Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Но в случае гироскопа в кардановом подвесе к (4.5!) следует присоединить в качестве необходимого условия устойчивости двойное неравенство (4.50). Указанные условия устойчивости были получены методом малых колебаний из линеаризованного уравнения движения (4.49) и являются необходимыми условиями. Покажем, что в данном случае они оказываются и достаточными условиями устойчивости.
Для этого мы будем исследовать устойчивость прямым методом Ляпунова (см., например, книгу Четаева [321). Мы рассматриваем частное решение 5=5о — — и/2, у=ум й=ае Возмущенному решению соответствуют отклонения хг, х„хв, так что 5 = и/2 + хы у = уо + х,, а = ао + хв. (4.52) Относительно величин хь хв, х, уже нет необходимости предполагать, что они малы. Целесообразно ввести еще одну зависимую от предыдущих величину Х4!сов хг!згпг~)0 (4.53) Далее мы должны, следуя Четаеву, построить по трем известным первым интегралам уравнений движения функцию Ляпунова, разложение которой по степеням отклонений должно начинаться с квадратичных членов, образующих знакоопределенную форму. Первый интеграл (4.35) в силу (4.52) и (4.53) приводится к виду хв + хв — аох4 — хвх4 в— — К„ (4.54) где К, — новая постоянная.
Аналогично интеграл кинетического момента (4.36) и интеграл энергии (4.37) запишем, используя новые постоянные К, и К, и обозначения А" +Сз=Р, АЯ+А4 — Сг=Я, (4.55) следующим образом: х,Р + хв4(2ао!еч — Сагоо) + хвх 2Я вЂ” хаас!4! — Хвх4% = К,„(4.56) к,2а,Р+ х',В+ х',Р+ х42(аЯ вЂ” Сз)+ хвх44ав4!— — х1аЯ вЂ” хвх42аоО + хвх4~2Я вЂ” хввх444м' = Кт. (4.57) воз 4. Гиростат и гироскоп в кардаиовои подвесе Функцию Ляпунова и' возьмем в виде 1' = Ка + АгК~ + АаКа; (4.58) значения постоянных множителей Хг и Ха будут выбраны позднее. Полная производная по времени от этой функции обращается тождественно в нуль: с(Р/с(г = О, так как )г является линейной комбинацией постоянных.
На основании теоремы Ляпунова для устойчивости рассматриваемого решения достаточно, чтобы при надлежаще подобранных коэффициентах Хг и Ха разложение функции )г по степеням аргументов х; начиналось со знакоопределенной квадратичной формы. Используя (4.54), (4.56) и (4.57), нетрудно установить, что линейная часть функции (4.58) имеет вид хЯ(Ха+ 2ао) и для ее исключения следует выбрать Хт = — 2ао; тогда функция Ляпунова запишется следующим образом: 1' = х~В + (х, + х,)аЛ, + х,'Р+ х42(аоСЯот — сга — ааг,) + + ( — (х + х,) ха2Х,а — х хаха2Хг+ хах42(Я вЂ” Хг) + + х~а~(Я + Х ) + хаах4(Х Я)) (4 59) Члены, заключенные в фигурные скобки, имеют порядок малости выше второго и не влияют на дальнейшее исследование. Квадратичная форма, образованная первыми четырьмя слагаемыми, будет определенно-положительной, если р,)о аоСЯото 0а — аЯ ) )О, (4.60) ибо коэффициенты В и Р заведомо положительны.
Первому требованию можно удовлетворить всегда, взяв в качестве Хг любое положительное число. Следовательно, в качестве единственного, но теперь уже достаточного условия устойчивости остается неравенство (4.60), которое совпадает с полученным ранее условием положительности коэффициента восстанавливающей силы г(а) в формуле (4.49). Тем самым показано, что найденные выше условия (4.50) и (4.51) устойчивости рассматриваемого движения относительно переменных 8, 6, а и у являются необходимыми и достаточными.
4.4. Уход астатического симметричного гироскопа в кардановом подвесе Гироскоп в кардановом подвесе будет астатическим, если распределение масс ротора и внутренней рамки таково, что их общий центр масс совпадает с точкой подвеса (точкой пересечения осей карданова подвеса); ось такого гироскопа может сохранять любое направление в пространстве. Однако в отличие от одного твердого 203 4.4. Уход астатическога симметричного гироскопа тела, например опирающегося на острие в центре тяжести, астатический гироскоп в кардановом подвесе нельзя считать свободным от действия внешних сил, так как на систему могут передаваться через подшипники внешней рамки возникающие в них реактивные моменты, векторы которых перпендикулярны оси внешней рамки.
Возможно, что при колебаниях оси ротора моменты могут привести к изменению ее среднего направления, т. е. к уходу (дрейфу) гироскопа. Этот эффект играет особую роль при практических приложениях гироскопа в кардановом подвесе, поэтому рассмотрим его подробнее на одном примере и укажем способ приближенного аналитического исследования. Если в результатах, полученных в предыдущих параграфах, положить э = О, то они будут относиться к астатическому гироскопу в кардановом подвесе.
Особенно нас интересуют точные решения, которые могут быть найдены путем численного интегрирования Рис аас. Траектариа вершины астатического гироскопа, опирашшегосн на острие ~слева~ я в кардаиовом подвесе (справар уравнения (4.41). Два из них показаны на рис. 4.10. Слева изображена траектория вершины астатического гироскопа без карданова подвеса (гироскопа, опирающегося на острие), соответствующая его нутационным колебаниям '). В этом случае ось гироскопа движется по поверхности прямого кругового конуса, поэтому на единичной сфере с центром в начале координат траектория представляет собой окружность — кривую пересечения конуса нутации со сферой. Справа показана траектория вершины гироскопа в кардановом подвесе при тех же самых начальных условиях.
