Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 18
Текст из файла (страница 18)
По поводу направления момента Мк заметим следующее. Если тело совершает вынужденное вращение (очи =ф), при котором его полный кннетическяй момент Нь оставаясь неизменным по величине, участвует в этом вращении, как показано на рис. 3.6, то М»= — — = — есгьсо Н . Отсюда следует, что направление этого момента всегда таково, что он стремится совместить кинетическую ось с осью.
вынужденного вращения. Векторы Нг и гохг стремятся к одноименному Это равенство показывает, что вектор момента совпадает с линией узлов, к чему мы уже пришли ранее и зафиксировали на рис. 3.5. Несимметрия (А Ф В) ведет к периодическим изменениям модуля и аргумента векточа момента. Разложим его на две составляющие — по направлению линии узлов (Мк,) и по перпендикуляру к К ней (Мхкч): М, з(п ф= — фф з)пдс(С (В А) соз2ф)' К к К К К =''' и (3.
! 3) М М, з1п ф + Мз соз ср = фФ з1п туп ( — А) згп !ог 3 Гироскоп. Силы и движение параллелизму. Однако важное для практического использования гироскопических явлений правило об одноименном параллелизме нельзя без оговорок относить непосредственно к оси симметрии (ось 3'), чаще всего единственной зримой оси. Из построения на рис. 3.6 видно, что это допустимо только в том случае, когда ось вынужденного вращения (Ф) не расположена между кинетической осью и осью 3'. Так всегда бывает у сплюснутых роторов (С ) А).
В случае вытянутого ротора должно соблюдаться условие Ссо, = С (ф + ф сов Ое) ) Аф сов Оо. (3.14) Так как для быстровращающегося гироскопа в силу (3.11) названное условие всегда выполняется, справедливо правило: Если ось симметрии (ось фигуры) быстровращающегося гироскопа совериеает вынужденное вращение, то возникает момент реакции, стремящийся повернуть гироскоп так, чтобсч оси собственного и вынужденного вращений были одноименно параллельными. Правда, у сильно вытянутого, почти стержневидиого ротора при малом ф может случиться так, что знак момента окажется противоположным.
Однако этот случай не имеет практического значения. 3.!.4. Периметрический гироскоп и дробильная мельница. Связь гироскопического момента с вынужденным движением вдоль направляющей можно очень наглядно продемонстрировать на примере так называемого периметрического гироскопа. Его принципиальное устройство показано на рис. 3.7. Гироскоп выполнен в виде симметричного ротора В. Имеющимся на нем острием он опирается на подпятник, причем его центр масс совпадает с точкой опоры.
Вдоль оси фигуры расположена стержневидная шейка. Если эту шейку, которая вращается вместе с ротором, привести в соприкосновение с неподвижным направляющим лекалом К, то шейка будет катиться по ребру лекала, одновременно производя на него заметное давление. (Качение шейки по лекалу заставляет гироскоп совершать вынужденное движение, и возникающий при этом гироскопический момент прижимает шейку к ребру лекала.) Для вычисления этого момента представим себе направляющую в виде кривой на поверхности сферы с центром в точке опоры гироскопа (рис.
3.8). В случае симметричного ротора (А = В) вместо системы координат, связанной с телом, удобнее выбрать изображенную на рисунке промежуточную систему 1, 2, 3, ось 1 которой совпадает с линией узлов. Ось 3 является осью фигуры, а ось 2 перпендикулярна первым двум. Подставив Н; = !Впсо; в (З.З), мы определим гироскопический момент; при этом О Ь А О О ,е (,г О + и 6; = О А О $в!пб $совб О О С 104 3.
Гироскоп. Силы и диижеиие Произведя надлежащие преобразования, получим АЬ + Сф в(п О (ф + ф сов 6) — Ачрй в(п д сов д Аф в!и б+ 2АфЬ совд — СЬ(ф+ фсовд) Сф + Сф сов д — С фЬ в1п О (3.! 5) Если уравнение направля1ощей кривой 6 = 6(ф) задано, то для того, чтобы определить момент, а тем самым и давление, которые Ркс. 9.9. !(аленке цкляндркческой шейки по направляющей К для 4=0.
Рнс. 0Л0. Качение цилиндрической шепни по направляю- щей К для 4=0. соответствуют определенной угловой скорости гироскопа, требуется еще учесть условие качения, например, в виде уравнения = у(чр,д,Ь). Рассмотрим подробнее два частных случая. а) Пусть направляющая кривая обладает тем свойством, что заставляет ось 3' двигаться вдоль меридиана (дуги большого круга, проходящего через точку О = 0). Тогда ф = сопи! и ф = О. Подставляя зти значения в (3.(5), получаем При отсутствии трения в опоре и трения качения ф = О; следовательно, ф = сопв!.
Как видно из условия качения, Ь тоже постоянна. Если Я вЂ” радиус сферы, на поверхности которой расположена !оз 3.!, Силы в случае гироскопа с дополнительной свпаыо направляющая кривая, а г — радиус цилиндрической шейки (рис. 3.9), то условие качения имеет вид гф = рб = Рг/с' — г'О. Поскольку ф = д = О, остается только гироскопический момент относительно оси 2. Его величина М", = Сбф = (С./р) фа = (Ср/.) Оа.
