Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь вводится другой эллипсоид, так называемый эллипсоид Мак-Куллага. Он определяется как геометрическое место концов векторов кинетического момента Нь которые приводят к заданному значению кинетической энергии Т. Уравнение этого эллипсоида, вытекающее из (2А), имеет вид и-', Нв О,' — '+ — '+ с'=2Т А В (2.7) Эллипсоид Мак-Куллага тоже неизменно связан с телом, его оси совпадают с осями эллипсоида инерции, эллипсоида энергии и кинетического эллипсоида. Полуоси его равны с, = )12ТА, с, = )г'2ТВ, св = ) Р2ТС. Сопоставляя полученные величины с соответствующими параметрами эллипсоида энергии (1.60), приходим к выводу, что последний и эллипсоид Мак-Куллага взаимны, коль скоро произведения соответствующих осей (а,с, = а,с, = авен = 2Т) постоянны.
Таким образом, сплюснутому эллипсоиду энергии соответствует вытянутый эллипсоид Мак-Куллага и обратно. При движении свободного гироскопа кинетический момент остается постоянным по величине и направлению. Направление вектора кинетического момента называют неизменяемой прямой; она проходит через точку опоры Р гироскопа. Отложив на этой прямой б (рис. 2.!1) по обе стороны от точки опоры величину Н кинетического момента, получим точки Р и Я. Движение гироскопа может быть наглядно представлено таким движением эллипсоида Мак-Куллага МЕ с центром в точке Р, при котором его поверхность постоянно проходит через точки Р и Я. В процессе движения эти точки описывают на поверхности эллипсоида кривые, все точки которых равноудалены от центра.
Эти кинетические аолодии сходны с полодиями на эллипсоиде энергии в геометрической интерпретации Пуансо и могут быть изучены аналогичным образом, 2.2. Геометрическая интерпретация Мак-Куллага 73 Рис. 2ИЬ Интерпретация двимеппн гироскопа как перекатывания вллипсоидв Мак-Куллага (Май по неизменяемой прямой О. Рпс. 2Д2. Вектор кнвегияеского момента Н.
и вектор угловой скорости ма при представлении движения по МакКуллагу. сферой (2.8). Исключив в (2.7) и (2.8) последовательно проекции кинетического момента, найдем проекции кинетических полодпй на главные плоскости: А — В 2 А — С 2 2 плоскость 2-3: В Нт+ На= 2ТА — Н, С плоскость 1-3: — 1 Н( + На =- 2Т — Н', (2.9) В А — С 2  — С 2 плоскость 1-2: — — Н2 — Н,=2ТС вЂ” Н. А В Здесь так же, как и в случае движения Пуансо, при проектировании по направлению малой или большой осей эллипсоида (А илн С) получаются эллипсы, а при проектировании по направлению средней оси (В) — гиперболы, Конец вектора кинетического момента Н; лежит, с одной стороны, на поверхности эллипсоида Мак-Куллага, а с другой стороны, вследствие Н = сопи( на поверхности кинетической сферы Н', + Нй + Нй = Н'.
(2.8) Поэтому кинетические полодии могут рассматриваться как кривые пересечения эллипсоида Мак-Куллага (2.7) с кинетической 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры В интерпретации Мак-Куллага направление вектора угловой скорости в; можно получить, опустив из точки Р перпендикуляр на плоскость, касательную к эллипсоиду в точке Р (или Я); см. рис. 2.12. В противоположность неизменяемой плоскости в движении Пуансо касательная плоскость в движении Мак-Куллага не неподвижна: она качается около неизменяемой прямой, проходя, однако, постоянно через точку Р. 2.3. Аналитическое решение по Эйлеру 2.3.1.
Интегрирование дифференциальных уравнений Эйлера. Уравнение Эйлера (1.83) в случае свободного гироскопа переходит в следующее: — + е, евсНе=О. лнг гн, (2.10) Если отвлечься от тривиального случая вг = О, то вследствие равенства сс'нс — =Вг— ж г ггс оно всегда удовлетворяется при вс11Нг и в = сопз1. Это означает, что возможно вращение с постоянной угловой скоростью вокруг главных осей.
Далее можно сразу заметить, что оно является единственно возможным перманентным вращением вокруг осей, неизменно связанных с телом. Действительно, если гироскоп вращается не вокруг главной оси, то из соотношений гс нг ггг гвт — '=сйгг — = — еггвсогНв Ф О сст Н дс сразу следует, что в; не может быть постоянной. Из (2.10) нетрудно найти оба интеграла (2.1) и (2.2) уравнений движения. Из г(Нг)г(1 = 0 непосредственно вытекает, что аНг Н;=сопз1 и — =е; вН вв С другой стороны, скалярно умножая (2.10) на в; и учитывая (1.81), получаем Иг с1 лнг Лыс) л гс 1 Лт со — '= — (в — '+ Н вЂ” ')= — ( — Н в != — =О, ггт 2(, ' гст ' гсС! гСС (,2 Г Г! гсс т.
