Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Графическое представление классификации гироскопов; по осям координат отложены отношеии» главнмк моментов инерции. Рис.!лн ГраФическое представление классиФикации гироскопов; главные моменты инерции изображены в виде сторон пло. ского треугольника. Рис. 1.14. ГраФическое представление классификации гироскопов с помощью треугольника Формы. характеризоваться точкой Р, лежащей в первом октанте. Изображающие точки для тел с подобными эллипсоидами инерции лежат при этом на линии ОР. Так как представляют интерес не абсолютные размеры эллипсоида инерции, а лишь его форма, достаточно рассматривать точки Р пересечения линии ОР с плоскостью А + + В + С = 1.
В силу неравенств (1.!0) возможные изображающие точки для эллипсоидов инерции, имеющих различную форму, лежат внутри затененного треугольника, называемого треугольником формы. На рис. 1.15 три вида графического представления различных типов гироскопов помещены рядом, причем соответствующие гра- а1 1.3. Основы геометрии масс ничные линии изображены одинаково и соответствуюшие точки обозначены одинаковыми цифрами, Обозначения здесь таковы: точка 1: А = О, стержень, расположенный вдоль оси 1, точка 2: В = О, стержень, расположенный вдоль оси 2, точка 3: С = О, стержень, расположенный вдоль осн 3, точка 4: В = С = А/2, симметричная пластина, лежащая в плоскости 2-3, точка 5: С = А = В12, симметричная пластина, лежащая в пло- скости 3-1, точка 6: А = В = С!2, симметричная пластина, лежашая в пло- скости 1-2, точка 7; А = В = С, шаровой гироскоп. Рис.
!аа. Сравнение равличныл способов графического представлении классифинации гироскопов. Точки на отрезках 1 — 7 (а также 2 — 7 и 3 — 7) представляют вытянутые гироскопы, а на отрезках 7 — 4 (также 7 — 6 и 7 — 6)— сплюснутые симметричные относительно оси 1 (соответственно относительно осей 2 и 3) гироскопы. 1. Введение н основные положения Точки на прямых 2 — 4 — 3 (и 3 — 6 — 1 или 2 — 6 — !) представляют пластины, лежащие в плоскости 2-3 (соответственно 3-1 или 1-2) . Граничные линии 2 — 7 — 6, 3 — 7 — 6, 1 — 7 — 4 делят возможную область изображающих точек на шесть подобластей, каждой из которых соответствует определенное распределение величин А, В, С.
Для двух таких областей оно указано. Области, соответствующие гироскопам со средней осью 1, затенены. Сопоставление этих трех изображений показывает, что они топологически эквивалентны. Все же при решении сложных задач предпочитают изображение в виде треугольника формы, так как при этом не отдается предпочтение какому-либо главному моменту инерции и, кроме того, ни одна из точек изображения не лежит в бесконечности.
При практическом применении треугольника формы задача состоит в том, чтобы найти изображающую точку В, соответствующую конкретным значениям А, В, С. При этом можно идти различными путями. 1. На двух сторонах треугольника формы откладываются отрезки д~ = А/В, дв = В/С. При этом 0 < д < со; шкалы будут нелинейными. Изображающую точку 0 находят как точку пересечения прямых д1 = сопз1 и дв = сопз1.
2. Следуя Шилену, можно на двух сторонах треугольника формы отложить отрезки й1 = (А — В)/С и йв = ( — С)/А. При этом — 1 < й < + 1; шкалы линейны. Изображающую точку находят как точку пересечения прямых й~ = сопз1 и /гв — — сопз1, каждая из которых проходит через соответствующую вершину треугольника. 3. Следуя П.
Мюллеру, можно отложить отрезки й, = = А/(А + В + С) и /ев = В/(А + В + С) на двух сторонах треугольника. При этом 0 < й < 0,5; шкалы линейны. Изображающую точку находят как точку пересечения прямых й, = сопз1 и йв = сопз1, каждая из которых параллельна одной из сторон треугольника. 1А.
Основы кинематики 1.4.1. Степени свободы и кинематические характеристики движения. Число степеней свободы системы это число координат, которые необходимы, чтобы однозначно задать положение системы. Следовательно, точка, движущаяся вдоль кривой, имеет одну степень свободы; точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы. Система, состоящая из пяти несвязанных между собой точек, свободно движущихся в пространстве, обладает пятнадцатью степенями свободы. У твердого тела движения отдельных точек не являются независимыми. Вследствие того что тело не деформируется, расстояние между любыми его точками должно быть постоянным. Поэтому за ! 4 Основы кинематики достаточно задать координаты трех точек тела, не лежащих на одной прямой, чтобы определить положение в пространстве всего тела.
