Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При исследовании движения гироскопов представляет интерес как раз поведение оси фигуры, так как в большинстве случаев именно она непосредственно видна и ее движения легко измерить. Каждая ось симметрии или ось фигуры тела с однородным распределением масс является одновременно и главной осью инерции, но, напротив, не каждая главная ось инерции является осью симметрии илн осью фигуры. 1.
Введение и основные положения Наряду с главной осью инерции, осью фигуры и осью симметрии важное значение имеют ось вращения н кинетическая ось. Ось вращения определяется как геометрическое место точек движущегося тела, скорость которых в определенный момент времени равна нулю. Ось вращения всегда совпадает с направлением вектора аз мгновенной угловой скорости. Кинетическая ось определяется как ось, имеющая направление вектора Нз кинетического момента. В силу соотношения Н, = 8;,аз направление кинетической оси зависит от направления оси вращения и от распределения масс в теле, т.
е, от тензора инерции бзм. Указанные оси совпадают лишь тогда, когда они направлены по главной оси инерции. Это свойство одновременно может быть принято в качестве динамического определения главных осей; Главные оси твердого тела характеризуются тем, что при вращении тела вокруг этих осей векторы угловой скорости и кинетического момента направлены одинаково. Это определение эквивалентно тому, которое было дано ранее с помощью понятий геометрии масс (п. 1.3,4); отсюда с учетом (1.бб) вытекают следующие результаты: !. Тело с тремя различными главными моментами инерции имеет три главные оси. Только в том случае, когда вектор аз совпадает с одним из этих направлений и, следовательно, две из трех компонент аы а', и а,' этого вектора равны нулю, имеем Нз!1аь 2.
Если два главных момента инерции (например, А' и В') одинаковы, то все оси, лежащие в главной плоскости 1'-2', являются главными. Из условий А' = В' и аз = 0 сразу следует, что Н( . 'Не=а( . 'аз, т, е. что Нз 1!а,. 3. Если А'= В'= С', то любая ось является главной.
В этом слУчае Н(: Нз: Нз = а( . 'аз '. аз! следовательно, Н(!1аь Из того что моменты инерции всегда положительны, следует, согласно (1.б9), что векторы угловой скорости и кинетического момента лежат в одинаковых актантах, так что угол между ними никогда не может стать больше и/2. Связь между этими векторами можно выяснить более подробно, прибегнув к построению, предложенному Пуансо. Он использует интерпретацию эллипсоида энергии как геометрического места концов угловой скорости аь соответствующих постоянному значению энергии Т; см. (1.60). Если провести плоскость, касательную к эллипсоиду энергии в точке Р (рис.
!.31), то перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида на эту плоскость, даст направление вектора кинетического момента Ни Из (!.бО) получается уравнение этой плоскости: 2Т = А'озз а! + В'аз аз~ + С'аз~азС (1.74) Кз. Основы кинетики Здесь иур — вектор, проведенный из начала координат в точку Р, а вектор ен проведен в любую точку касательной плоскости. Так как направляющие косинусы нормали к поверхности 1(хи х,, ха) = = сопз1 пропорциональны производным д17дхь направляющие косинусы нормали к касательной плоскости (1,74) пропорциональны величинам А'со1~, В'сот~, С'со(~, а следовательно, и величинам Н1, Н',, На Итак, вектор Н; направлен перпендикулярно рассматриваемой касательной плоскости.
Для симметричного гироскопа, когда, например, А' = В', взаимное распело>кение различных осей может быть представлено Ьт; С'<А С>А мВ сВ Рнс. изи Расположение трех осей (осн фнтуры РА, осн ераженпа мт н кинетической осн Н;) прн апнинклондальном ~а~ н пернцнклондальном твт движении. наглядно, так как при этом ось фигуры (РА), ось вращения (ен) и кинетическая ось (Н;) лежат в одной плоскости. На рис.
