Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(1.84) Для определенных задач может оказаться целесообразным выбирать как-либо иначе систему координат. Об этом будет сказано подробней в $ 5.4. Применяя соотношения (1.72) и (1.73), можно ввести функцию 7 (кинетическую энергию) в уравнения Эйлера. Из (!.75) полу- чаем сЦГз сз'тцс — + е; сот~Ни =Ми (!.85) откуда в' / дт т дт дт — ( — )+ ацз — — = Мц ВГ (ды / дО дыз (1.86) д) Уравнения движения Лагранжа. С помощью формализма Лагранжа уравнения движения физической системы могут быть получены из выражения кинетической энергии.
Если, например, кинетическая энергия Т и потенциальная с7 известны как функции указанных выше переменных х и их производных х, то в наиболее простом случае консервативной системы Это векторная форма динамических уравнений Эйлера, Согласно сказанному ранее, штрих над знаком дифференцирования означает, что производную следует вычислять в системе, связанной с телом. Скалярные уравнения в общем виде могут быть легко получены из (1.83) проектированием векторов на оси; мы приведем их только для того важного случая, когда в качестве осей координат взяты главные оси инерции. Если теперь (а также и всюду далее) для величин, вычисленных в подвижной системе, опустить штрихи, то получим уравнения Асо, — ( — С)ит,итз = Мо во 1.
Введение и основные поломзения уравнения движения имеют вид — — ) — — + — =О (и=1, 2, ..., н), (1.87) ! дТ 1 дТ дУ де (з дхм ) дхм дхм Индекс и в данном случае относится к скалярным переменным и принимает значения от 1 до и, если имеется и переменных. Пере. менные должны быть обобщенными координатами, т. е. должны быть независимыми и должны однозначно определять положение системы. Для гироскопа с неподвижной точкой такими координа- тами являются, например, углы Эйлера ф, О, ф или кардановы углы се, (1, у. Напротив, компоненты угловой скорости мь озв, озз не могут служить обобшеннымн координатами.
Это связано с тем обстоятельством (см. п. 1.4.3), что указанные координаты не яв- ляются голономными; интегрированием их невозможнооднозначно определить положение тела. Поэтому уравнения (1.86) и (1.87), несмотря на их формальное сходство, имеют совершенно различ- ный характер. Это сказывается в среднем члене уравнений. Используя углы Эйлера хз — — ф, хе = б, хз = р и учитывая, что Т = Т(ф, б, ф, з(з, 6, ф) и У = У(ф, б, ф), из (1.87) получаем следующую систему уравнений движения: Эта система эквивалентна системе уравнений Эйлера (1.84).
По- следние можно получить из системы (1.88), если учесть кинема- тические соотношения ((1.49) без штрихов11 действуя таким об- разом, из (1.88/3) находим дТ дТ дыз — — .' =Созз, дф дыз дф дТ дТ дзз~ дТ дезе — = — — + — ' = Аоз,со, — Возеозо дт дззз дзз дезе дф ди — — = — МЗ дф т следовательно Созз (А — В) оз,оэи = М,. Чтобы получить два первых уравнения (1.84), нужно учесть соотношения между компонентами моментов: Мф — — М, з1п ф ззп д+ М, соз ф з1п б+ М, соз б, (1.89) Мо = М, сов ф — М, ми ф.
1.5. Основы кинетики 61 Если в уравнения (1.88) подставить выражение общего вида (1.61) функции Т, то получится сложная система нелинейных уравнений. Соответствующие вычисления здесь выполняться не будут. Уравнения значительно упрощаются для частного случая симметричного гироскопа. Из (1.88) с учетом (1.62) получаем — „[(А з!п'6+ С созвб) ф+ С созбф[= — = Мв, д дУ Аб — (А — С) з!пбсозбф'+ С з!пбфф= — =-Ме, (1.90) Ж[С соз 6Ф+ Сф) = — — = М,. дУ Вполне аналогичным образом, полагая в (1.87) х, = а, х, = 8, хв = у и учитывая формулы (1.64), получаем из (!.87) систему уравнений в кардаповых углах: —,[(Асов'6+ С з1п'[3) а+ С ашба) = — — = М„, 2 .т...
дУ Ар+ (А — С) з(п рсоа раз — Ссозрау = — — = М, (1.91) дУ дй а' дУ вЂ” [С з!п [)а + Су) = — — = М . Ж Если моменты Ме и М„в уравнениях (1.90) и соответственно М„ и Ма в уравнениях (1.91) представляют собой функции только от времени (или равны нулю), то можно взять интеграл от выражений, стоящих в первых и третьих уравнениях. Это в значительной мере облегчит решение уравнений.
