Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так как формула содержит ф во второй степени, то путем повышения вынужденной угловой скорости можно достичь значительного увеличения дополнительного давления. (3.23) 3.2. Общие сведения о движении гироскопа под действием сил 3.2.1. Действие момента сил. Если на ротор гироскопа действует некоторая сила, то совместно с возникающей в точке опоры реакцией она образует момент Мь Теорема о кинетическом моменте (!.75) связывает этот момент с вектором кинетического момента Нь Выполняя интегрирование, получаем Н, = и';+ ~ М, /!. При заданном М;=Мг(!) и известном начальном кинетическом е моменте Нг мы можем отсюда определить Н;=Н;(!).
Зависимость между векторами Н; и Мг можно представить более наглядно, если написать выражение (3.23) в виде итерационной формулы, принимая момент на каждом шаге б! постоянным: Нг = Н"; + гдНг = Н"; + М; ЛЕ Путем последовательного добавления приращений ЬН~ = Мгб! мы можем по Нг построить вектор Н;(!) (рис. 3.!2). В ходе этого поо строения мы непосредственно замечаем общую тенденцию; момент изменяет направление вектора кинетического момента, причем так, что последний стремится к одноименному совпадению с вектором Мь Это положение, относящееся к вектору кинетического момента, нельзя распространять без оговорок на ось вращения или на ось фигуры (см. также п.
3.!.За). Но так как у быстровращающегося гироскопа ось фигуры и кинетическая ось почти совпадают, то най- 32. Общие сведения о движении гироскопа под действием сид 109 денный выше результат можно сформулировать следующим образом: Под действием внешнего момента ось фигурьг быстровращающегося гироскопа стремится всегда к одноименному параллелизму с вектором момента. Это правило об одноименном параллелизме как полезный ориентир играет большую роль в вопросе о применении гироскопов.'Не следует, однако, забывать, что здесь идет речь об утверждении, верном лишь приближенно. При более строгом анализе приходится иногда учитывать несовпадение оси фигуры с кинетической осью. К этому мы еше вернемся в п.
3.2.2. м; ч1 и и; Рнс. 3.13. Прецесснонное движение вектора кннетнческого момента Нг нод деаствнем момента М, Рнс. 3.12. Изменение вектора кинетического момента и; нрн ностоннном моменте Мг Произвольный внешний момент Мт всегда можно разложить на две составляющие: Мг по направлению вектора Нг и Мт — по перй пендикулярному к нему направлению. Влияние каждой из них на изменение вектора Н; нетрудно проследить на приведенном выше графическом построении.
Мы приходим к следующим выводам. а) Составляющая момента Мнг изменяет величину, но не изменяет направления Нь При М; ))' Нг имеем йН1й1 ) О, и вращение гироскопа убыстряется (разгон); при М1 )'р Н, вращение гироскопа замедляется (торможение). )3) Составляющая момента Мт изменяет направление вектора Нп но не изменяет его величины. Вектор Нт вращается с угловой скоростью щ, вокруг оси, перпендикулярной плоскости Нч-Мь Из рис. 3.13 видно„ что при ста (( 1 Л Нг = Нг Ла = Мг б1; ыо 3. Гироскоп. Силы и движение отсюда ввиду М~~ Ь Н~ следует р .
ао м Н = Но=сонэ(, со~=!пн — = —. ю.+о зс Положив, что система координат вращается с угловой скоростью сор получим из теоремы о кинетическом моменте зависимость между векторами Нь Мы со~ в следующем виде: (3.24) 3.2.2. Удары по гироскопу. Если гироскоп подвергнуть действию ударной силы или ударного момента, то в течение весьма короткого времени т удара кинетический момент изменится на величину Н~, которая, согласно (3.23), равна зс НГ=Нс — Н =) М с(г.
о (3.25) Мы можем здесь, как и в предыдущем пункте, разложить моо мент на составляющие по направлению Н; и ему перпендикулярзс о ному. В первом случае имеем Н; 4~Но Удар приводит к внезапному изменению величины Нь направление же вектора не изменяется. о Это означает мгновенный разгон (илн торможение) гироскопа. Такого рода ускорения гироскопа действительно применяются на практике: ротор либо разгоняют посредством раскручивающейся сильной пружины, либо с помощью пороховых газов доводят в течение долей секунды до очень высокой скорости вращения.
С этой целью воспламеняют находящийся в роторе гироскопа пороховой заряд; газы, образующиеся при сгорании, выходят наружу через Вектор со,' называется вектором угловой скорости прецессии, а само движение гироскопа — прецессией.
Согласно распространенной в настоящее время в гироскопической технике терминологии, под прецессией понимается вообще движение гироскопа под действием сил. Нутацией называется движение свободного гироскопа. Собственное движение — нутация — может накладываться на вынужденное — прецессию.
