Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При этом гироскопическая функция (3.46) примет вид У (и) = — (1 — и) [( ! — и) (1 + и — 2 а) + — (1 + и)) . 13З 3.3. Тяжелый гироскоп Если считать е малым и сохранить в разложении только члены с наиболее низкими степенями е, то можно написать следующие приближенные значения корней уравнения У(и) = 0: а ! а<1 а>! l 2е 1 Г 2е еа 2а — !в Ог (! — а) ! в бг (о !) (3.69) ! и! !+ ог (1 — а) еа 2а — 1+— Ол (а — 1) Теперь графики гироскопической функции имеют вид штриховых кривых на рис.
3.23, которые позволяют оценить характер возмущенного движения. В случае а ( 1 данная точка оси фигуры совершает периодические колебания между верхним полюсом (и! — — ие = +1) и некоторой нижней границей (и = и! (1). При этом возмущенное движение расходится с исходным (невозмущенным), поскольку разность иэ — и! сохраняет конечное значение и в случае е- О. Следовательно, невозможно найти такую область б(е), которая сокращалась бы с уменьшением е и внутри которой были бы заключены значения и (или О). Поэтому рассматриваемое движение неустойчиво в смысле Ляпунова (9 2.4).
В случаях когда а =! и а ~ 1, область, в которой протекает движение, при е- 0 стягивается к верхнему полюсу (и!- +!). Таким образом, оба этих случая должны быть признаны устойчивыми в смысле Ляпунова. В рассматриваемом движении ось фигуры вальсирует вокруг верхнего полюса, оставаясь при этом вблизи него, что иллюстрирует, например, рис. 3.21, д. В результате мы можем констатировать следующее: Тяжелый гироскоп по Лагранжу с верхним расположением центра тяжести устойчив только при соблюдении условия С о!ее) 4а А.
(3.70) Чтобы превратить статически неустойчивую систему в устойчивую, требуется, следовательно, сооби(ить ей некоторую минимальную угловую скорость. Таким образом, (3.70) является необходимым и достаточным условием устойчивости движения оси фигуры. Возможное в случае а(! (см. (3.69)) движение в границах и! = 2а — 1 и и! = 1 является не периодическим, а асимптотическим. Об этом свидетельствует то, что в силу из ж 1 йе= "' "' — +1 и! — и! 134 3.
Гироскоп. Силы и движение поэтому К(й) — ~-со, и, согласно (3.52), Тв неограниченно возрастает. Характер движения проще всего выяснить посредством интегрирования (3.50). Полагая в последней формуле йг = 1, находим оо т= „! — =Аг!Ьо ог н вместо (3.51) и = и, + (! — и,) !)1' т. (3.71) График этой функции представлен на рис. 3.24. Движение начинается из низшей точки и = иь и при т-ьсо движущаяся точка асимптотически приближается к верхнему полюсу (и = +!).
Она описывает при этом спираль, как показано на рис. 3.25. Описанное движение можно рассматривать как обобщение известного асимптотического движения маятника. При соответствующих начальных условиях физический маятник тоже может достигнуть верхней мертвой точки лишь по истечении бесконечно большого промежутка времени.
Однако, в то время как движение маятника является плоским, движение оси фигуры тяжелого гироскопа происходит в пространстве. Полученные формулы охватывают как частный случай и движение маятника (для а = О, т. е. для оэо = 0). В заключение остается только исследовать гироскоп с нижним расположением центра тяжести. Предполагая малое возмущение, вызванное боковым ударом, мы в данном случае имеем Но= — Сво и Е;=Е,+е='/эСв' — Ов+е.
Гироскопическая функция принимает вид У (и) = (1+ и) [и' — и(2а+ — ) — (1+ 2а — — ')~; ее нули суть (3.72) + Ог(1+ а) ' еа иг = 1+ 2а+ Ог(1+ а) ' Общее поведение функции У(и) представлено на рис. 3.26 как для возмущенного (е Ф О, штриховая линия), так я для невозмущенного (е = О, сплошная линия) движения. Формулы (3.72) показывают, что в результате слабого возмущения ось фигуры лишь немного отклоняется от нижнего полюса независимо от значения а; само отклонение пропорционально е.
Таким образом, мы приходим к следующему результату: Тяжелый гироскоп по Лагранжу с нижним расположением центра тяжести всегда устойчив независимо от скорости гго собственного вращения. Рис. 3.2Ч. Интегральная кривая и (т) в предельном случае асимптогического движения. Рис. ф23, Траектория некоторой тачки оси фигурм в предельном случае асимпгопгческопт двнткеивя. Рнс. 3.26.
Вид гироскопической функции твжелого гироскопа с нижним расположением центра тяжести. 3 Гироскоп. Силы и движение 136 2й, — а,а,=О, 2йз+ оз,озз= сазз (3.73) — сазе, где 20з с= —. А (3.74) Присоединяя к иим систему (3.31), мы получаем достаточное число уравнений для определения переменных. Они допускают точное решение в смысле теории интегрирования Якоби, если, кроме интеграла кинетического момента (3.33) и интеграла энергии (3.34), будет найден еще дополнительный частный интеграл. Его можно построить следующим образом.
Выразим переменные попарно в виде комплексных функций: а, + за, = х, аз1+зазз=р. (3.75) Умножив второе уравнение (3.73) на 1 и сложив его с первым, получим 2х+ зазх=зсаз,. (3.76) Поступая аналогично с первыми двумя уравнениями (3.31), находим У + зазД заззх (3.77) Исключая азз из уравнений (3.76) и (3.77), приходим к уравнению 2хх + !азхз — су — зсазр = О> З.З.З.
