Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Процесс опрокидывания мы можем исследовать, пользуясь выражением (2.32) совместно с (2.22) после подстановки в него (2.!9). На рис. 2.15 показана точка пересечения оси 2' с единичной сферой, описанной из точки опоры. Ось 2', первоначально (т = †) пересекавшая сферу в нижнем ее полюсе, описывая спираль, удаляется от этого положения, обегает всю сферу и асимптотическим винтообразным движением переходит при т-+- + оо в верхнее свое 84 2, Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры положение, в котором она совпадает с осью 3. В начале и в конце движения вращение происходит исключительно вокруг средней главной оси.
Отметим еще, не вдаваясь в доказательство этого положения, что изображенная на рис. 2.!5 траектория является локсодромией — линией, которая пересекает меридианы под одним н тем же углом (см., например, Граммель [3, т. 1, стр. 190 — 191)). 2.4. Устойчивость вращения вокруг главных осей Положение равновесия хс некоторой системы, состояние которой может быть охарактеризовано переменной х((), называется устойчивым, если в результате малого возмущения системы разность х(() — х, остается малой, т.е система не удаляется значительно от положения равновесия. Движение, характеризуемое координатой хс(1), называется устойчивым, если движение, возникшее после малого возмущения, в дальнейшем остается близким к иевозмущенному.
Ляпунов сформулировал это требование в качестве критерия устойчивости следующим образом. Потребуем, чтобы )х(1) — хс(1)1 < е) О для 1) О. (2.33) Тогда основное решение (невозмущенное движение) хс(1) называется устойчивым, если для любого заданного е можно всегда отыскать б = б(е) ) О, такое, что при 1х(0) — хе(0)1< б для 1=0 (2. 34) будет выполняться требование (2.33). Системы, удовлетворяющие названному критерию, называют устойчивыми в смысле Ляпунова Системы, которые удовлетворяют более частному требованию (2.36) 1пп х(г) = хе(г) с-н называются асимптотически устойчивыми. В отношении устойчивости вращения твердого тела справедлива следующая теорема: Вращение свободного твердого тела вокруг главных осей устойчиво лишь в том случае, когда оно происходит вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции, Вращение вокруг средней оси неустойчиво.
Это положение относится как к координатам вектора угловой скорости ыь так и к эйлерову углу 6. О том, удовлетворяются ли по отношению к ьэс условия устойчивости (2.33) и (2.34) или нет, мы можем судить по виду полодий (рис. 2.6), не прибегая ни к каким дополнительным вычислениям. На рис. 2.16 такого рода полодия изображена в двух проекциях; она характеризует возмущенное движение относительно вращения вокруг малой оси эллипсоида 2.4. Устойчивость вращения вокруг главных осей инерции (перициклоидальный случай Ь)). Если допустимые для от!, 622, отв значения еь вм вв произвольно наперед заданы, то всегда найдутся 6!, 62, 66, такие, что будет выполняться критерий Ляпунова.
Так, каждая полодия, имеющая начало в какой-либо точке, лежащей внутри прямоугольника со сторонами бм 66, всегда будет оставаться внутри изображенного на рисунке прямоугольника со сторонами зь вз То же относится к ограничению, наложенному на от! значениями в! и 6!. 2 Рис. 2.!6. К доказательству устайчиаости аращеиии вокруг малой оси зллиасоида ииерции. В рассмотренном примере бг, 62, 62 взаимно зависимы. Поэтому нельзя проводить доказательство устойчивости для каждой составляющей йт в отдельности.
Для доказательства устойчивости угловой скорости ан существен тот факт, что если конец вектора оу! лежит внутри наперед заданного в подвижной системе параллелепипеда с ребрами в!, ем ез, то всегда могут быть найдены другие параллелепипеды с ребрами бь 62, 66, которые должны заключать внутри себя начальное значение вектора отт(0), так что во все последующие моменты времени конец вектора никогда не выходит за пределы в-параллелепипеда. Совершенно аналогично выглядит ограничение, наложенное иа составляющие оу, при вращении вокруг большой оси эллипсоида инерции (эпициклоидальный случай а)). Наоборот, как видно из ва 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры рис.