Кроме Ч длв астатического симметричного гироскопа аеа нардаиова подвеса решение уравнении движения выражаетсн череа елемютарные фунггцив. = Прим ред. 4. Гироствт и гироскоп в кврдвиовом подвесе 6 [А созе р+ (Ад+ Сх) з!ив[1[ — ар(Ал+ Ад — Сх) з(п26+ + 6Слгво соз [! = О, (4.61) 6В+ а'(АЯ+ Ах — Сх) з!пйсоз6 — аСлет,сов 6=0. Первое уравнение мы получили дифференцированием по времени равенства (4.36), второе следует из (4.46) при з = О. Уравнения (4.61) имеют частное решение а = О, 6 = йо, означающее, что ось вращающегося гироскопа может принимать и сохранять произвольное фиксированное в пространстве направление. Для близких движений положим 6=5е+х, х=б, (4.62) где отклонение х считается достаточно малым, чтобы можно было пренебречь его квадратом и считать з!п [! ж з[п йо+х соз бо, соз 6 — соз [3о — х з[п ро.
Тогда уравнения (4.61) переходят в систему уравнений аА'+ ~Слете соз йо — — Рв, Р — аСлото соз 6ю = Ра. (4.63) Здесь введены обозначения Ро = ай (Ал + Ад — Сд) з!п 26е + х [а (Ал + Ад — Сд) з!и 26в + + ай (Ал + Ад — Сх) 2 соз 26в + [3СЯето соз йо), Рв = — а (Ал + А — Сд) з!п 6в соз йо— — х [а' (Ал + А' — Сд) соз 26в + аСлетв з!п !)в[, Ао = А созе [1 + (Ад + Сд) з(п' [1о. Правые части Р и ттв представляют совокупность оставленных в уравнениях нелинейных членов. Уравнения будем решать методом итераций, причем на первом итерационном шаге полагаем тс'„= Рв = О. Полученная система линейных однородных уравнений имеет решение а = ад соз ал1, (4.64) р = [1в + рд з щ отл! = рв + ад ~'А'/В з щ отлй деформации траектории, здесь наблюдается смещение среднего положения оси ротора вдоль одной из параллелей.
Сама траектория лежит между двумя граничными параллелями. Для применяемых на практике быстровращающихся гироскопов амплитуда нутационных колебаний мала, и мы воспользуемся этим обстоятельством в процессе приближенного решения уравнений движения, имеющих вид 4А. Уход астатического симметричного гироскопа 20о (4.65) Через сед обозначена амплитуда нутационных колебаний по углу сс, частота которых мгч определяется формулой Саег, соа Ре 'и' АаВ Траекторией вершины гироскопа на картинной плоскости, соответ- ствующей решению (4.64), будет эллипс, параметры которого за- висят от моментов инерции и от угла йо.
Чтобы сделать второй итерационный шаг, следует подставить найденное в первом приближении решение (4.64) в уравнения (4.63); получится система линейных неоднородных уравнений, пра- вые части которых содержат периодические слагаемые с частотами мю 2огм, Зоги и постоянные слагаемые, возникающие при перемно- жении тригонометрических функций. Мы будем искать только среднюю скорость ухода. Исключая из рассмотрения налагаю- щиеся на уход колебания, осредним полученные уравнения за ма- лый период нутации Тгг — — 2п/гогг. Средние значения правых частей будут равны ггг г„= —,' 1 Л.а=О, "о г„ ~Ьр= т' "о = — адат з!ибо~С"ате ~г и — (Ад+Ах — Сг)от созй], а средние значения производных от углов и и 5 определяются, как следует из (4.63), равенствами оа ° Ла а= — а а С еге сое Ре С его соа Ре Используя (4.65) и (4.66), окончательно находим длС ото е1п Ра(А" + С ) (4.67) Таким образом, осредненное движение оси гироскопа совершается по поверхности прямого кругового конуса, ось которого совпадает с осью внешней рамки, со средней угловой скоростью а, пропор- циональной квадрату амплитуды нутационных колебаний ад и соб- ственному кинетическому моменту Свгоо, кроме того, средняя ско- рость ухода зависит от среднего угла поворота ра внутренней рамки и моментов инерции.
При йе = О ухода гироскопа не проис- ходит. Средний угол поворота ро внутренней рамки остается по- стоянным, так как р = О. 4. Гиростат и гироскоп и кардаиоиоы подиесе .огс ГУ1б ' 1 О Ар,гзта лг'0 Фб Рнс. 4.11. К качественному объяснению явления ухода астатнческого гироскопа а карданоаом подеесе под влиянием нутацнонных колебаний. Рис. 4,12 Заеисимость момента инерции А всей систЕмы относительно оси внешней рамки от угла рт наклона гироскопа. Другое наглядное объяснение того же явления можно дать с помощью закона сохранения энергии. В первом приближении вершина гироскопа движется по замкнутой кривой между двумя граничными параллелями (рис.
4.11). В положениях 1 и 2 имеем () = = О, поэтому в этих точках энергия всей системы Т = '/яАеай+ 1/яСагет. о' (4.68) Второе слагаемое здесь постоянно, значит, первое слагаемое в положениях 1 и 2 должно иметь одинаковые значения. График, показывающий зависимость (4.63/3) момента инерции А' всей системы относительно вертикальной оси от угла 6е, построен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
