Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При этом траектории вершины гироскопа (представленные на рис. 4.5) не проходят через полюс. Фазовым траекториям, лежащим между сепаратрисами 3 и 6, соответствует такой тип движения гироскопа, при котором его вершина проходит через нижний полюс 196 4. Гиростат и гироскоп в кардаиовом подвеси и не проходит через верхний (рис. 4.4Ь). Экспериментально найденная траектория на рис.
4.4б( показывает влияние неучтенного в теории трения: проходившая сначала через полюс вершина гироскопа вследствие диссипации энергии уже не может преодолеть Рнс. 4.б. График потенцнальиоа функции Г 69 и фааоные траекторки для тяжелого сим- метричного гироскопа н карданоаам нодаесе. потенциальный барьер при (у = 90' и остается в потенциальной яме — вблизи точки 1.
При достаточно больших значениях постоянной энергии Е, (фазовая траектория 7) внутренняя рамка вращается, так что вершина гироскопа проходит через оба полюса. Это движение тоже является периодическим. Сепаратрисам 3 и 6 соответствуют асимптотические движения. Действительно, если в непосредственной окрестности неустойчивых 4.3. Тяжелый симметричный гироскоп а карданоаом подиесе 197 положений равновесия р = -Е90' уравнение сепаратрисы заменить приближенно уравнением касательной [а = — с (Р -4- и!2), то, решив это дифференциальное уравнение, получим [о= +- 74/2+ [р(0) т- н/2[в-".
Следовательно, вершина гироскопа может лишь асимптотически приближаться к неустойчивому полюсу, подобно плоскому маятнику, приближающемуся к верхнему положению равновесия. Из фазового портрета на рис. 4.б можно найти движение гироскопа только по углу р. Однако, используя (4.38), нетрудно построить график зависимости а(р), позволяющий определить и азимутальное движение гироскопа. Формула (4.38) не содержит постоЯнной энеРгии Ем поэтомУ данной потенЦиальной кРивоа" 7([3) соответствует только одна кривая а(р).
Если варьировать постоянные интегрирования сое и Н,, определяемые равенствами (4.35) и (4.36), то получатся различные виды графиков функции Т(р) и соответственно различные фазовые портреты. На рис. 4.7 показан характер изменения графика функции 7([3) при варьировании Но. Исходя из этих данных, нетрудно 7'(В) -7'М/л) Рис, 4.7. Графики потенциальной функции для тяжелого симметричного гироскопа е кар- даиоеом падаесе при раяличнмк аиаченияя начального кинетического момента и .
дать обзор всех возможных форм движения, однако такой подробный анализ мы здесь проводить не будем. Следует только указать на то, что каждой точке максимума функции ((р) соответствует неустойчивое положение равновесия, а каждой точке минимума — устойчивое положение равновесия. В фазовой плоскости положения равновесия обоих типов изображаются точками на оси р. Однако если устойчивое положение равновесия окружается соседними фазовыми траекториями (поэтому 198 4. Гиростат и гироскоп в кардаковом подвесе его называют центром), то вблизи неустойчивого положения равновесия фазовые траектории похожи на гиперболы, центр симметрии которых совпадает с неустойчивым положением равновесия (поэтому его называют седлом).
Сепаратрисы, проходящие через седло, будут асимптотами фазовых траекторий. Через каждую точку фазовой плоскости, за исключением положений равновесия, являющихся особыми точками, проходит одна-единственная фазовая траектория. Следовательно, любым заданным начальным условиям соответствует однозначно определенное движение гироскопа в кардановом подвесе. 4.3.3. Частные решения. Исходное уравнение для угла (з, которое мы еще не рассматривали, допускает, как легко показать, два частных решения, представляющих особый интерес. Используя (4.33) и (4.34), запишем уравнение Лагранжа второго родя Н дТ дТ дУ вЂ” О дй в развернутом виде: Вй+ (АЯ+ А~ — С~) 81п псовка' — Сегоо сов па + бв совр = О.
(4.45) Это уравнение имеет частное решение (о = (зо, если [ав (АЯ + Аз — Сл) в!и йо — аСЯгоо+ Св] сов ро — — О. (4.46) Данное условие выполняется в двух случаях: (4. 47) а) сов по — — О; ро — — ч- и/2; Ь) а=а, а=а, с ак ), т ) лов(А +А — с )к1пйо (448) 2(АЯ+ А — С ) Мпйп 'Ь ~' (СЯ) а Таким образом, при движении гироскопа в кардановом подвесе возможны такие стационарные режимы, когда ось ротора занимает вертикальное положение (случай а) ) или образует произвольный, но постоянный угол 8о с горизонтальной плоскостью (случай Ь)), В последнем случае азимутальные движения гироскопа должны происходить с угловыми скоростями а, или ам которые определяются из (4.48).
