Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3.38 для з ) 0 (сплошная линия) и для е(0 (штриховая линия). Имеются по крайней мере две резонансные точки: в = вы и в = +-вр. Отрицательные значения вр указывают на вращение поля против направления вращения гироскопа. Член в (3.!83), представляющий вынужденные колебания, всегда имеет то же направление вращения, что и возбуждающее поле.
В резонансных точках знак изменяется на обратный, т. е, происходит изменение фазы на угол и. Комплексная величина х может рассматриваться как мера перемещения некоторой точки оси симметрии (вершины гироскопа). Однако она опережает это отклонение на 90', так как поворот на угол сг соответствует смещению вершины гироскопа в направлении отрицательной оси 2, а поворот на угол 8 — смещению в направлении положительной оси 1. Поэтому, исходя из (3.183), можно легко построить траектории вершины гироскопа при возможном движении; они являются эпициклоидами, составленными из трех отдельных круговых перемещений. Интересно отметить, что при возбуждении с одной из резонансных частот (вга или вр) амплитуда не обязательно должна сильно возрастать, как того можно было бы ожидать, исходя нз рнс.
3.38. 175 3.5. Гироскоп с вынужденным возбуждением Рис. 3.33 Резонансные кривые дли гироскопов с верхним !и > О! и нижним !в <О! расположе. пнем центра твжести. 3>0 Озаг = 4отр 3<0 Огув -4егр Рис. 3.33, траектории вершины гироскопа при возбуждении с нутационнай вастотой ыдг амр дли верхнего (в > О! н нижнего !и < О! Расположении центра тяжести. Пусть, например, Оз = согт, к(0) = кб и к(0) = О. Тогда из (3.183) выводим для определения постоянных интегрирования следующие уравнения: 11+ йе=хо-й, ЫИ(, + ЫР~2 — — — ЫМВг 0 1! 1! 1! ! Озл I ! I !1 !1 !1 гтв 3. Гироскоп.
Силы и движение решением которых будет ан ан ар Подставляя найденные величины в (3.183), получаем х = (ане и — аре н ). (3.185) ан Но из этой формулы видно, что если нанести точки х на комплексную плоскость, то при ан Ф ар получится лежащая в конечной области эпициклоида, представленная на рис. 3.39 для ан — — 4а (гироскоп с верхним расположением центра тяжести) и для ан= = — 4ар (гироскоп с нижним расположением центра тяжести). Укажем еще, что при наличии диссипативных сил могут появиться качественно другие виды движения, например рассмотренные Вибелицем [28]. Ь) Периодическое возбуждение вдоль оси 1.
В этом случае Ь" = Ьо соз а1 = Ь" (е'"" + е 'а')/2, где Ьо — действительная величина, и при таком виде возбуждения мы получим решение уравнения движения (3.!80) как результат наложения (суперпозицин): х=й,е н + й,е "и + )с'+'е" + )с' 'е ' ', (3.186) где 1+~ . паз' 2 (Аа' — Са оса + лоео) < ~ьо 2(Асо'+ Ссоэоа+ поев) Графики этих функций от а представлены на рис 340 для гироскопов с верхним и нижним расположением центра тяжести. Достаточно рассмотреть только положительные значения а Общее решение мы получаем в виде наложения четырех круговых движений в комплексной плоскости. Мы ограничимся лишь качественным исследованием составляющих вычужденного движения. Общая сводка его результатов приведена на рис.
3.41. В зависимости от интервала частот получаются траектории вершины гироскопа разного вида. Для очень малых а )с+) ж )сс-Ь В силу )~~+~ им+1 <-~ -гес ~У+~+ сс->~ 1+ .~)~~+~ это приводит к изменениям только угла а. При этом направление движения совпадает с направлением статического отклонения. 177 3.5. Гироскоп с вынужденным возбуждением Рнс.
3.40. Резонансные кривые прз возбуждении по поперечной оси. Рис. ЗА!. Качественная «артина фарм колебаний в различнык интервалах частот при воз- буждении по поперечной оси. С возрастанием оз мы приходим к У+1) й<-! для з ) 0 и <с<+! ( ( <с<-< для з ( О. Исходная прямая превращается в эллипс, направление движения по которому определяется составляющей бопьшей амплитуды. При оз- о<Р начинает преобладать резонансная.составляющая, которую дает рис. 3.40. В этом случае траекторией вершины гироскопа служит окружность большого радиуса. За первой резонансной точкой в интервале озР ( йз ( йзм знаки функпий тзн+! и <с<-! различны. Это означает скачок фазы одной из составля!ощих н, следовательно, поворот большой оси эллипса, изображающего колебание, на 90'. В случае з (0 при <3.187) йз'; = <пуз,<А 178 3.