!.31 изображено сечение этой плоскостью эллипсоида инерции или подобного ему эллипсоида энергии. В случае «а» оси фигуры соответствует длинная ось эллипсоида и, следовательно, наименьший главный момент инерции С' ( А' = В'. Гироскоп вытянут вдоль этой оси («эпициклоидальный» случай). Здесь ось вращения всегда лежит между осью фигуры и кинетической осью.
В случае «Ь» С' ) А' = В', следовательно, гироскоп сплюснут вдоль осн фигуры («перициклоидальный» случай). При этом кинетическая ось всегда лежит между осью фигуры и осью вращения. Эти свойства не зависят от со, так как при изменении величины угловой скорости получается только подобный (увеличенный илн уменьшенный) эллипсоид энергии, 1. Введение н основные положения Из построения, приведенного на рис. 1.31, видно, что м; и Н( могут совпадать лишь тогда, когда вектор (о; лежит на главной оси нлн когда в меридиональном сечении эллипс превращается в круг.
Последнее имеет место в случае шарового гироскопа. 1.5.3. Теоремы о кинетическом моменте н кинетической энергии. Важнейшая теорема теории гироскопов — теорема о кинетическом моменте. В неподвижной системе отсчета ее можно записать так: ((Н(1((1 = М,. (1.75) Словами: абсолютная производная по времени от кинетического момента Н, равна главному моменту М( внешних сил. Теорему о кинетическом моменте следует рассматривать как самостоятельную основную теорему механики '). Ее не только не обязательно, но и не во всех случаях возможно выводить из из- вестных основных ныотоновых законов механики (см., например, Трусделл [18)), Так как часто бывает нужно применять теорему о кинетиче- ском моменте в системах отсчета, движущихся и имеющих начало в точке Р (рис.
1.30), мы подставим (1.65) в (1.?5) и получим г!Н р г.з. з= е((й(х1л+ х(!й)+ тецй(г(хя+ г(хй)+ — „, ((З((о))) = о =М! =М; + е(мх(Рй. Здесь Рл — главный вектор внешних сил. Из теоремы о количестве движения системы, гласящей, что 1( = Ро следует е,(йх(15 = е((йх,Рй. Если далее учесть равенство 1; = т!)( = т (х; + гз), определяющее вектор количества движения, то получим емй (х(!й + таз(хй) = тець (х,хй + х(г35 + г(зхй) = О.
Такны образом, теорема о кинетическом моменте запишется ввиде — „, (6)((о)() + те;;йг(хй = М; . (1.76) Равенство (1.76) выражает теорему о кинетическом моменте с учетом произвольного движения полюса Р. Дифференцирование ') Как известно, теорема о кинетическом моменте в форме П.75), где и — момент только г енещних снл, может быть выведена из второго закона Ньютона, если положить, что силы взаимодействия любык двух частнп механической системы не только равны по модулю н противоположна направлены, но и лежат иа прямой. соединяющей зги частины Как очи.
тает Трусделл (СН нет оснований полагать, что зтнм свойством обаадают любые внутренние силы системы. н в трудах Ньютоне такого утвержлеяия нет Однако. утверждает Трусделл, теорема в форме ((75) верна для любой материальное системы нак самостонтсльный закон природм. — Прям ред. !д. Основы кинетики производится здесь всюду в неподвижной системе координат. В двух случаях, а именно когда 1) полюс не обладает ускорением (хи = 0) и 2) полюс совпадает с центром масс тела (гз = 0), это выражение приводится к виду — „', (Е,чо!) = М';. (1.77) Теорема о кинетическом моменте в форме (1.75) или (1.77) справедлива для системы отсчета, не обладающей ускорением (инерциальная система), или в случае, когда полюсом является центр масс, хотя бы он и обладал ускорением.
Из (!.75) интегрированием получаем значение кинетического момента Н,=Н!,+) М,д1, Так как и; „о, )г г, ЫР! = о и;, и )г г, с(Р, = о Мы то Лт= х!Рт+ отМ!. Таким образом, мощность складывается из двух слагаемых, соответствующих поступательному и вращательному движению тела. Выражение для работы получим интегрированием мощности. Далее, с(А = й! с(! = с(Т + Лl + с(Ео. (1.79) Это означает, что работа может идти на изменение кинетической энергии Т, потенциальной энергии У (например, при подниманин центра тяжести нли сжатии пружины) или на преодоление сопротивления движению, т. е.
