Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Гироскоп. Силы н движение 100 Л= — 2=0 б'г "пззв -0,М л>0,5 0,20 рис, 3.3ь Области устойчивости вращения несимметричного гироскопа для различныл значений безразмерной гироскопической постаяяной й. й = Π— свободный гироскоп. При выбранных обозначениях необ- ходимые условия устойчивости принимают вид 5, =(2 — у — х+ ху) — й(х+ у) ) О, 53=(1 — х+ йх)(1 — у+ йу) > О, 53=((2 — у — х+ ху) — й (х+ у))3— — 4 (1 — х + йх) (1 — у + йу) ~ О. (3.112) На диаграммах рис.
3.31 указаны числовые оценки 5с (1= 1, 2, 3) для различных значений гироскопической постоянной й. На них областям неустойчивости соответствуют затененные площадки треугольника формы твердого тела (см. п. 1.3.6). Отчетливо видно 3.3. Тяжелый гироскоп изменение областей неустойчивости: при верхнем расположении центра тяжести они с ростом !л! увеличиваются, а при нижнем— уменьшаются. Примечательно прежде всего то, что тело, вращающееся с неизменной угловой скоростью, подобно свободному гироскопу, может в определенном интервале угловых скоростей оказаться неустойчивым даже тогда, когда его центр тяжести лежит ниже точки опоры, т. е. когда оно статически устойчиво.
И наоборот, гироскоп, вращающийся вокруг средней оси, — всегда неустойчивый, если он свободен,— при определенной скорости вращения может стать устойчивым даже тогда, когда центр тяжести находится выше точки опоры, т. е. когда гироскоп статически неустойчив. Оба этих эффекта могут быть продемонстрированы на соответствующих моделях. Если условие устойчивости Вя ) 0 (3.112) удовлетворяется, то неравенство Яя ) 0 в любом случае оказывается сильнее, чем условие Вг ) О. Поэтому, вообще говоря, достаточно исследовать условия (3.112/2) и (3.112/3). Неравенство (3.112(2) удовлетворяется, если знаки выражений в обеих содержащихся в нем скобках одинаковы.
Если у них отрицательные знаки, то, как показал Румянцев «22), уже одно это является достаточным условием устойчивости в смысле Ляпунова. Названные достаточные условия можно записать в форме (А — В) го' > Ог, (А — С),' > О . Определенные ими области гарантированной устойчивости представлены на рис. 3.31 незатененными площадками треугольников формы. Условие Яя ) 0 можно рассматривать как квадратичное неравенство относительно й и привести к виду й'(х — у)Я вЂ” 2й (х+ у — 4) (ху — х — у) + (ху — х — у)Я > О. (3.114) Критическое значение ге*, при котором полученное выражение обращается в нуль и условие устойчивости нарушается, будет равно й' = " ," «х + у — 4 -~- 2 ~/(2 — х)(2 — у) ].
(3.115) Отсюда видно, что действительные значения й*, а значит, и границы устойчивости возможны лишь при (2 — х) (2 — у) ) О, т. е. одновременно должны удовлетворяться неравенства 2В> А и 2С > А. (3.116) Другая математическая возможность, выражающаяся в перемене знаков полученных неравенств, неосуществима физически, так как влечет за собой нарушение неравенств (1.10).
Требование (3.116) означает, что момент инерции относительно главной оси, вокруг которой вращается гироскоп, не должен быть слишком большим 262 3. Гироскоп. Силы и движение аР) Маятниковые движения по Гесер и Гриоли. В этих случаях, фигурирующих в таблице п. 3.3.1 под рубриками 8 и 9, допускается произвольный эллипсоид инерции, как и у рассмотренных выше вращений Штауде. Но при этом наряду с наложением ограничений на начальные условия предполагается весьма специальное положение центра тяжести. Оно может быть описано следующим образом.
Будем отправляться от эллипсоида, взаимного с эллипсоидом инерции тела (1.27) и определяемого уравнением 2 2 2 Х1 Х2 Х3 — + — + — =К А В С (3.117) Положим в дальнейшем А ) В ) С. Тогда средней осью эллипсоида окажется ось 2'. Будем теперь искать такие содержащие Рис. 3.32. Положение центра тяжести нри маятниковых колебаниях Гесса. ось 2' плоскости, линиями пересечения которых с эллипсоидом служат окружности (рис. 3.32).
Эти окружности можно также найти как линии пересечения эллипсоида (3.117) со сферой (х', + х, '+ х,') /В = К. Вычитая это уравнение из предыдущего, получаем уравнение проекции линии пересечения на плоскость 1'-3'. ,,5 Я+,,(' ')=~, х',С (А — В) — х,'А ( — С) = О. нли !аз З.З. Тяжелый гироскоп Тогда уравнение одной из двух кривых пересечения будет таково: е у с (А — л) .~., Г~А( — с) = я Это уравнение прямой в плоскости 1'-3'.