е. Т = сопз1. Теперь мы можем воспользоваться интегралами кинетического момента и энергии для того, чтобы прийти к точному решению уравнений движения путем простого интегрирования (в квадратурах), С этан целью перейдем к проекциям и исключим нз (2.3) и (2.4) 2.3. Аналитическое решение по Эйлеру две из трех проекций угловой скорости, например а1 и ае. Обозначив х = а2, получим А'а'+ С'а' = Н' — В'х2, Аа'; + Са', = 2Т вЂ” Вхе. Отсюда (Н' — Вех ) — С (2Т вЂ” Вх ) В ( — С), 1 А(А — С) А(А — С) ( ~ )' А (2Т вЂ” ВХ — (Н' — Вехе) В (А — В) 2 С(А — С) С(А — С) ( 2 )' (2.11) где Н' — 2ТС 2ТА — Н' В( — С) ' 2 В(А — В) Эти выражения в случае А ) В > С всегда положительны.
В проекции на главную ось 2 уравнение (2.10) имеет вид Вх + (А — С) а,ае = О. Подставив в него (2.11), получим х=1/ )/(Х21 — х)(хе — х'). (2.12) Интегрируя это равенство, находим пх /(А — В) ( — С) (( () (2 )З) / —,. А )тт(х,' — хе) (х, '— хе) ~т АС Интеграл в левой части (2.13) может быть преобразован к нормальному эллиптическому интегралу Лежандра первого рода. При этом, подобно тому как мы поступали в Э 1.2, следует различать три случая: а) эпициклоидальное движение Н' < 2ТВ, Ь) перициклоидальное движение Н' > 2ТВ, с) промежуточный случай Н2 = 2ТВ, Случай а).
Так как нас интересуют только действительные значения х, из (2.1!) получаем х < хь Введем безразмерную пе- ременную (А — В) ( — С) / ( — С) (2ТА — Н') т = х2 — У АВ (( (о) = ф' и' АВС (( — (2). параметр и безразмерное время 5 =Х/х, < 1. й = х,/хи < 1 хе < х'„ Х'> Х', 1 2' х'=х' ! 2' 76 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры С помощью этих выражений интеграл (2.13) преобразуется к нормальному виду (2.14) где аргумент ф = агс з)п $. Обратив интеграл (2.14), придем к эллиптической функции Якоби $ = з!пер= зп т; отсюда найдем х = хД.
Для определения всех трех проекций угло- вой скорости это выражение следует подставить в (2.1!). Тогда, сообразуясь со свойствами эллиптических функций Якоби зп, сп, и с)п, получим точное решение уравнений движения: Н' — 2ТС А (А — С) — I Н' — 2ТС о" =+ ~' В ( — С зп т, случаи а), /' 2ТА — Нт гов — — + )Т С(А С) с)пт. (2.15) Указанная здесь расстановка знаков является лишь одной из ше- сти возможных. Каждые две из проекций от должны иметь одина- ковые знаки, причем должны встречаться как те, так и другие.
В этом можно убедиться, подставляя (2.15) в уравнения (2.10) в проекциях и учитывая следующие правила дифференцирования: — (зп т) = сп т г) п т, и'т и' — (сп т) = — зп т бп т, г!т и — (бит) = — й'зптсп т. от АВС Р (2 ТА — Нт) ( — С) (2,1б) При анализе решения (2.15) следует иметь в виду, что функции Якоби являются периодическими по т (рис. 2.13): зп т и сп т имеют период 4К, период с)п т равен 2К, причем полный эллиптический интеграл первого рода К зависит еще от параметра Й. В предельном случае, когда й = О, имеем К = п)2; эллиптические функции зп т и сп т переходят в круговые з)п т и сов т, а дп т = 1.
Таким образом, решение (2.15) для угловой скорости пц соответствует периодическому движению с периодом т, = 4К. Подставив сюда исходные величины, получим для периода в натуральном времени выражение 77 2.3. Аналитическое решение по Эйлеру Уяснить характер движения проще всего, исходя из предельного случая й = О.
Тогда х, = О, Н' = 2ТС, и из (2.15) получаем ш! = шз = О, Озз = ~У2Т(С = О!во т. е. налицо вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси 3. При малом возмущении этого стационарного движения имеем й « 1, ! — 2ТС(Н2 « 1. Учитывая это, из (2.15) находим ш! О!осев т ш2 и20ззп т, Озз язо Соответственно этому конец вектора ш! описывает в системе координат, связанной с телом, эллипс, плоскость которого перпен- Рис. 2.!3, Поведение вллнптическик функций Якоби. дикулярна оси 3 тела.
По отношению к телу один оборот совершается за время ° ./ шзо )з (А — С)( — С) ' Как следует из (2.! 5), отношение осей эллипса равно се!в В ( — С) шм А (А — С) Это полностью совпадает с результатом, вытекающим из (2.5/3), При больших отклонениях от стационарного вращения вокруг оси 3 полодия описывается равенствами (2.15), пока движение еще эпициклоидально, т. е. пока остается в силе Н'( 2ТВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