на изменение диссипативной энергии Ев. Для консервативной системы Еа = 0 и дА = О, т. е. внешние силы Входящий в эту формулу интеграл называется импульсом момента. Следовательно, импульс момента, приложенного к покоящемуся твердому телу, равен кинетическому моменту, который приобретает это тело во вращательном движении. Кинетический мо. мент и импульс момента — одннаково направленные векторы. Ось вращения в общем случае не совпадает с кинетической осью; это означает, что после приложения ударного момента тело может вращаться не вокруг той оси, относительно которой действовал момент.
В этом сказывается анизотропия твердого тела по отношению к вращательному движению. Мощность силы дРи приложенной к элементарной частице тела, равна д)т! = утт(Р!. Интегрированием по всему объему тела с учетом (1.38) получим й! = ) у! дР! = ) (х! + и !ьо!гь) дР!. !. Введение н основные положения отсутствуют или не производят работы' ). Тогда из (1.79) следует закон еохранеиия энергии Т+ сг =Ео. (1.80) Если потенциальные и диссипативные силы отсутствуют, с((7 = = с(Ео = О, то работа сил идет только на изменение кинетической энергии. Если ограничиться рассмотрением лишь твердого тела с неподвижной точкой (х! = О), то с учетом равенства (1.75) получим йг де!у! — = т"гг' = оу М = ау — ' .
! ! л! С другой стороны, в силу равенства (1.71) Сравнивая, получаем дггт'! йю (1.8 1) Отсюда можно заключить, что для тела, на которое не действуют внешние силы, оба выражения, фигурирующие в равенстве (1.8!), обращаются в нуль. Следовательно, при неравных нулю сомножителях Ну.) агот!. (1.82) 1.5.4. Уравнения движения гироскопа.
Пусть гироскоп имеет неподвижную точку. Случаи, когда такое ограничение отсутствует, будут рассмотрены позже (гл. 7 и 8). Так как тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы, необходимо иметь три уравнения, чтобы определить координаты тела как функции времени. Эти уравнения доставляются уже теоремой о кинетическом моменте, поскольку одно векторное уравнение соответствует трем скалярным. Кроме того, для вывода уравнений движения можно использовать соотношения, связывающие кинетическую энергию Т и координаты вектора ыо По первому из названных путей шел Эйлер, по второму — Лагранж. Уравнения движения Эйлера и Лагранжа широко применяются в теории гироскопов, и поэтому оба будут здесь рассмотрены.
а) Уравнения движения Эйлера. Выражение теоремы о кинетическом моменте в форме (!.75) или (1.77) в большинстве случаев '! Если равенство и тй! переписать в виде !УЕ! — Еи — ЕЕО= ЕТ, то станет очевидным, что оно выражает теорему об изменении кинетической энергии, причем слагаемые ! — си! и ! — НЕш представляют собой работу потенциальных в диссипативных сил Снедоввтельно, здесь в отличие от предыдущего ЕФ означает работу не всех гил, алишьтехнепотенциаль. ных сил, которые не являются диссипативными Поэтому оправдано, что автор называет консервативной такую систему, для которой ЕО О и ФЖ О. — Прим реа Ка.
Основы кинетики неудобно для решения задач теории гироскопов. Это объясняется тем, что элементы тензора инерции 6ц в неподвижной системе отсчета, вообще говоря, не являются постоянными величинами. По. этому лучше перейти к системе координат, связанной с телом, в которой элементы тензора инерции постоянны. Тогда теорема о кинетическом моменте может быть приведена с учетом уравнения (1.55) к виду — т (6тгоз)) = д~ (6цот))+ ацзсо)6зно~ = М) или а отГ 6ц йт' + ецзоз!6зссо! = М(. (1.83) Вити — (С вЂ” А) итзит~ = Мм Ссиз — (А — В) кчсоз = Мз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