Тяжелый гироскоп по Ковалевской. Случай, фигурирующий в таблице п. 3.3.1 под рубрикой 3, был открыт и обстоятельно исследован Ковалевской. Правда, на первый план здесь выдвигались, скорее, математические аспекты, чем физическая интерпретация движения гироскопа. Ковалевская положила А = В = 2С и з> — — з Ф О, зз = зз = О. Эллипсоид инерции гироскопа для точки опоры Р остается симметричным, но центр масс расположен не на оси симметрии (ось фигуры), а в перпендикулярной к ней плоскости. Это, конечно, возможно только для тел с неоднородным распределением масс. Не нарушая общности результатов, мы можем за ось 1', связанную с телом, принять прямую, соединяющую точки Р и 5, так что зз = О. Таким образом, гироскоп Ковалевской — это специальный симметричный вытянутый гироскоп с неравномерным распределением масс.
Уравнения движения (3.29) переходят здесь в следующие: 3 3 Тяжелый гироскоп или после преобразований (х су) + гвз (х су) 0 гг — !п (хз — су) = — г'вз. га (3.78) В целях обратного перехода к действительным величинам повторим тот же прием по отношению к сопряженным функциям х и у. Имеем — ! и (х' — су) = гв,, (3,79) Сложив оба уравнения, получим новое уравнение — ! и [(х' — су) (х' — су)] = О, гг из которого вытекает постоянство во времени выражения, заклю- ченного в квадратные скобки. Возвращаясь в нем к исходным пе- ременным, приходим к искомому частному интегралу (в', — в' — са„)'+ (2в,в — са„)'= сопз1.
(3.80) Мы не будем далее заниматься интегрированием уравнений движения с использованием трех частных интегралов (3.33), (3.34) д (3.80) (см., например, Лейманис (7)). Заметим только, что интегрирование уравнений движения гироскопа Ковалевской требует значительно более сложных математических средств, чем в случае гироскопа Лагранжа. Решение задачи приводит к вычислению интегралов вида и )!Р (я! л )гг".
(я! (3.81) в которых з — выбранная надлежащим образом переменная интегрирования. Функцию Р(з) можно рассматривать как обобщенную гироскопическую функцшо. В общем случае она выражается полиномом пятой степени по з, так что оба интеграла относятся к так называемому гиперэллнптнческому типу. Образуя обратные функции, мы можем отсюда найти з = г(т). Так как все переменные исходной системы могут быть выражены через з, то с математической точки зрения задачу можно считать решенной. Однако до настоящего времени никто из многочисленных авторов, занимавшихся усовершенствованием и упрощением этого исключительно сложного математического решения, не смог дать наглядной его интерпретации.
Разберем один частный случай гироскопа Ковалевской. Из совокупности уравнений (3.73) и (З.З!) нетрудно видеть, что они Ззз 3. Гироскоп. Силы и движение допускают возможность стационарного вращения вокруг вертикальной оси 1'. При этом 0» =030 чь О, вг =вз =О (3.82) аз, — — 1, аз2 = азз = О. Исследуем устойчивость этого движения путем анализа возмущен- ного движения. С этой целью запишем переменные в виде в~ во+ х! аз! ! + Х4 а„= хб, азз хб В2 Х2 Вз=хз где х, (т = 1, ..., 6) — возмущения. Подстановка этих величин в систему уравнений движения (3.73) и (3.31) дает для возмущен- ного движения 2х,— х,х,=О, 2хг + (030 + х,) хз = схб, Хз = — СХ„ х4 — хгхв + хзхз — 0 хз+ хз(1+ х,) — (в, + х,) х, = О, Хб + (во + Х~) Хб — Хг (1 + Х4) О.
Ограничимся здесь выяснением необходимых условий устойчиво- сти стационарного вращения вокруг осн 1' и потому опустим в (3.83) все члены второго порядка относительно возмущений. То- гда характеристическое уравнение линейной системы первого при- ближения будет (3.83) 214 0 0 0 0 0 0 2Х во 0 0 — с 0 0 ! 0 с 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 1 0 1с — в, О 1 О О во Х =О, нлп после необходимых вычислений 2У (У + вг — с) (2ЛЗ вЂ” с) = О. (3.84) Для устойчивости необходимо дг (О, т. е. требуется выполнение условий вг — с)0, (3.85) с<0, 33. Тяжелый гироскоп 139 из которых первое безусловно выполняется, если выполнено второе. Так как для гироскопа Ковалевской прн в ) 0 условие (3.85/2) не выполняется, то его движение не может быть устойчивым.
Румянцев [20) показал, что условие (3.85) также достаточно для устойчивости по переменным о>г, ым о>м ам, а,м ами что позволяет сформулировать следующий результат: Стационарное враи1ение гироскопа Кова веской с нижним расположением центра тяжести устойчиво при любой скорости собственного вращения. Вращение гироскопа с верхним расположением центра тяжести всегда неустойчиво. Занимаясь частными случаями гироскопа Ковалевской, Аппельрот в результате кропотливой работы нашел условия, при которых гироскопическая функция Р(в) в формулах (3.81) вырождается или имеет кратные корни. В этих случаях интегралы (3.81) могут быть приведены к обычным эллиптическим С подобным частным случаем мы сталкиваемся при равенстве нулю постоянной в частном интеграле (3.80).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
