Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 3
Текст из файла (страница 3)
321, или 213, или 132), О, когда два или все три индекса совпадают. Ез З вЂ”вЂ” Оперируя с этими величинами, пользуются соглашением о суммировании, согласно которому суммирование должно произволиться по всем дважды повторяющимся индексам. При этом справедливы следующие равенства: скалярное произведение з = бцхзУ1 = х1У1 = х1У1+ хзУ2 + хзУ21 векторное произведение (!.1) х2УЗ хзУ2 ~ хзУ2 х1Уз х,у, — хзу, х,=е; зх у,= (1.2) диадное произведение %Уз х!У2 х1Уз хзУ| хзУ2 хзУз хзУ~ хзУ2 хзУз ЯЦ = хзУ1 = (1.3) $.2.
Обозначения для векторов я тензоров Положение и перемещения твердого тела в евклидовом пространстве мы будем задавать с помощью системы декартовых координат, оси которой условимся обозначать цифрами 1, 2, 3. Для векторов и тензоров будем пользоваться индексными обозначениями, проставляя для векторов один нижний индекс (например, хь сь Рз), для тензоров второго ранга — два индекса (например, аея Ьее, Вм), для тензоров третьего ранга — три индекса. При этом индексы принимают значения 1, 2, 3 соответственно обозначениям осей координат. В качестве индексов будем применять малые буквы латинского алфавита. В отличие от этого для обозначения матриц общего вида используются в качестве индексов греческие буквы.
Эти иадексы могут принимать и ббльшие числовые значения. В дальнейшем нам потребуются следующие специальные величины (см., например, Душек и Хохрайнер [16)): е; — единичный вектор ( ~ ее ~ = 1); 6;; — единичный тензор второго ранга (символ Кронекера): 14 1. Введенве и основные положения линейная вектор-функция Ьпх, + ь„х, + ь„х, 6з~х! + 622хз + 6ззхз 6з~ х + 6звхз+ 6ззхз Уз — — Ьз1х1 —— (1.4) Из (1.4), в частности, следует равенство хз — — 6,1хи Поеорогьз системы координат, при которых оси 1, 2, 3 приводятся в положение 1', 2', 3', могут быть описаны с помощью направляющих косинусов ац= совам, при этом, например, ям— угол между осями ! и 2'.
Вообще говоря, ац ~ аи. Известные соотношения между направляюшими косинусами принимают тогда следующий вид: (1.5) а„аы = аиаы = 6!в = бь! При поворотах системы координат справедливы следующие формулы преобразования: для векторов для тензоров второго ранга а также формула разложения 61ы1 ецьвц — — 6Н6, — бы61,„— — ~ ьбы бь 3 (1.8) 1.3. Основы геометрии масс 1.3.1. Осевые и центробежные моменты инерции. Инерционные свойства твердого тела определяются совокупностью его шести моментов масс второго порядка.
Если взять какую-либо точку твердого тела в качестве начала декартовой системы координат (рис. 1.1), то для моментов масс второго порядка имеем выражения (1.9) При этом интеграл следует брать по всему объему тела. Величины А, В, С называются моментами инерции относительно А = ~ (х'+ хз) йп, В= ) (х, '+ х',) аЦп, С= ~ (хз+ х') йт, х)=ацх1, хз=ацх1., (1.6) Тц = аыац Ты, (1.7) Тц = ам а 1Тьц В= ~ хзхз !(лз, Е= ) хр, з(~, г=) хх, ' 1в 1.3. Основы геометрии масс осей (а также осевыми моментами инерции и вращательными массами).
В соответствии с определением они всегда положительны. Величины (у, Е, г называются центробежными моментами инерции (или произведениями инерции и девиационными моментами инерции ') ). В отличие от осевых моментов инерции они могут принимать и отрицательные значения. Риа, 1.1. К опрелелению моментаа масс.
Осевые моменты инерции представляют собой меру инерции твердого тела при вращательном движении (в названии «вращательная массар это выражено более метко), тогда как центробежные моменты инерции можно рассматривать как меру неуравновешенности тела. Они характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей и для однородного тела обращаются в нуль, если все сечения тела, перпендикулярные этим плоскостям, будут симметричными фигурами. Из (1.9) следуют неравенства А+В)С, В+С)А, С+А)В.
(1.10) Знаки равенства имеют место лишь в случае тела, выродившегося в плоскую, обладающую массой пластину, которая лежит в одной из координатных плоскостей. Так как (хи — х,)') О, т. е. х,'+ х,') 2х,х и т. п., из (1.9) следует, что А) 20, В) 2Е, С) 2Р. (1.11) и термини ераюательнаа масса» н «леенасионныи момент инериии» н русслол литера.
туре ие употреолиютсн. — Прим реа св !. Введение и основные положения В данном случае знак равенства в каком-либо из этих выражений соответствует случаю, когда тело вырождается в пластину, образующую с координатными плоскостями угол 45'. Неравенства (1.10) называются неравенствами треугольника, так как моментами инерции какого-либо тела могут быть только такие величины, которые, будучи изображены в виде отрезков, могут образовать плоский треугольник. Моменты инерции А, В, С и (взятые со знаком минус) центробежные моменты инерции 77, Е, Р являются элементами тензора инерции А — Р— Š— Р —  — Š— 0 С (1.!2) (!.13) То, что при таком определении величины 60 речь идет действительно о тензоре, требуется еще доказать, т.