Если, например, при определении ориентации тела известны положения его точек О, Р, Я 1рис. 1.16), то вследствие постоянства расстояний РР и ЯР тем самым зафиксировано и положение любой точки Р тела. Можно поэтому считать, что основной треугольник ОРЯ представляет все тело. Положение этого Рис. Ьгб, треугольиил ОРЯ, определяющие положение гаердога гела. треугольника можно задать шестью координатами: например, три нужны для точки О; две следующие достаточны, чтобы установить место точки Р, так как она при фиксированной точке О может двигаться только по поверхности сферы радиуса ОР; для точки Я при фиксированных точках Р и О достаточна еще одна координата, так как Я может двигаться лишь по дуге окружности с центром на фиксированной оси ОР. Таким образом, общее число координат, необходимых, чтобы задать положение твердого тела, равно шести.
В теории гироскопа интересен прежде всего случай, когда одна из точек тела закреплена неподвижно. Такое твердое тело с неподвижной точкой может совершать лишь вращательное движение вокруг этой точки. Число степеней свободы его уменьшается тогда до трех. Движение системы известно, если известны скорости всех ее точек. Если мгновенное положение точки задано ее радиусом-вектором к,, проведенным из неподвижного начала к рассматриваемой точке, то вектор скорости получают дифференцированием радиуса-вектора по времени: (1.34) о; = с1х;/с11 = х;. В твердом теле на скорости отдельных точек наложены некоторые ограничения.
Они вытекают из того обстоятельства, что расстояния между точками тела постоянны. Пусть Р и Я вЂ” две точки Я К. Магнус !. Введение и основные положения движущегося тела и Π— неподвижная точка, из которой наблюдают движение (рис. 1.17). Тогда вследствие того, что тело является абсолютно твердым, имеет место равенство г'= г;г; =(у! — х!)(у! — х;) = сопз1. (! .35) Дифференцируя по времени, получаем 2 (у! — х,) (у; — х,) = 2г! (у; — х;) = О, или г,х; =г,уь (1.36) Отсюда следует: При движении твердого тела проекции скоростей двух его точек на линию, соединяющую зти точки, Равна!.
Рнс. !.!т. Скорости точек Р и О тааркото тала. Это позволяет судить о характере движения тела в общем случае. Рассмотрим сначала простой случай, когда точка Р тела неподвижна. Если ее выбрать в качестве начала, из которого откладываются радиусы-векторы, то х; = О и хт = О. Тогда из (1.36) сразу следует г;ут = О. Если исключить случай равенства нулю сомножителей этого скалярного произведения, то векторы г; и ут должны быть взаимно перпендикулярны (г,.! у;).
Из рис. 1.18 видно тогда, что движение тела в рассматриваемый момент может представлять собой только вращение вокруг оси, проведенной через неподвижную точку Р перпендикулярно плоскости чертежа. При этом вращении отрезок Р(„! движется вокруг точки Р как спица колеса. Скорость точки Я тела можно выразить следующим образом: у! = г! = ае!дев!ге.
!еи Основы кинематики Вектор ки угловой скорости лежит на мгновенной оси вращения и направлен таким образом, что векторы нть гм у, в данной последовательности образуют правую тройку. В общем случае точка Р не является неподвижной и обладает некоторой скоростью хо Если наблюдать за движением точки Я Рис. 1.18. Скорость точки О при врв~цении твердого тела вокруг точки Р. твердого тела, находясь в системе отсчета, поступательно движущейся вместе с точкой Р, то правая часть равенства (1.37) даст скорость точки Я относительно Р. Для абсолютной скорости точки Я получаем сумму (1.38) у; = хн + е; лот;гд. Следовательно, в общем случае движение твердого тела складывается из двух движений: из параллельного переноса (или поступательного движения) со скоростью хт и вращения, причем величина и направление скоростей точек тела определяются, кроме вектора гм и вектором нутч Векторы нтт и хч можно трактовать как компоненты кинемагического винта (ну„хт).
Рнс. 1,18. Векторное сложение угловых скоростей. Угловые скорости можно складывать по правилам сложения векторов. Если твердое тело участвует одновременно в двух вращениях с угловыми скоростями нчпг и оун, (рис. 1.19) и если точка Р неподвижна, то скорость точки Я тела равна у — е свпг + е втьг зв 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