2.6, при вращении вокруг средней оси такого рода ограничение невозможно. Как бы ни было мало возмущение, полодии всегда будут гиперболами, для которых при произвольно выбранных значениях в нельзя найти требуемых значений б. Для доказательства устойчивости движения по углу б будем исходить, например, из найденных в $2.1 радиусов граничных окружностей для траекторий, которые описывает точка пересечения данной главной оси с неизменяемой плоскостью. Вращению строго вокруг главных осей соответствует либо Н' = 2ТС (эпнциклоидальный случай)„ либо Н' = 2ТА (перициклоидальный случай), либо Н'= 2ТВ (промежуточный случай). Тогда для возмущенного движения разности Н' — 2ТС, 2ТА — Н' и Н' — 2ТВ должны оставаться малыми.
Следовательно, соответствующие радиусы граничных окружностей г „(см. таблицу в п. 2.1.2) для первых двух из названных случаев малы. Так как !к бегах Нгыахг(2Т) то д„„, также мал, и мы можем им воспользоваться для наложения ограничения на д(!). Возмущенное движение относительно вращения вокруг средней оси можно считать как эпициклоидальным, так и перициклоидальным. В любом случае модуль )1Нв — 2ТВ) остается малым. Но эта разность в выражениях для г „„представленных в таблице, стоит в знаменателе, так что никакое ограничение в смысле критерия Ляпунова здесь невозможно.
Заметим, что можно прибегнуть также к равенству (2.21/1), чтобы на основании уже доказанной устойчивости движения по отв сделать заключение и об устойчивости по д. Также и по траектории, изображенной на рис. 2.15, непосредственно видно, что вращение вокруг средней оси неустойчиво. Положение оси фигуры можно определить и по ее направляющим косинусам относительно неподвижной системы координат. Полученные выше результаты распространяются, конечно, на эти направляющие косинусы, поскольку на пределы их изменений легко могут быть наложены ограничения с помощью значений з!и б и соз д. Все сказанное по поводу устойчивости движения вокруг главных осей можно наглядно представить в виде диаграммы устойчивости. На рис.
2.17 она изображена в виде треугольника формы. На диаграмме принято, что гироскоп вращается вокруг оси тела 1'. Это невозмущенное движение будет устойчивым, если изображающая точка, отвечающая определенной форме гироскопа, оказывается в одной из незатененных частей треугольника. Всем точкам в затененных областях будет соответствовать неустойчивое движение, потому что при этом А является моментом инерции относительно средней оси. Поведения тел, когда изображающая точка 2.о.
Симметричный гироскоп 67 оггокоо- далькое отойуидое Пооогьик лоадорь уооуойу Рис. 2.!7. Диаграмма устоичивостн свободного несимметричного гироснова в виде треугоаьиииа формы. лежит на границе между областями устойчивости и неустойчивости, мы еще коснемся в следующем параграфе Диаграммы устойчивости для рассмотренного нами случая в ином виде представлены на рис. 1.15. Саз — (А — В) агаз = Саз = О, т. е.
(2.36) гез — — а„= сопз(. Вращение вокруг оси симметрии (оси фигуры) происходит с по- стоянной угловой скоростью. Вследствие этого два первых уравне- ния (2.10) линейны: Аа, — ( — С) азов, = Ав, — (А — С) взору, = О, Ввз — (С вЂ” А) аз„а, = Лаз+ (А — С) взев, = О. 2.5. Симметричный гироскоп 2.5.1. Аналитическое решение. Анализ движения гироскопа, у которого два главных момента инерции равны, можно провести элементарными методами.