е. нужно убедиться, что при преобразованиях координат величины 60 подчиняются формулам (!.7) преобразования тензоров. Это будет свидетельствовать о том, что совокупность величин 6;, характеризует физическое свойство тела, не зависящее от произвольного выбора системы отсчета. Но, конечно, элементы тензора инерции 60 зависят от направления осей координат. При повороте системы координат, учитывая, что х, '= ассхс, имеем следующее выражение для тензора инерции: 6!с = ~ (хвхвбсс — х;хс) с(т = = )' (аыа вхсх Ьсс — авсассхвхс) с!т. (1.1 4) Далее, с помощью соотношений асва,„е = бс, бс хс = х иыиссбы = би можно (1.14) преобразовать к виду 6сс = пвсасс ~ (х хжбас — хвхс) с!т, 6сс = аыассблс.
который относится к определенному центру О. Так как центробежные моменты расположены симметрично относительно главной диагонали, этот тензор является симметричным (здесь 6п — — А, 6с, = — Р и т. д.). С помощью принятых в $1.2 обозначений векторов и тензоров можно определения, данные равенствами (1.9) и (1.12), объединить следующим образом: 6сс — — ) (хвхвбс — хсхс)с(т. 1.3. Основы геометрии масс 17 Это соответствует требуемому закону преобразования (1.7); следовательно, Эц действительно является тензором. 1.3.2.
Замена центра. Возьмем теперь за центр вместо точки О новую точку — Р, полажение которой задано вектором г; (рис. 1.2). Рнс. Ьр. Переход от центра О к центру Р. Учитывая, что х; = ге + уь из (1.13) получаем Эц — — ~ [(га + Уа) (га + Уа) дц — (га + Уг) (г! + Уг)) с(т, нлн %у = ~ (УаУадц — УаУ1) йт + т (гагадц — гсгу) + + 2дцга )' уа с(т — г„)' у йт — гу ~ у, йт. (1.16) Первое слагаемое в правой части равно тензору инерции Вц для центра Р. Три последних слагаемых содержат моменты масс первого порядка относительно точки Р. Эти моменты могут быть выражены через радиус-вектор уз центра масс: ) у, с(т = туз.
Они обращаются в нуль, если за начало радиусов-векторов точек тела выбран центр масс. Поэтому в случае Р = 5 получается особенно простое выражение для тензора инерции: Вц = Эм+ т (гагадгу гггг) (1.17) Это соотношение принято называть теоремой Гюпгенса — Штейнера. Теорема гласит следующее: осевые и центробежные моменты инерции для данной произвольным образом выбранной системы координат складываются из двух частей, а именно из моментов инерции для системы координат, параллельно смещенной 1В 1. Введение и основные положения так, что ее начало находится в центре масс, и из тех слагаемых, которые получатся, если всю массу т тела мысленно сосредоточить в центре масс.
Ввиду большого практического значения тензора инерции (1.17) приведем также выражения для его элементов. Если обозначить через а, Ь, с расстояния центра масс от осей координат 1,2,3: аг =г)+ и' Ьг= ге+ и'-', с'= ге+ гг, гФ то получим следующие соотношения: А = Аз+ та', В = Вз + тЬг, С = Сз -1- тс', 0 = Од + тгггг, Е= Е + тггг~ + тгГг. (1.18) Отсюда можно сделать следующие выводы. 1.
Момент инерции твердого тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. 2. Момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, имеет минимальное значение по сравнению с моментами инерции относительно параллельных осей, не проходящих через центр масс. 3. Центробежные моменты инерции тела не изменятся, если начало координат перенести из центра масс в другую точку, лежащую на оси координат, проходящей через точку 5. Если новое начало координат лежит в координатной плоскости, проходящей через центр масс, то изменяется лишь один из центробежных моментов инерции. (1.19) Из рис.!.3 следует, что Р'=хг — ОР'=х;х, — (хгаг)г, 1.3.3.
Поворот осей. Прежде всего вычислим момент инерции относительно какой-либо оси, которая проходит через начало координат О и образует с осями 1, 2, 3 углы, косинусы которых обозначены через аь аг, аг соответственно. Направляющие косинусы одновременно являются координатами единичного вектора, направленного по указанной оси: е~ = а, = (ап ал а,). Пусть Р— основание перпендикуляра, опущенного из материальной точки с!т на эту ось, а длина перпендикуляра равна р (рис. !.3). Тогда для момента инерции относительно оси ОР по- лучаем 19 1.3. Основы геоьгетрни масс т. е. в координатах р'=(х4+ хз+ х~) — (х4п4+ хзпз+ хзвз)'= = аз,(х,' + х') + азз(х' + х',) + азз(х', + х')— — 2а,азх,хз — 2асазх,хз — 2аза,хзхо Подставляя это в (1.19) и учитывая (!.9), получаем 8 = Аа', + Ва, '+ Са~ — 20азаз — 2Еаза, — 2Еа,аз.
(1.20) Если известны осевые моменты инерции А, В, С и центробежные моменты инерции зу, Е, Е для исходных осей координат, то 3=3 г ха рай!' Рис. ЬЗ. К вычислению моменте ивер- Рис. Ь4. Поворот системы иоордннлт нл угол р. Нии относительно оси ОР. с помощью формулы (!.20) можно вычислить момент инерции относительно любой оси, направление которой задано единичным вектором ар=аз Учитывая (1.!2), можно выражение (1.20) записать в виде (1.2!) Правая часть выражения (!.20) или (1.21) представляет собой квадратичную форму от направляющих косинусов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
