Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Магнус 3 Гироскоп Силы и движение На рис. 3.35 и 3.36 представлены построенные на основании этих формул траектории некоторой точки оси фигуры для различных а, соответствующие полодии рис. 3.34. Эти рисунки вновь подтверждают, что гашение колебаний тем действеннее, чем больше эллипсоид инерции отличается от сферы. Это в равной мере относится как к вытянутым, так и к сплюснутым телам. Слабый демпфирующий эффект для тел, эллипсоид инерции которых близок к сфере, Рнс.
3.33, Траектория осн фнтуры пра ганеанн нутаннонных колебаний с помощью удар- ных моментоа прн о=0,3. можно объяснить тем, что в этом случае вследствие медленного движения по полодии связанные с телом генераторы момента лишь через значительные интервалы времени оказываются в положении, благоприятном для демпфирования. Аналогично тому, как это было сделано выше при исследовании гашения нутационных колебаний, можно решить весьма важный для космонавтики вопрос о повороте оси фигуры на заданный угол. И в этом случае оптимальное решение может быть найдено на основе разумного использования нутационных колебаний, возбуждаемых ударными моментами.
3.4.4. Несимметричный гироскоп с самовозбуждением. Решение, полностью охватывающее движение несимметричного гироскопа с самовозбуждением, до сих пор найти не удалось. Но уже исследовано настолько большое число частных вопросов, что это позволяет получить хорошее представление о возможных видах его движения.
Некоторые из этих результатов мы рассмотрим ниже. а) Перманентное вращение. Прежде всего представляет интерес вопрос о возможности стационарного вращения, т. е. вращения с постоянной угловой скоростью вокруг оси, равно неподвижной 1ВЗ 3.4. Гироскоп с семововбуждеиием как в теле, так и в пространстве.
В данном случае в уравнении движения о а! — „' + енса,Нк =60 — + емьв~6ыа~ — — Мв (3.140) надо положить с('в;/с(! = О. Остается уравнение М, = е~ кв,Нс = емка Оман (3.141) ( — С) а,в = — Мп (А — С) а,в, =+ М„ (А — В) а,ав — — — Мв. (3. 142) При предположении А ) В ) С величины, заключенные в скобки, положительны. Из этого непосредственно видно, что момент, вектор которого лежит в главной плоскости, но не совпадает с главной осью, не может поддерживать стационарное вращение. Если, например, М~ — — О, то, согласно (3.142/1), какая-либо из переменных — сов или вв — должна обратиться в нуль. Но и то и другое стало бы возможным лишь при одновременном обращении в нуль какой-либо другой составляющей момента. Рассуждая аналогично, можно убедиться в том, что уравнения (3.142) не допускают решения относительно составляющих в в случае, когда все составляющие момента отрицательны, потому что при этом невозможно удовлетворить расстановке знаков в (3.142).
Ь) Вращение вокруг оси тела. В качестве следующего разберем вопрос о том, как следует формировать возбуждающий момент, если требуется вызвать или поддерживать вращение вокруг оси тела, пусть и не с постоянной угловой скоростью. Подставляя в =ве„ где ев — единичный вектор в направлении в (при этом еге",/с!! = 0), в (3.140), находим 6,. е" — „+ вее,.
ее"Вме," = М,. (3.143) Из него следует, что каждое заданное в; однозначно определяет соответствующий момент Мо Таким образом, тело можно заставить совершать стационарное вращение вокруг любой оси. При вращении вокруг главной оси М; = О, в любом другом случае момент отличен от нуля и перпендикулярен векторам Н; и ао Наоборот, относительно в; уравнение (3.141) разрешимо, вообще говоря, не всегда. Это означает, что не всякий произвольно заданный момент М1 способен поддерживать стационарное вращение. Для того чтобы это показать, рассмотрим уравнение (3.141) в проекциях 164 3. Гироскоп, Силы и движение Если сп совпадает с одной из главных осей, то с ней должен совпадать н Ми поскольку второе слагаемое в левой части (3.!43) обращается в нуль.
Умножая (3.143) скалярно на е",, получаем с этой оговоркой » >з а'ы >> » йы е 6пе — =Ме!, или 6 — =М, > / ! > >й где 6" — момент инерции относительно оси вращения. Если вектор ьз! не совпадает с главной осью, то М; составляется из двух векторов, один из которых направлен по неподвижному относительно тела вектору кинетического момента, а другой перпендикулярен к нему и тоже неподвижен относительно тела. Первый из них пропорционален йьз!Н, а второй ьзз, далее, видно, что вектор момента, призванного поддерживать заданное вращение вокруг оси тела, должен лежать в неподвижной относительно тела плоскости. В частном случае М! может даже совпадать с осью тела, а именно тогда, когда соблюдается соотношение Й =хьзз, где х — произвольный постоянный вещественный коэффициент.
Решение этого дифференциального уравнения таково: ыо ! — хыв! ' Аьз! — ( — С) ьззсвз = М~в Вьзз+ (А — С) вззсв, = О, Сьзз — (А — В) ьз!ьзз = О. (3.145) Производя замену переменной йа = ьз1с((, ьз = ьз'сд! подобно тому, как мы поступали в (3.126), придаем двум последним уравнениям следующую форму: Вью + (А — С) сьз = 0> Сьзз — (А — В) ьзз = О. (3.146) График функции ьз(() представляет собой гиперболу, с помощью которой можно описать процесс разгона (х ) 0) или торможения (х ( 0) тела.