Такое движение называется регулярной прецессией, причем угловой скорости а1 соответствует, как и для гироскопа Лагранжа, быстрая прецессия (лучше сказать нутация), а угловой скорости ак — медленная прецессии. Зависимость этих угловых скоростей от ро показана на рис. 4.8. Если ось ротора нахо- 4.3. Тяжелый симметричный гироскоп е кардановом подеесе 199 дится в горизонтальной плоскости (3о= О), то может осуществляться только медленная прецессия с угловой скоростью Оа а= С м Как и в случае гироскопа Лагранжа, нутация и прецессия гироскопа в кардановом подвесе для стоячего гироскопа имеют одинаковые направления, а для висячего гироскопа — противоположные.
Рис. 4.8. Зависимость угловых скоростей прецессии н нутацни тяжелого симметричного гиро. скопа в каРдановом паДвесе от Угла наклона йг оси Ротора. При обычной конструкции гироскопа в кардановом подвесе выполняется условие Су ( А" + Ау, поэтому подкоренное выражение в формуле (4.48) будет заведомо положительным, если з З4п ро ( О.
Данное неравенство означает, что центр тяжести находится ниже точки подвеса (висячий гироскоп). Для стоячего гироскопа действительные значения аг й возможны лишь при достаточно быстро вращающемся роторе. При медленно вращающемся роторе существует, правда, частное решение (447), однако оно, как будет показано в п.
4.3.4, для стоячего гироскопа неустойчиво. 4.3.4. Устойчивость вертикального положения оси гироскопа в кардановом подвесе. Частное решение (4.47) допускает произвольные, 4. Гнростат и гироскоп в кардаиовом подвесе но постоянные угловые скорости вращения ротора и внешней рамки, так как при соз 5 = 0 из (4.35) н (4.38) следует, что сс = сев и ф = ув. Но устойчивым будет не любое из этих возможных движений. Это нетрудно показать, если рассмотреть возмущенное движение, для которого значения угла 5 близки к 8 = и/2. Сделаем в уравнении (4.45) замену р = п/2+ 6, где угол Эйлера 6 считаем малой величиной: )кт! « 1, так что з1п 8 яз 1, сов(1 ж — 6; в результате получим ВО+ [ — а'(Ал+ Ал — Сл) + аСлато — 0з)6= ВЬ+ г(а)6=0. (4 49) Выражение в квадратных скобках, которое мы обозначили через г(а), можно считать коэффициентом восстанавливающей силы.
Любое решение О(1) будет устойчивым тогда и только тогда, когда Рис. а.а. График новффициента г рп восстанавливающеа силы ири мвлык атклонеиивк от вертикали оси гнросноиа в карлаиовом иолвесе. коэффициент г(а) положителен. На рис. 4.9 представлен график зависимости г(а). Условие г(а) ) 0 выполняется лишь в интервале (4.50) аа<а<аь Таким образом, устойчивость вертикального положения оси гироскопа в кардановом подвесе имеет место только тогда, когда величина угловой скорости внешней рамки лежит в определенном интервале. Для висячего гироскопа (з ( 0) имеем а, < 0 < а„ а для стоячего (з ~ 0) О < а, < ам Отсюда, в частности, следует, что стоячий гироскоп с неподвижной внешней рамкой и сколь угодно быстро вращающимся ротором неустойчив.
Он будет устойчив, если внешняя рамка вращается в ту же сторону, что и ротор, с угловой скоростью сс, удовлетворяющей условию (4.50). Висячий гироскоп будет, напротив, устойчив прн а = 0 и даже при не слишком быстром вращении внешней рамки в направлении, противоположном направлению вращения 4.3. Тягкелый симметричный гироскоп в кврдвновом подвесе 201 ротора. Граничные значения для а являются в силу (4.49) корнями квадратного уравнения г(а) = 0; их можно найти и из (4.48) при 5в = и/2 и з ) О. Эти корни будут действительными, если Слито ~ ))/46з (АЯ + А' — Сг). (4.51) При Аг = Ст = 0 это неравенство переходит в условие (3.70) устойчивости гироскопа Лагранжа, поэтому его можно рассматривать как обобщение (3.70).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
