Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это выражение дает переносную скорость изменения вектора, которую он приобретает-вследствие того, что участвует в движении подвижной системы. Таким образом, абсолютная скорость изменения вектора равна сумме относительной и переносной скоростей; (1.55) йхи~й( = й'хг)Й+ ет>втв,хв. 1. Введение н основные положения Легко усматриваются два граничных случая: 1) х; неизменен в пространстве; тогда зГх; с1'х~ 2) хй неизменен в подвижной системе; тогда и'х~ сГх,. — ' = О И вЂ” ' = Е; йвй Хв. ж сгг Эти соотношения можно получить непосредственно из рис. 1.29.
В первом случае конец вектора хй остается неподвижным в пространстве; для наблюдателя, движущегося вместе с подвижной системой, конец вектора движется в противоположном направлении. Рис. Ь29, Абсолютная производная вектора хй, не «змеяяющетося во вращающейся системе координат. Во втором случае хй остается неизменным во вращающейся системе 1т. е. хй = сопз1); тогда для неподвижного наблюдателя конец вектора движется в направлении, обусловленном вращением системы с угловой скоростью соь Если применить формулу 1!.55) к вектору самой угловой скорости, то получим 11:56) 1.5. Основы кинетики 1.5.1.
Энергия и кинетический момент. Энергией движения или кинетической энергией материальной частицы с1т называют величину 21Т=''2о'г)т ='Ьу'с)т='/йу у; с)т, !тн Основы кинетики Здесь у; — радиус-вектор частицы. Чтобы получить кинетическую энергию Т системы, это выражение следует проинтегрировать по всем входящим в нее частицам. Для твердого тела, учитывая формулу (1.38), определяющую скорость частицы с(т, получаем 2Т = ~ [х; + е; ва;гв) [х~ + е;ьиа1г,и] Ит.
Перемножив и введя обозначения ) дт=т и ) г,.с(т=тгз, имеем 2Т= тх х -[- 2тх еп а1г~~+ ) еп„а,.гвец~аг,„с(т. (1.57) Здесь т — масса всего тела, а гз — радиус-вектор центра масс, проведенный из какого-либо начала, взятого в теле. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела состоит из трех слагаемых. Первое из них представляет собой энергию поступательного движения, третье — энергию вращения.
Средний член зависит как от поступательного, так и от вращательного движения тела. Однако он обращается в нуль в двух важных случаях: 1) когда в качестве начала радиусов-векторов в теле взята его неподвижная точка; тогда х; = О; 2) когда в качестве этого начала взят центр масс 5 тела; тогда гз =О. Ниже мы исследуем более подробно важную для движения гироскопа часть энергии, обусловленную вращательным движением. Она остается единственной, если в (!.57) положить х; = О.
Подыитегральное выражение в последнем члене (1.57) можно, учитывая соотношения, полученные в з !.2, преобразовать к виду есгвептага1гвгт = (бдбв,и — бв~б1т) а а~гизы = = а1а1гвгв — агавг1гв = а;а; (гвгвбы — г,г1). Из (!.57) с учетом (!.!3) при х; = О следует 2Т =!9;,а;ар (1.58) илн в развернутом виде 2Т = Аа~+ Ва~+ Сав — 2Ра а — 2Еа а, — 2Еа,а . (1.59) Следовательно, кинетическая энергия является квадратичной формой проекций вектора аь Если систему координат связать с телом, то осевые и центробежные моменты инерции будут постоянными. Формулы (!.58) и (1.59) будут формально идентичны формулам (1.25) и (!.26), если заменить а; на уь Подобно тому как 1. Введение н основные положения формулы (1.25) и (1.26) можно было толковать как уравнения эллипсоида инерции, так н формулы (158) и (1.59) можно принять за уравнения, определяющие некоторый эллипсоид. Он называется элливсоидом энергии.
Этот эллипсоид можно представить как геометрическое место концов векторов еоь отложенных от неподвижной точки, которым соответствует заданное значение энергии Т. Уравнение эллнпсоида энергии принимает особенно простой вид, если привести его к главным осям инерции тела. Тогда В' = = Е' = Р' = 0 и вместо (1.59) из (1.58) следует 2Т = А'ео( + В'ео'е+ С'еов, (1.60) или где полуоси эллипсоида равны а, =Ъ(2Т)А' = ~/2Т(т р„а, =Ъ~2Т)В' =Ъ1!2Т7т р„ а, = ~/2Т(С' =)(2Т!т р,.
Сравнив уравнения эллипсоида энергии (1.60) и эллипсонда инерции (1.27), видим, что эти эллипсоиды подобны. Для дальнейших расчетов потребуются формулы кинетической энергии, в которых она выражена через углы Эйлера или через кардановы углы.
Эти выражения легко получить, применяя полученные в п. 1.4.3 формулы для проекпий угловой скорости на оси, связанные с телом, Будем ограничиваться случаем, когда оси координат совпадают с главными осями инерции; тогда, подставив (1.49) в (1.60), получим кинетическую энергию как функцию углов Эйлера 2 Т = А (яр з(п д з(п ~р + 0 соз ~р)' + В ($ з !п 0 соз Ч~ — 0 айп ~р)' + +С(ф+ф- 0)е. (1.61) Отсюда для симметричного гироскопа (А = В) 2Т= А(ф'з1п'О+ бг)+ С(ф-1- фсозб)' (1.62) Подобным же образом, подставив (1.51) в (1.60), получим кине- тическую энергию как функцию кардановых углов 2Т = А (а соз (3 соз у + 6 з!п у)'+ В ( — а соз 6 з!п у + 6 соз у)'+ + С(аз!пр+ у)'.