(3.16) Этот момент прижимает шейку к направляющей с силой нормальной реакции У = Мл/р = (Сг/р') фт = (С/г) Оа. Легко сообразить, что при перемене знака О сила по-прежнему прижимает шейку. Ь) В качестве второго частного случая рассмотрим направляющую кривую К, представляющую собой окружность радиуса /7з!пдн (рис. 3.!0). Будем рассматривать качение по наружной стороне кривой. Тогда скорость ор некоторой точки Р оси фигуры равна ор = (Р з!п Ок + !' Соз д) тР = г (ф + ф соз 9), и условие качения примет вид /с з(п дкф = гф. (3.17) Кроме того, в рассматриваемом случае О= О, и вследствие отсутствия трения ф=ф = О, поэтому в выражении (3.15) остается лишь один момент реакции относительно оси 1 М! = — ф з(п О (С (ф + ф соз д) — Аф соз д), (3.!8) или с учетом равенства (3.17) .а (СДв!пол М! = — ф з!пд!ь к +(С вЂ” А)созб~.
(3.19) В интересующем нас интервале 0 < О < и/2 знак момента для сплюснутого ротора (С ) А): Мк! < О, ( М! < 0 при /7з!пб„) р для вытянутого ротора (С < А): ~ М! ) 0 при /се!пб < р, где А — С Ра= С гсозб. Нетрудно сообразить, что отрицательный момент свидетельствует о давлении на направляющую. Поэтому при качении снаружи кривой сплюснутый ротор никогда не Покидает направляющую, 106 3. Гироскоп. Силы и лвимсепие вытянутый же покидает последнюю, если ее радиус меньше критического значения ро Это явление можно пояснить наглядно: если кривизна кривой окажется меньше, чем кривизна дуги, которую гироскоп описал бы, имея возможность свободно совершать нутационное движение, то он покинет направляющую.
К тому же результату можно прийти, используя ранее полученные соотношения, описывающие движение свободного симметричного гироскопа. Равенства (2.39) и (2АО) дают А — С Ф = сооо А Сы„ Асово, откуда ф А — С вЂ”. = — соз б,. С С другой стороны, для периметрического гироскопа, согласно условию качения (3.17), имеем ф нв!Пбк ф г Сравнивая два полученных выражения, мы приходим к уже рас- смотренному граничному случаю для периметрического гироскопа и получаем значение критического радиуса А — С ро=(7сз!пбк)о= гсозбо.
С )с з!п бклр = — гф. Подставив зто условие в (3.18), найдем гироскопический момент '2 . 1 Сов!П 6 — (С вЂ” А) соз б~, В данном случае всегда М1 ) О, так как из кинематических сообк ражений постоянно должно быть )7 з!пба ) г, если вообще имеет место качение по вогнутой стороне направляющей. Ввиду того что здесь положительный момент свидетельствует о давлении на направляющую, периметрический гироскоп, катящийся по вогнутой направляющей, никогда не покидает последнюю. (3.20) Так как для сплюснутого гироскопа ро ~ О, такой периметрический гироскоп может следовать всем изгибам и даже острым углам направляющей.
Вытянутый же гироскоп, минуя такой угол, покинет направляющую. Однако после того, как гироскоп опишет некоторую нутационную дугу (короткую или длинную), шейка вновь кос. нется направляющей и в дальнейшем будет продолжать свое движение по ней. Если периметрический гироскоп катится ёзнутра кривой, то условие качения будет другим, именно Э 1. Силы в случае гироскопа с лополиичельиой свиаыо Прн любой форме направляющей момент реакции может быть найден по формуле (3.15).
Не вдаваясь в разбор этого весьма общего выражения, заметим только, что и при отсутствии тормозящих или движущих моментов ф Ф 0 и угловая скорость собственного вращения может и не быть постоянной. Это непосредственно следует из формулы (3.!5) для момента Мак. Принимая во внимание уравнение направляющей и условие качения, можно рассчитать переменную угловую скорость собственного вращения ф. Практическое применение периметрического гироскопа воплощено в так называемой дробильной мельнице, предназначенной Рис.
ЗЛ Ь Схема лробильиоа мельаицы. для измельчения твердых материалов. Ее принципиальное устройство показано на рис. 3.!!. Внутри мельничной чаши бегают мельничные колеса (бегуны). Они приводятся в движение посредством штанг, связывающих каждый из ннх с вертикальным валом, который вращается с некоторой угловой скоростью ф Сами бегуны при этом катятся по днищу чаши. Чистое качение возможно здесь, естественно, только при определенном радиусе )с'. Условие качения имеет вид гф= ггф Полная угловая скорость бегуна складывается нз угловой скорости собственного вращения ф и вынужденной угловой скорости лр.
Из формулы (3.!0), которую мы здесь вправе применить, получаем выражение гироскопического момента М" =ф'з!пд ~(С вЂ” А) созб+ — 1. (3.21) Вектор этого момента перпендикулярен векторам ф и ф и на рис. 3.! ! направлен за плоскость чертежа. Давление, обусловленное этим моментом, добавляется к тому, которое создается соб. ственным весом бегунов, !сз 3. Гироскоп. Силы и движение При заданных А, С, Я, г мы можем, пользуясь формулой (3.2!), вычислить угол д, при котором дополнительное давление оказывается наибольшим.
Для того чтобы получить представление о величине дополнительного давления, произведем приближенный расчет его для 0 = и/2. Положим, что бегун выполнен в виде сплошного однородного цилиндра, так что С = гпгв/2 = бг'/(2д). Тогда сила нормального давления на днище вследствие гироскопического эффекта равна гик с, аг Лг= — = — фи = — фв, г2 г 2д (3.22) или — .ьв 6 2я "'' Таким образом, отношение йг/6 не зависит от Р. Если принять, например, г = 0,2 м, то уже при вынужденной угловой скорости 100 об/мин сила нормального давления достигает величины, равной весу бегуна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