Глава 2 Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Свободным гироскопом называют такой гироскоп, для которого суммарный момент приложенных к нему внешних сил равен нулю. Исследование движения такого гироскопа — одна из классических проблем механики. Ее можно считать решенной полностью: аналитическим решением мы обязаны Эйлеру (1758), весьма наглядная геометрическая интерпретация движения гироскопа была Рис.
2Д. Колоколообразный гиро- скоп, опнрающнйси острием. Рис. 2.2. Шаровидный гироскоп на воздушной опоре. предложена Пуансо (1834). Последующие исследования привели к некоторым формальным упрощениям и уточнениям теории, однако не дали существенно новых результатов. Гироскоп является свободным, например, в случае, когда точка опоры, вокруг которой вращается гироскоп, совпадает с его центром тяжести.
В модели гироскопа, предложенной Максвеллом, это достигается тем, что колоколообразное тело опирается острием на подпятник (рис. 2.!). С помощью специальных юстировочных 2.!. Геометрическая интерпретация Пуансо 2.1. Геометрическая интерпретация движения гироскопа, предложенная Пуанео Два интеграла уравнений движения свободного гироскопа могут быть найдены без труда. Из теоремы о кинетическом моменте (1.75) следует, что при М; = О ЫН; — '=О, т.
е, Н,=сопя!. Ж (2. 1) В силу этого интеграла кинетического момента в процессе движения как величина, так и направление Н; остаются неизменными. Вследствие отсутствия внешних сил при рассматриваемом движении не может совершаться работа. Поэтому должна оставаться постоянной и кинетическая энергия Т системы. Отсюда, исходя из (1.71), приходим к интегралу энергии 2Т = Н;и, = сопя!.
(2. 2) Из (2.2) следует, что конец вектора ит может двигаться лишь в плоскости, перпендикулярной вектору Нь ибо в силу Н, = сопз! только в этом случае проекция и; на Нт оказывается постоянной, а значит, будет постоянно и скалярное произведение Н,и; (рис, 2.3). Плоскость, в которой движется конец Р вектора и,, называется неизменяемой плоскостью, Она неподвижна в пространстве и отстоит от точки опоры Р на расстояние 2Т1Н. Однако конец вектора и, лежит не только в неизменяемой плоскости, но одновременно и на поверхности связанного с телом эллипсоида энергии (1.60). Последний, согласно изложенному в п. 1.5.1, является геометрическим местом концов векторов ии которому соответствует заданная постоянная кинетическая энергия Т.
Главные оси эллипсоида энергии одновременно являются главными осями тела, а его центр совпадает с точкой опоры Р. Движение тела может быть представлено как качение эллипсоида энергии по неизменяемой плоскости. Прежде всего ясно, что плоскость и эллипсоид должны иметь по меньшей мере одну общую точку, именно конец Р вектора и,. То, что плоскость и эллипсоид касаются в точке Р, а не пересекаются в ней, вытекает нз установленного нами в п.
!.5.2 следующего факта: вектор Н; винтов центр тяжести можно перемещать до совмещения его с точкой опоры. Более предпочтительно устройство, в котором тело, представляющее собой полый шар, помещено на воздушной опоре (рис. 2.2). Такая опора может быть выполнена с минимальным трением и позволяет наблюдать движение шара в течение продолжительного времени. В отличие от гироскопа Максвелла здесь поворот шара вокруг любой из трех осей не ограничен. Изменение распределения масс в этом устройстве достигается соответствующим размещением грузов внутри шара. 2.
Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Рвс. 2.3. Конец Р вектора угловой скорости и движется в неизменяемой плоскости. Рнс. 2.4. Образование герполодии (ЗК1 и траектории оси фигурм (ОК) врн качении эллип- сонда энергии по неизменяемой плоскости. постоянно перпендикулярен плоскости, касательной к эллипсоиду энергии в точке, совпадающей с конном вектора пуп Но если две плоскости проходят через одну и ту же точку Р и одновременно перпендикулярны некоторому заданному направлению, то они совпадают. Таким образом, неизменяемая плоскость в то же время является касательной плоскостью к эллипсоиду энергии в точке Р 23, Геометрическая интерпретация Пуансо Эллипсоид катится по плоскости без скольжения потому, что точка Р лежит иа мгновенной оси и, следовательно, ее скорость равна нулю. При таком качении (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
