпн 9 ~С для до « 1 зависит исключительно от отношения А/С и не зависит от начальных условий. Формулы 12.43) в равной мере относятся как к эпициклоидальному, так и к перициклоидальному движению.
Все прочие данные, характеризующие эти движения, приведены в таблице на стр. 91. Она содержит также данные, относящиеся к предельному случаю А=С. При перициклоидальном движении !сплюснутый гироскоп) подвижный аксоид следует представлять себе в виде полого конуса, который катится по неподвижному аксоиду, касаясь его своей внутренней поверхностью.
Из (2.43), учитывая равенство (2.39), мы можем видеть, что угол Л конуса герполодии зависит от формы эллипсоида инерции: з!и Л =11 — — ) —" з!и д. А! ы (2.44) В предельном случае, когда А = С, т. е. когда эллипсоид инерции тела превращается в сферу, Л = О, конус герполодии вырождается в прямую и конус полодии вращается просто вокруг одной из своих образующих. 2В. Симметричный гироскоп 91 Нутация симметричного гироскопа, А=В а) Эпициклоидальное движение, А>С Ь) Перициклоидальное движение, А<С с) Предельный случай, А=С О=и Л=О ф=О ызз ф =о =в сааб Ось вращения и кинетическая ось совпадают ф>0 ызз зз созб Ось вращения постоянно находится между кинетической осью и осью фигуры ф<0 ф=п>— ыза созо Кинетическая ось постоянно находится между осью вращения и осью фигуры Если исключить особый случай С = О, когда сам гироскоп вырождается в стержень, то угол )з конуса полодии обращается в нуль только при О = О.
Это происходит при невозмущенном вращении вокруг оси фигуры. 2.5.3. Устойчивости симметричного гироскопа. Согласно общим результатам, полученным в 5 2.4, мы можем утверждать, что устойчивость вращения симметричного гироскопа вокруг его оси фигуры обеспечена. Вытянутый гироскоп вращается вокруг большой оси эллипсоида инерции, а сплюснутый — вокруг малой.
Остается еще исследовать вращение вокруг главных осей, лежащих в экваториальной плоскости. Как упоминалось выше (п. 1.5.2), все экваториальные оси симметричного гироскопа являются равноправными главными осями. Поэтому стационарное вращение вокруг этих осей возможно, однако оно оказывается неустойчивым по юь Это проще всего усмотреть из формул (2.37). Если вращение происходит строго вокруг одной из поперечных осей, то отз = О, значит, и ч = О, и тогда мы получаем юз = О, юа = юзо. Если же вследствие некоторого возмущения этого движения возникнет юа ~ О, хотя бы и весьма малая, то будет ч Ф О (исключая случай шарового гироскопа, А = С), а юз и юя окажутся периодическими функциями, которые не являются близкими к не- возмущенному решению отз = О, юг = юш.
В справедливости этого результата мы можем убедиться и непосредственно, по виду полодий (рис. 2.7). При возмущении вращения вокруг экваториальной оси конец вектора им попадает на соседнюю полодию, лежащую в плоскости, параллельной экваториальной. По этой полодии он перемещается со скоростью, которая приблизительно пропорциональна расстоянию полодии от экватора. Время полного обращения вектора ю; относительно тела 92 й. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Т = 2п/и.
Отсюда видно, что вектор вн не остается вблизи той точки на экваторе, которая соответствует иевозмущенному движению. По переменной сов, а в силу равенства сов 6 = Сгоз(Н и по углу д, описанное движение следует признать устойчивым (в смысле Ляпунова). Пусть, например, невозмущенное движение определено так: ыв — — 0 и б = п)2. После некоторого малого возмущения как гоз, так и и!2 — б остаются малыми, и мы можем для заданных значений е отыскать соответствующие значения б, доказав тем самым устойчивость движения. Подобным же образом можно показать, что описанное движение устойчиво по угловым скоростям ф (2.39) и ф (2.40), но неустойчиво по самим углам ф и ф.
