Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким способом можно построить путь кинетической оси как последовательность отрезков прямой (точнее, дуг больших кругов) и путь оси фигуры как последовательность дуг окружности. 114 3. Гироскоп. Силы и движение Точность описанного построения зависит, конечно, от выбранного шага, т. е. от интервала Тв между толчками. Для того чтобы хорошо воспроизвести путь оси фигуры, надо выбрать Тв « Тн. Напротив, путь кинетической оси можно получить с достаточной точностью при более грубом разбиении по времени. Построение становится трудоемким (или неточным), если гироскоп несимметричен, если велико расхождение между кинетической осью и осью фигуры или если неравномерно собственное вращение. Последнее имеет место при наличии составляющей момента в направлении оси фигуры.
В этом случае пришлось бы соответственно изменить величину угла а. Идею, лежащую в основе приведенного построения, можно было бы сформулировать теоретически и получить таким образом метод расчета движения гироскопа. Мы вернемся еще к этому вопросу при рассмотрении специальных случаев (гироскоп с само- возбуждением).
Расчет движения гироскопа под действием сил бывает затруднен главным образом потому, что внешние силы или моменты заранее не заданы (являясь, например, неизвестными функциями времени). Они часто зависят еще и от положения ротора гироскопа, которое само по себе подлежит определению из уравнений движения. Поэтому здесь нельзя, как мы это делали, например, при исследовании свободного гироскопа, решать отдельно динамические уравнения гироскопа относительно составляющих угловой скорости, а затем находить из кинематических уравнений углы, определяющие его положение; обе системы уравнений чаще всего приходится рассматривать совместно. Исключение составляют только вопросы, относящиеся к гироскопам с самовозбуждением, Под этим понимаются такие гироскопы, для которых известны связанные с телом составляющие внешнего момента, не зависящие от текущего положения тела.
Следует еще указать на то, что термин «самовозбуждение» употребляется здесь в несколько ином смысле, чем это принято в теория колебаний. Особую роль в гироскопической технике, да, пожалуй, и в классической теории играют гироскопы, у которых точка опоры ротора не совпадает с его центром масс. Такие гироскопы обычно называют тяжелыми, потому что здесь внешний момент создается силой тяжести. Направление силы тяжести можно считать неизменным в пространстве, но ее точка приложения связана с телом.
Поэтому выражение момента силы тяжести обусловлено выбором как неподвижной, так и подвижной систем координат. Особый вид тяжелых гироскопов представляют собой спутники, поведение которых мы разберем более обстоятельно в гл. 8. Если составляющие наложенного на гироскоп момента в неподвижной системе являются известнымн функциями времени, то такой гироскоп называют гироскопом с вынужденным возбуждением. Чаще всего здесь приходится иметь дело с периодическими 11Б З.З. Тяжелый гироскоп функциями времени, однако в технических применениях гироскопов представляют интерес и квазипериодические, а также случайные возмущения (например, на кораблях из-за волнения или на самолетах из-за шквалистого ветра). 3.3. Тяжелый гироскоп 3.3.1. Уравнения движения тяжелого гироскопа, общие интегралы и обзор результатов.
Гироскоп называется тяжелым, если действующий на него внешний момент создается силой тяжести. Если Рис. Зяа. К определению момента силы тяжести тннселого гироскопа. центр масс 5 твердого тела не совпадает с точкой опоры г (рис. 3.16), то возникает момент силы тяжести М, = ег1аз16ы (3.26) где дгг — вектор силы тяжести, а зг — радиус-вектор точки 5. В написанном выражении надо положить ага = — Оааа, где алд — единичный вектор по направленной вертикально вверх оси 3. Его координаты соответствуют элементам третьей строки матрицы преобразования а;; (см. п. 1.4.3); обозначим их ааь аы, а33. Имеем 33 ЗГ 31 + + 33 (3.27) Подставив (3.26) в (!.83), получим общее уравнение движения тяжелого гироскопа в векторной форме —,', (Вг1от1) = Вгг,, + вг1аго>Оыо31 = Мг = Озг1аа3133. (3.28) ~! 3.
Гироскоп. Силы и движение ыа Если за подвижную систему принять систему ставных осей, то уравнения движения в проекциях на зти осн становятся легко обозримыми: Ав, — ( — С) в,вз = 6 (азза, — азза,), Ввз — (С вЂ” А) взв, = 6 (а„з, — а„аз), Свз — (А — В) в,в, = 6(амз, — азза,). (3.29) В качестве неизвестных здесь фигурируют координаты вектора угловой скорости в, и вертикального единичного вектора ам — всего шесть переменных. Так как (3.27) и (3.29) образуют систему лишь четырех уравнений, то для исследования движения тяжелого гироскопа должны быть привлечены дополнительные уравнения.