Гироскоп. Силы в движение обе амплитуды равны и имеют противоположные знаки (Р< 1= = — Р(+1). Это соответствует колебанию только по углу 8. Если предельное значение (3.187), которое получается при нормальной частоте колебаний невращающегося гироскопа с нижним расположением центра тяжести, будет превзойдено, то траектории вновь окажутся эллипсами, которые при со-е-сон будут приближаться к окружностям. За второй резонансной точкой большая ось эллиптической траектории опять меняется скачком на 90', и, наконец, при св - оо траектория снова стягивается к прямой, ориентированной в направлении а (х = и + Ф).
Траектории, определяемые решением (3.186), нетрудно рассчитать и построить для любых начальных условий. Кроме того, функции возбуждения более общего вида, например эллиптически модулированные или негармонические, можно учесть совершенно таким же образом, как это было проделано для возбуждений циклического и линейного характера. Глава 4 Гиростат и гироскоп в кардаиовом подвесе 4.1. 1'ироетат Следуя Кельвину, будем называть гиростатом твердое тело, на котором или внутри которого расположен симметричный ротор. Ротор может вращаться вокруг оси, жестко связанной с несущим телом, т.
е. обладает по отношению к нему одной степенью свободы. Предполагается также, что ротор симметричен относительно оси вращения, так что распределение масс всей системы, т. е. гиростата, не меняется при вращении ротора. Следовательно, моменты инерции всей системы будут постоянными, и ее движение можно описать таким же методом, как и движение одного твердого тела.
4.1.1. Уравнения движения гнростата. Пусть Н~ и Н~— к а кинетические моменты несущего тела (оболочки) и ротора; тогда для суммарного кинетического момента Н;=Н; +Н~ на оснок а ванин теоремы об изменении кинетического момента имеем — (Н7~ + Н~~) = (Нс~ + Н) + епьа~ (Ни + Ни ~= Мо (4.1) В такой же форме записываются и уравнения Эйлера, отнесенные к системе координат, неизменно связанной с несущим телом и, следовательно, вращающейся с той же угловой скоростью вк= е,. От общего уравнения (4.1) нетрудно перейти к уравнениям в координатной форме, описывающим движение прн заданных конкретных условиях. Наиболее простым является случай, когда ось вращения ротора является одновременно главной осью инерции несущего тела. Мы выберем ее за ось 3', тогда для координат вектора угловой скорости вм в системе, образованной главными осями инерции несущего тела, имеем гз — гак — гак гз — мк <>к гз ык ~ а 1' 2 2 2' 3 3 3' Учитывая равенство А" = В" и полагая А Ак+ Ал В Вк+ Вл — Вк+Ал (4 2) гав 4.
Гиростат и гироскоп и кзрдзиоиои подиесе получаем из (4А) скалярные уравнения Айг — ( — С») е в + С»айвз = М„ Вй, — (С" — А) еза, — Следе, = М„ С"йз — (А — В) в,в, + С»ай = М . Здесь, кроме компонент вь ае аз, имеется еще одна неизвестная компонента вй, для определения которой следует к уравнениям (4.3) присоединить уравнение моментов относительно оси симметрии ротора: С аз =Ми, (4.4) где Мз — момент сил, действующих на ротор, Рассмотрим слей дующие частные случаи. а) Моменты, тормозящие или разгоняющие ротор, в том числе трение на оси ротора, отсутствуют; тогда ай=ей = сопз1.
з зо Ь) Угловая скорость ротора относительно несущего тела поддерживается постоянной с помощью некоторого регулятора; тогда вз аз+ его~ (4.6) где относительная угловая скорость вз, постоянна. с) Имеет место равенство ай=в,+в~(~), где а~(1) — заданная функция времени. В случае а) уравнения (4.3) с учетом (4.5) можно представить как уравнения движения некоего заменяющего гироскопа с главными моментами инерции А, В, С» при наличии самовозбуждения, зависящего от угловой скорости: Ав, — ( — С») вгвз = М, — Нйаги Вв, — (С» — А) в,а, = Мз + Н "а„ (4.7) С вз (4 — В) вгвг = Мз1 вдесь Н = С азо — постоянная проекция кинетического момента й й й ротора на ось 3'.
Аналогичную систему уравнений с заменой С» на С = С»+ + С" и Н" на Н =С азо будем иметь и в случае Ь). Поэтому з й з достаточно исследовать только один из этих случаев: результаты с соответствующими изменениями немедленно переносятся на другой случай. В случае с) появляются изменяющийся во времени кинетический момент Нз(г) и в уравнении (4.3/3) добавочный возмущающий член Слез (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