Соответствующий момент можно найти из уравнения (3.!43). Равенство (3.144) показывает, что для того, чтобы, используя описанный прием, с помощью момента, направленного вдоль оси тела, затормозить, например, до состояния ьз =0 вращающийся вокруг своей главной оси космический корабль, потребовалось бы бесконечно большое время. с) Осуществление самовозбуждения с помощью постоянного момента, направленного вдоль главной оси. В заключение покажем, как найти точное решение в случае возбуждения постоянным моментом, направленным вдоль главной оси.
Снова положим А ) ) В ) С и примем М, = Мш, Мз = Мз —— О. Тогда уравнения Эйлера примут вид ЗА. Гироскоп с сзмовозбуждеиием Общее решение этой системы для начальных условий вз —— асв аз = аза: / (А — С) С а,= вззсоз ча — 1кт (А ) в„з!п та, / (А — В)В аз =взосоз та+ $/ (А С) С вззз!П™, (А — В) (А — С) ВС (3.147) Подставив эти величины в (3.14571), получим в1 А + А вз (а) вз (а) р(а) Умножив последнее на в~ = йа(й(, найдем (а~) оа а,а, = — 1 — ~=с (а) —, ~И~2/ М или после интегрирования в,= — = в'+2) г(а)йа с(а / (3.148) Повторное интегрирование дает 1=(,+ ~ "" =!(а).
у/ вз1о+ 2 ~ с" (а) Иа Подставив в (3.148) и (3.147) обратную функцию а = а(!), мы придем к искомому решению аз((). В отношении различных подслучаев, которые необходимо рассмотреть при анализе этого решения, мы ограничимся ссылкой на обстоятельное исследование Граммеля [24!. (3. 149) 3.4.5. Самовозбуждение, зависящее от угловой скорости. Наряду с уже рассмотренным самовозбуждением постоянными или зависящими от времени моментами в практических приложениях встречается самовозбуждение моментами, зависящими от угловой скорости. Происхождение таких моментов связано с причинами двоякого рода: с одной стороны, они возникают как моменты сил сопротивления у гироскопов, находящихся в жидкой или газообразной среде, с другой стороны, сервомомент у гироскопов с регулируемым числом оборотов является функцией рассогласования между заданной и фактической угловыми скоростями.
Рассмотрим по одному примеру каждого из этих случаев. а) Симметричный гироскоп в вязкой среде. Полагая А = В и принимая, что момент сопротивления зависит только от проекции вектора угловой скорости на данную ось, а удельные моменты с 3 Гироскоп. Силы и движение сопротивления относительно двух равноправных экваториальных осей одинаковы, приходим к следующей форме уравнений дви- жения: Ае1 — (А — С) а,а, = М, — с,а„ Ааг+ (А — С) еза~ ™г сФг Сез = Мз — сзсоз. (3.150) а два первых уравнения объединяем в одно комплексное Ла' + 1(Л вЂ” С) е,е' = М' — с,е', где е' = е, + 1ег и М' = М, + зМ„или е" + р(1) а'= пг'(1), где р (з) = л + ' л а, (~), пг' (з) = л М* (1). (3.152) Общим решением уравнения (3.152) будет с Г' *р[ — [р(ок][ик-1 'о) р[[ыыю]ш [.
(глзз) о о о Разложив его на действительную и мнимую части и присоединив (3.!51), получим все три составляющие еь В отношении анализа различных возможных здесь случаев укажем на более подробные результаты, полученные Лейманисом [7, гл. 10.5]. б) Вращение несимметричного гироскопа вокруг главной оси, Влияние зависящего от угловой скорости движущего момента на поведение несимметричного гироскопа было учтено Граммелем [26], исходившим из формулы М с (ег ег) (3.154) Здесь ао — заданная величина, к которой должна приближаться еь Знак момента всегда таков, что последний стремится уменьшить разность аз — ео Если считать, что моменты относительно осей 2 и 3 равны нулю, то уравнения движения принимают вид Ае, — ( — С) е,а, = с(а,' — е',), Ве, + (А — С) е,е, = О, Сев — (А — В) а, е, = О. (3.155) Из третьего уравнения сразу находим ез (ого ехр ( — (сз(С) 1) + (1/С) [ Мз (т) ехр [ — (с /С) (1 — т)] с т, (3.
15 1) о 3.4. Гироскоп с сзмозозоуждеиием !ат Эту систему можно решать аналогично тому, как мы зто делали в случае возбуждения постоянным моментом (3.145). Произведя замену переменной [(а = в[И, мы можем привести два последних уравнения (3.155) к виду (3.146), решением которого является (3.147). Подставив затем значения вз и вз в первое уравнение (3.155), получим Ав, + св',=сво+( — С)гоз(а) вз(а). Приняв во внимание„ что [Гв[ На [[в[ [) /в[ з / зз в[= — — = в,— = — ~ — ), оо о[ оо 4а ~ 2,)' мы можем преобразовать полученное уравнение в линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно в',: А — (в )+ 2св',= 2свз+ 2( — С) в (а) вз(а). (3.156) Его решением будет вз = ехр 1 — (2с/А) а) Х а к(м4.1[2 и)-)[ — е),о),[з)[ *р[[2 )А)з)кз(. [3 )3)) о (3.158) Первое из приведенных решений соответствует конечному состоянию, которое является целью регулирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