Хотя все интересующее нас мы могли бы получить, используя прежние результаты, например полагая в них А = В, мы все же предпочтем путь непосредственного анализа. При этом нет необходимости предполагать определенное соотношение между величинами моментов инерции. Прежде всего из (2.10) для третьей координаты следует, что 2, Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры ав При подходящих начальных условиях их решения суть о)(=о)(оз!пу(, о)а=в)(осозт(, где А — С ( С ( / и' — 2тс (2'37) 33=( — А-) ~33 (о= $У А(А Из (2.37) находим, что паладин являются окружностями, время одного обхода которых 2п 2пА Т (А — С) юза ' Из (2.21) для углов Эйлера получаем С(оз, А Мптн созб= — =созбо, 1п(р= — =193)С Н ' В солту т,е 0 = бо — — сопз1, (р = р( = (1 — С/А) о)331.
(2.39) Отсюда следует, что при А ) С имеем ф ) 0 (вытянутый гироскоп совершает эпицик- лоидальное движение), при А < С имеем ф < 0 (сплюснутый гироскоп совершает пери- циклоидальное движение). Из (2.30) после подстановки в него (2,39) получим газ — гр Со) за Н Ф— - — — фо — сопз1, созе Асозйа А ф=фо+ Фо(. (2. 40) (2.41) п=т() < о)33 для вытянутого гироскопа, п=т)) > о)зо для сплюснутого гироскопа.
') В отечественной литературе движение, при котором угол нутации О остается постоннным, а йз и о также постоянны, принято называть регулярной прецессией. То, что автор назвал его в данном случае нутационным, ие должно вызывать прннципиальнык возражений, по.
скольку ранее (в п. 14.3) он предупредил читателя, что не будет пользоваться старыми названиями углов Эйлера (угол нугации и угол прецессии) и даст не кинематическое, а динамическое определение понятий мутации и прецессии, такое определение дано в и. 3.2 1. Прецессией автор называет такое движение гироскопа, которое сопровождается вращением векторе Н( (и, следовательно, проискодит только нол действием внещник сия), а нутацией — движение свободного гироскопа. Естественно поэтому, что в и. 3.3.2с движе. нне, имеющее тот же иивематический характер (О сопз1, 4 сопя(, 4 сопз().
но про. всходящее под действием силы тязкестн и сопровождаемое вращением вектора Н(, автор Называет регулярной прецессией. — Прим ргд. Из (2.40) вытекает, что т() и п)33 имеют всегда одинаковые знаки; следовательно, вращение ((озо) вокруг оси фигуры и коническое движение (т()) последней вокруг кинетической оси (нутационное движение) постоянно совпадают по направлению. Величину и = (р называют также частотой нутации'). При 0 « 1 из (2.40) получается часто используемое приближенное значение и = т() = (С) А) о)33.
Это приближение дает 89 йд. Симметричный гироскоп Между величинами б, ф, ф, которые оказываются постоянными, существует зависимость Сф — (А — С) ф соз б = О, в чем нетрудно убедиться путем подстановок (2.39) н (1А9!3). 2.5.2. Геометрическое описание. Для симметричного гироскопа геометрическая интерпретация движения гироскопа по Пуансо (5 2.1) кгс лгпи рлпотгги иро углписи Рис.
2.12. Представление мутации симметричного гироскопа качением конуса пополни по конусу герполодии; сплюснутый гироскоп. рис. 2.18. Представление нутвции симметричного гироскопа качением конуса полодии по конусу гер. поладив вытввутый гироскоп становится особенно простой и наглядной. В данном случае эллин* соид энергии является эллипсоидом вращения, а полодии н герполодии превращаются в окружности. Если точку опоры г соединить с точками этих окружностей, то образуются два прямых круговых конуса, называемые подвижным аксоидом (конусом полодии) и неподвижным аксоидом (конусом герполодии). Тогда движение тела можно представить как качение подвижного аксоида по неподвижному.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