Так вот, прямая зо5, проходящая через центр тяжести, должна быть перпендикулярна плоскости кругового сечения, т. е. перпендикулярна упомянутой прямой. Таким образом, мы получаем условие ззхз = ззх1 + ззхз= О или з, )ГА( — С) — з, )ггС(А — В) =О, з,=О. (3.118) Согласно Гессу, далее требуется, чтобы вектор начального кинетического момента (Н;)о лежал в плоскости кругового сечения, т. е. чтобы (3.119) (Нз зг)о = О Можно показать, что при изложенных выше предположениях вектор кинетического момента Н; остается в упомянутой плоскости кругового сечения и в процессе всего дальнейшего движения. Таким образом, мы находим новый интеграл уравнений движения (3.
120) Нззз = Ав,з, + Свззз = 0 Это позволяет довести до конца интегрирование уравнений движения. Приведем лишь следующий результат этого интегрирования. Центр тяжести 5 движется, как сферический маятник, подвешенный в точке г'; только в случае Гесса ускорение силы тяжести й должно быть заменено на лзззй/В, Вращение гироскопа при этом таково, что некоторая точка средней осн описывает локсодромию.
Поэтому в разобранном случае говорят также о локсодромическом маятнике. Путь, которым шел Гриоли к открытому им интегрируемому случаю уравнений гироскопа, подобен пути Гесса, но за основу был принят не эллипсоид, взаимный к эллипсоиду инерции (3.117), а сам эллипсоид инерции (1.27).
Совершенно так же, как выше в случае Гесса, Гриоли накладывает на положение центра тяжести 5 следующие требования: з, )г' — С вЂ” з, )ГА — В =О, з,=О. (3.121) Следовательно, центр тяжести расположен на перпендикуляре к круговому сечению эллнпсоида инерции, восстановленном из точки г". Можно показать, что при удовлетворении приведенным в таблице и. 3.3.1 начальным условиям этот специальный гироскоп может совершать регулярную прецессию, при которой проекция вектора угловой скорости в; на ось г5, проходящую через центр тяжести, постоянна; взаз = взз1 + вззз = Й. (3.122) 164 3.
Гироскоп. Силы и движение Интересно отметить, что в данном случае ось прецессии, вообще говоря, не вертикальна. Напротив, она отклонена от вертикали на некоторый угол 6, зависящий от формы эллипсоида инерции: соз 6 = (йз~з) (А — В + С) . (3.123) Ось прецессии перпендикулярна прямой гЯ. Как показал Гуляев (23), это является единственной механически возможной прецес- сией несимметричного гироскопа общего вида. 3.4.1. Общее решение уравнений движения симметричного гироскопа с самовозбуждением. При А = В уравнения движения гироскопа с самовозбуждением при наличии возбуждающих моментов, зависящих от времени, имеют вид Ав, — (А — С) азвз — — М, (1), Ав, + (А — С) в,в, = М, (1), (3.124) Свз = Мз(1).
Из третьего уравнения (3.!24) следует, что аз = взо+ (1/С) ) Мз(1) ой Вводя новую переменную а с(п=взо1, (3.125) (3.126) 3;4. Гироскоп с самовозбуждением Следуя Граммелю [24), гироскопом с самовозбуждением мы назовем гироскоп, движение которого вызывается или поддерживается моментом М~ с известными в системе координат, связанной с телом, составляющими. Момент М; может быть постоянным и может быть функцией времени или угловой скорости. Во всяком случае, он не должен зависеть от текущего положения тела. Вследствие этого состояние движения гироскопа возможно определить только из динамических уравнений Эйлера, не прибегая параллельно к нередко трудоемкому интегрированию кинематических уравнений.
От времени может зависеть как величина, так и направление вектора момента Мо И то и другое представляет интерес, например, при регулировании положения космических кораблей, когда сервомоменты создаются при помощи поворотных сопел с регулируемой тягой. В этих рассуждениях, как обычно, пренебрегают обусловленной реактивным движителем потерей массы тела. В случае регулирования положения такой подход вполне допустим, однако он становится проблематичным при исследовании конического движения стартующих ракет.
3.4. Гироскоп с самооозбуждеиием 1ББ можно привести первые два уравнения (3.124) к линейной легко интегрируемой форме. Имеем ов ов оа Оз = — = — — = 1О'1Оз, 111 па о! где штрихом обозначена производная по переменной а. Подстав- ляя это выражение в (3.124), получаем с 1О1 — 12ОЗ2 = 1П1, (3.127) 122+ 12е1 = т2, где М1 т1 = Асо, ' 2 М 1П2 Авз ' В силу неравенств (1.10) а всегда лежит в интервале — 1 ( (а (+!. Случай шарового гироскопа (а = О) мы можем из наших рассуждений исключить, потому что для него система (3.! 24) решается элементарным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