Последние можно получить из кннематических соображений, исходя из того, что вертикальный единичный вектор ам неподвижен в пространстве; лом д озз ш ж (3.30) или в координатах аз~ + взазз взазз = О, азз+ взад! в!авз азз + в,азз в,аз, = О. (3.31) д аз, —, (Вав;) = — „(а„Н,) = О, (3.32) или (3.33) аззНс = Нв = сопз1. Полученный интеграл кинетического момента указывает на то, что вертикальная составляющая полного кинетического момента постоянна. Этот результат становится ясным и физически, если вспомнить, что вектор момента силы тяжести (3.26) всегда лежит в горизонтальной плоскостк, а, согласно теореме о кинетическом моменте (1.?5), изменение Н; пропорционально внешнему моменту.
Двух векторных уравнений ((3.28) и (З.ЗО)) или шести скалярных ((3.29) и (3.31)) достаточно для решения задачи. Общее решение указанных уравнений движения тяжелого гироскопа до настоящего времени не найдено. Так как только пять из шести неизвестных независимы, то, согласно теории интегрирования Якоби, точное решение в квадратурах, т.
е. путем вычисления интегралов, оказалось бы возможным, если бы удалось найти три так называемых первых интеграла уравнений движения. Два подобных интеграла общего характера находятся без труда, третий же пока найден только для некоторых частных случаев. Векторное уравнение (3.28) можно проинтегрировать, предварительно умножив его скалярно на ам. Поскольку Мзазз= О и Ыаз;/сИ = О, имеем 3.3 Тяжелый гироскоп Для нахождения второго интеграла предварительно умножнм скалярно (3.28) на вь Принимая во внимание (1.71), получаем с)тв) сГО) д' ) ! 1 и'Т в %)! = в) = — 1,— в)Н)/ = Ж г11 с)) 'х2 / м) и, далее, привлекая (3.30), ,1 ах,,) г1 Ь Бв))ваз)злвг = Оз))вв)алвзг = — 6 — ' з, = — Π— (амз,) =— г)) г)) м) где У вЂ” потенциальная энергия. Объединяя записанные выражения и выполняя интегрирование, получаем интеграл энергии Т+ У = '/, Нгв, + Оз,ам = Е = сопи(, (3.34) где Ео — константа.
И этот результат можно объяснить физически: так как мы предполагали отсутствие диссипативных сил, полная энергия Т + У тяжелого гироскопа должна оставаться неизменной. Соотношение (3.27) можно понимать как общий интеграл кинематических уравнений (3.30) нли (3.3!). Однако его не удастся использовать для интегрирования уравнений движения, если мы будем пытаться сократить с его помощью число неизвестных ').
В таблице, приведенной на стр. 118, дан обзор частных случаев, для которых удалось найти точные решения уравнений движения. Все девять представленных в таблице проблем относятся к частным случаям тяжелого гироскопа, которые характеризуются ограничениями, наложенными либо на форму эллипсоида инерции, либо на положение центра масс, либо, наконец, на начальные условия. Случай 1 включен в таблицу для полноты картины; он касается уже разобранного в гл.
2 свободного гироскопа. Общие решения, т. е. решения, справедливые при произвольных начальных условиях, известны лишь для случаев 2 и 3. В случаях 4 — 9 речь идет о движениях, осуществление которых связано с определенными, порой специальными начальными условиями. То, что приведенные в таблице случаи ! — 3 занимают особое место, следует также из доказанной Ляпуновым теоремы: названные три случая — единственные, для которых составляющие векторов в; и ам являются однозначными функциями времени при произвольных начальных условиях.
Литература по классической теории гироскопов посвящена почти исключительно тяжелому гироскопу. Много усилий было затрачено на поиски таких случаев, для которых было бы возможно точное решение нелинейных уравнений движения (3.29) и (3.31). Как бы ни были привлекательны для математика ') Следует иметь в виду, что соотношение (3.27) не входит в число необходимых трех ннтегрллов, упомянутых ваше. — Прим, род. о о о Е М о Е о Ф о М о ы м о а о ы а ы ы о Э з ы л ы о Ф И о аа Са ь !! з ы ы а ы ы ы а ы а !! й '!!. й ы ы о аы ы ы ы ы а ы М ,а о ы 2 о о Е~ а о ы о а л о Ф а ж о о й ь !! ы й О ь |! '!!.
й й !! ы л У Ю Ф а. о, о ( О ь !! '!!. й !! О ь !! '!! а й )! а Ф о о о Я о о. 1 ы з ы о Ф 2 о о, ! ~4 ~~ ! ~ аО ь !! 7~й 'Я ы о 2 о о ! о + ~Ц + ао о~ (Ц ч а~ О ! ! ~ ао ь 7) й 3.3. Тяжелый гироскоп ыз 3.3.2. Тяжелый симметричный гироскоп по Лагранжу. Если эллипсоид инерции рассматриваемого тела относительно точки опоры Е является эллипсоидом вращения (А = В) и центр масс лежит на его оси симметрии (ось 3'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