Изложенные выше под рубриками а) и Ь) положения относятся к вектору Н~ и, следовательно, к кинетическому моменту и кинетической оси. Нередко большой ингерес представляет движение оси фигуры, так как оно может быть непосредственно наблюдаемо н измерено в гироскопических устройствах. Рассмотрим это движение сначала для случая ударного внешнего момента, а затем и для более общего случая. 3.2. Общие сведения о движеиии гироскопа под действием сид 111 отверстия, расположенные приблизительно по касательным к периметру ротора и, развивая реактивные силы, приводят его во вращение.
зс о Более важен второй из названных случаев, когда Нг ( Нь Такое состояние может, например, наступить, если по гироскопу, вращающемуся вокруг главной оси, нанести удар в поперечном к ней направлении. На рис. 3.14 это продемонстрировано для симметричного гироскопа. Пусть гироскоп (на рисунке не показан) оперт в точке О и вращается вокруг оси симметрии 3', до удара рис. ЗИЬ действие ударного момента.
неподвижной. Тогда ось фигуры, ось вращения и кинетическая ось совпадают. Приложенная к гироскопу ударная сила гг создает совместно с силов реакции опоры Рг ударный момент Мг . По. и зг следний, согласно (3.25), вызывает скачкообразное изменение век- о тора кинетического момента от начального Ог до Нь Напротив, ось фигуры 3' в течение короткого времени удара не меняет своего положения, так что направления оси фигуры и кинетической оси по окончании удара оказываются неодинаковыми. При этом в соответствии с нашими рассуждениями в гл. 2 возникают нутационные колебания, которые можно толковать как качение подвижного аксоида (осью которого теперь служит движущаяся ось 3') по неподвижному (имеющему ось Нг).
На рис. 3.14 последнее представлено для вытянутого гироскопа (эпициклоидальный случай). Совершенно аналогичные результаты получаются для перициклоидального случая. Наблюдаемое движение гироскопа после удара представляет собой нутацию, при которой ось фигуры 3' вальсирует вокруг нового неподвижного направления кинетической оси, 3. Гироскоп. Силы и движение У симметричного гироскопа — это коническое движение; половина угла при вершине конуса определяется через (а б = Нвс((НО. В результате изложенного мы можем считать установленным, что удар возбуждает нутационные колебания гироскопа, при которых направление движения его оси фигуры непосредственно после удара совпадает с направлением силы Ро Таким образом, в первый момент ось поддается силе, но, описав нутационную дугу, она возвращается в исходное положение, после чего периодически поворачивается вокруг кинетической оси в ее новом положении.
Получается, что ось фигуры в среднем смещается на определенный угол в направлении, перпендикулярном Р~ (в направлении з» Мг ). Это среднее смещение оси фигуры соответствует смещению кинетической оси в направлении, определяемом правилом одноименного параллелизма. В то же время можно заметить существенную разницу между поведением невращающейся инерционной массы (например, не- вращающегося гироскопа) и вращающегося гироскопа: удар вызывает у соответственно подвешенного тела вращение с определенной угловой скоростью, у гироскопа же, напротив, — смещение в среднем на некоторый угол.
У быстровращающихся гироскопов, находящих применение в технике, нутационное движение, возбужденное ударом, в общем случае настолько незаметно, что его едва ли можно уловить. В этом случае в результате серии последовательных ударов наблюдается лишь смещение оси фигуры под прямым углом к направлению удара. Это обстоятельство привело к тому часто высказываемому утверждению, что гироскоп не поддается действующей на него силе, а отклоняется в перпендикулярном направлении. Из сказанного ясно, что, строго говоря, такой тезис неверен, однако он приложим к быстровращающимся гироскопам как полезное приближение.
3.2.3. Общие приближения. Если на гироскоп действует произвольная система сил, то его движение можно приближенно определить с помощью следующего приема. Представим себе, что момент М;(1), образованный силой Р~ и силой реакции Р~, возник л благодаря большому числу последовательных малых толчков. Как было показано выше, для каждого из этих элементарных ударов может быть найдено как смещение кинетической оси, так и движение осн фигуры. Если названные смещения отложить, например, в виде отрезков на поверхности сферы с центром в точке опоры гироскопа, то путем сопряжения этих элементарных дуг мы получим перемещения кинетической оси и оси фигуры как функции времени. 3.2.
Общие сведении о движении гироскопа под действием сил 113 На рис. 3.!б показан пример такого процесса. Пусть сначала гироскоп вращается вокруг главной осн (ось 3'), пересекающей воображаемую неподвижную сферу в точке О. Кинетическая ось и ось фигуры пока еще совпадают. В результате первого элементарного толчка кинетическая ось смещается в точку 1. Ось фигуры начинает нутационное движение, которое для симметричного гироскопа можно представить как дугу окружности, описываемую Рис.
Здв. Перемещение кинетнтеской оси и осн фигуры под действием последовательных ударных моментов. на сфере из точки 1. Если Тм — время полного нутационного колебания, а элементарные толчки следуют через промежутки времени Та, то угол, соответствующий длине нутационной дуги, равен а = 2ПТ (Тм. После второго толчка кинетическая ось смещается в положение 2. Перемещением оси фигуры между вторым и третьим толчками будет теперь дуга окружности, описанная из точки 2 и примыкающая к названной выше дуге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