(1.63) Для симметричного гироскопа (А = В) 2Т = А (ае созе !! + (ое) + С (а зщ () + у)г. (1.64) !.5. Основы кинетики В теории гироскопов наряду с энергией, являющейся скалярной величиной, важное значение имеет прежде всего кинетический момент, Кинетический момент, называемый также вращательным импульсом или моментом импульса, это вектор, который мы будем обозначать буквой Нь Если сН1 —— у, пгт есть количество движения материальной частицы с(т (рис. 1.30), то кинетический момент этой частицы относительно начала О не- Рва. ЬЭО. К амвону вмрвнгення Лая ~гняетнееаного л~аменте подвижной системы координат 1, 2, 3 определяется выражением о 11Н1 = в1~яУ~ сН1 = есгяУ1Ур пгт. Интегрируя по всему объему тела, полагая йи = х;+ ге и учитывая (1.38), получаем о 3 ° Нг =емях11д + тв;;яз1хя+В~~~са; (1.65) здесь через пр обозначена вся масса тела и 1,=туз =т(х,.
+ а, сааза) есть количество движения тела. Вектор гз1 направлен из какой- либо точки Р тела, называемой полюсом, к центру масс. Для тензора инерции, отнесенного к точке Р, получаем после перемены некоторых индексов Ви = ~в1яАвггязаг(гл = ~ (бгтбяв — 61абр,) ляг„с(т = = ~ (б„хязя — г1г,) с(т. (1.66) Согласно (1.65), кинетический момент твердого тела состоит из трех частей. Первый член суммы выражает кинетический момент, 1.
Введение н оснонные полонненнн возникающий вследствие движения центра масс 5, третий член— кинетический момент от вращения тела вокруг полюса. Средний член зависит как от положения, так и от скорости полюса Р. Этот смешанный член обращается в нуль в двух важных случаях: 1) когда в качестве полюса взят центр масс В(аз = О); 2) когда полюс Р является неподвижной точкой (х; = 0). Исследуем теперь подробней ту важную для гироскопа составляющую кинетического момента, которая обусловлена лишь вращательным движением. Она остается, если в (1.65) положить х; = = х; = О.
В данном случае для кинетического момента имеем Н; = Вмвр (1.67) причем проекции на оси, связанные с телом, равны Н| = А'в1 — Р'ве — Е'а1, Не = — Р'в(+ В'в' — В'в1, Нй = — Е'а1 — В'в~ + С'а!. (1.68) Отсюда видно, что в общем случае вектор Н; не совпадает по направлению с вектором вь Эти векторы коллинеарны лишь в том случае, когда вектор а; направлен по одной из главных осей инерции тела. Об этом подробней будет сказано в п.
1.5.2. Как и при рассмотрении выражений (1.59) и (1.60) для энергии, можно задаться вопросом о геометрическом месте концов всех векторов аь для которых получается одна и та же заданная величина кинетического момента. Из условия Н = сопз1, полагая притом, что оси координат совпадают с главными осями инерции тела, получаем уравнение Не = Н,Н, = (А'в()' + (В'а!)е + (С'ай)' = сопз!.
(1.70) Это уравнение кинетического зллилсоида, полуоси которого равны Ь, = Н7А', Ье = Н7В', Ье = Н7С'. Сравнивая это выражение с (1.60) и (1.27), заключаем, что кинетический эллипсоид не подобен эллипсоиду энергии (следовательно, н эллипсоиду инерции). Из выражений для энергии (1.58) и для кинетического момента (1.67) можно вывести соотношения, которые очень полезны для последующих рассуждений. Во-первых, можно, учитывая (1.67), написать 27 = Вмеоев! — — Н,а,.
(1.71) Если оси координат совпадают с главными осями инерции, то Н( = А'вь Не = В'ае, Н; = С'в), (1.69) 1.5. Основы кинетики Согласно правилам дифференцирования квадратичной формы, отсюда следует — (2Т) = б!в;от! + счьсо; = 29е;со; = 2Не. д Итак, дТ7да; = Нь (1.72) Следовательно, вектор кинетического момента является градиен- том энергии Т (по проекциям вектора ин). И обратно, вектор угло- вой скорости от~ может быть вычислен как градиент функции Т, образуемый при дифференцировании по составляющим Нь Чтобы показать это, введем в рассмотрение линейную векторную функцию оп = трм Нр Учитывая (!.67), получаем Н~=йытк еНы или В; ф в=бы. Так как 8м и бн — симметричные тензоры, то и фц является сим- метричным тензором.
Но отсюда следует, что 2Т= Нто; = Н фуН, =ф; Н,Н, д — (2Т) = фегН(+ ф еН, = 2тре,Н; = 2оты Итак, дТ вЂ” = со . дО,. (1.73) 1.5.2. Главные оси, ось вращения и кинетическая ось. Главными осями, точнее главными осями инерции, в п. !.3,4 были названы связанные с телом оси, для которых центробежные моменты инерции О, Е, Т обращаются в нуль. Расположение в теле главных осей в общем случае не является очевидным, но у тел, однородных и обладающих правильной формой, они всегда совпадают с осями симметрии (если таковые имеются) или лежат в плоскостях симметрии.
Так, главные оси однородного параллелепипеда (кирпича) относительно его центра параллельны ребрам параллелепипеда. Главные оси инерции однородного эллипсоида относительно его центра совпадают с его главными осями. Все тела вращения имеют ось симметрии, которая при однородном распределении масс является одновременно и главной осью инерции. Ось симметрии часто называют также осью фигуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