Изображающая точка иа диаграмме устойчивости (рис. 2.17), отвечающая вращению симметричного гироскопа вокруг одной из его поперечных осей, лежит на границе зоны неустойчивости. 2.5.4. Шаровой гироскоп. Сделаем еще несколько замечаний относительно особого вида гироскопа — шарового, поскольку в свое время предполагали, что он наиболее пригоден для технических применений. Безусловно, при равенстве всех трех главных моментов инерции (А = В = С) мы получаем в качестве общего решения уравнения Эйлера (2.10) перманентное вращение вокруг любой оси.
В этом случае каждая ось, проходящая через точку опоры Р, является главной. Отсюда непосредственно следует, что такое вращение устойчиво по переменным ы„ыж гов, О, ф, ф. Аналитические выражения для этих параметров нетрудно получить из выведенных выше формул, полагая в них А = В = С. Изображающая точка для шарового гироскопа на диаграмме устойчивости (рис.
2.17) совпадает с ортоцентром треугольника. Здесь сходятся все зоны устойчивости и неустойчивости, Согласно сказанному выше, сама изображающая точка должна быть причислена к точкам зоны устойчивости. Однако это нельзя обеспечить практически. Для реальных тел невозможно строго соблюсти условие А = В = С. Вследствие неоднородности материала, неравномерного температурного расширения или деформаций под влиянием ускорений всегда приходится считаться с теми или иными отклонениями. Но тогда изображающая точка на диаграмме устойчивости может переместиться в зону неустойчивости. Поэтому с точки зрения практического использования шаровой гироскоп следует признать непригодным, так как даже при малейшем изменении распределения массы, которого едва ли можно избежать, он может оказаться неустойчивым. Глава 3 Гироскоп.
Силы и движение В случае гироскопа, на который действуют какие-либо силы (илн моменты), возникают задачи двух типов: либо по известному движению гироскопа требуется определить действующие на него силы, либо, наоборот, найти движение, вызванное заданными силами. Как будет показано в 5 3.1, решение первой из этих задач не вызывает принципиальных затруднений. Значительно более трудными оказываются задачи второго типа; о них и пойдет речь в 5 3.2 — 3.5. Разница в степени трудности обеих задач определяется тем обстоятельством, что уравнения движения гироскопа линейны относительно моментов, тогда как относительно составляющих угловой скорости они представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения.
ЗЛ. Силы в случае гироскопа с дополнительной связью 3.!.1. Общее решение. Теорема о кинетическом моменте (1.75) устанавливает связь между изменением кинетического момента гироскопа и моментом М; действующих на него сил. У гироскопа, совершающего вынужденное движение, предопределенное направляющей связью, следует различать активные моменты М; и мо- А менты реакции М;. Активные моменты могут создаваться, напри- а мер, силой тяжести, силой упругости пружины, электрическими или магнитными силами.
Моменты же, наложенные на гироскоп посредством подвеса или направляющих связей, мы называем моментами реакции: благодаря им становится возможным вынужденное движение гироскопа. Таким образом, имеем — =М~=М; + М;. лгг~ л Ж (3.1) Расчленим момент реакции на две составляющие, одна из которых, М~~, уравновешивает активные силы. В статическом случае, когда ло гироскоп неподвижен, эта составляющая является единственной, Вторая составляющая, М~, вызывает изменение кинетического ак 3. Гироскоп. Силы и движение момента, например движение оси гироскопа.
Таким образом, Мя Мко ( Мяк гдеМ; = — М; иМс = — Мз. йо л кк к Момент реакции М~~~ действует на гироскоп. В приложениях нас часто интересует противоположный ему момент, который приложен со стороны гироскопа к подвесу или к направляющей связи. Он обозначен выше Мк Рассмотрим его более подробно. Согласно (3.!), М; = — — = — — (Высо ). Ыус д ж щ м!' (3.2) Для упрощения в (3.2) операции дифференцирования часто бывает удобно воспользоваться системой координат, связанной с телом, потому что в этой системе элементы тензора инерции Вн посто- янны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
