Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Под- ставив (5.6) в (5.4), выразим кинетическую энергию Т в виде двой- ной суммы Т = '/еаачд1е)ч, коэффициенты которой Г дх дх аа = ) — — йие дде дд (5.7) будем называть обобщенными массами. Квадратичная форма (5,7) от обобщенных скоростей должна быть, очевидно, определенно-положительной. Обобщенные массы удовлетворяют условию симметричности а1 = а ы поэтому составленная из них квадратная матрица (матрица масс) будет тоже симметричной. В качестве обобщенной массы аеи может выступать момент инерции, если соответствующие ей обобщенные координаты е/а и ди являются углами. Наконец, обобщенные массы в силу их определения могут зависеть только от нециклических координат с/„, для которых не выполняется (5.2), и не зависят от обобщенных скоростей уы 5.1.
уравнения движения в форме дегрвнжв 219 В соответствии с данным выше разделением обобщенных координат на нециклические и циклические разобьем матрицу масс на четыре подматрицы: а4ч = Тогда выражение (5.7) для кинетической энергии можно записать следующим образом: = 7еаарчача + ааийаЧи + ~е~иьуичх.
Для циклических координат да, учитывая (5.3), имеем дТ вЂ” =ааада+авхдк=ри (1е=т+1, ..., а). (5.9) Чв (5.8) Продифференцируем это равенство по у„и д„, учитывая, что в силу (5,10) циклические скорости являются функциями от нециклических координат и скоростей: дх= фк(чь ., Ча, дь . ° ° д, ); в результате получим дТ* дТ , дТ дд„ дТ дфв т + ри— дуа дча дди дЧа дда " дда дТ" дТ дТ дд„дТ дфв —.— — + —..
— +Ри дфа дда ддн дда дда и дйа Введем так называемую функцию Рауса )е=Т' — р д„=)7(дь ..., д, до ..., е), р и„..., р,), (5.12) Матрица а и является неособой, так как третья группа слагаемых в правой части равенства (5.8) представляет собой определенно- положительную квадратичную форму. Действительно, рассмотрим такие движения, для которых все нециклические координаты равны нулю; тогда кинетическая энергия будет квадратичной формой производных от циклических координат и по-прежнему должна быть определенно-положительной. Следовательно, указанные производные дх (циклические обобщенные скорости) можно однозначно найти из системы уравнений (5.9); д = а„-'(р„— а, д„) (Л=т+1, ..., п).
Здесь через а„' обозначена матрица, обратная к а„ь С помощью (5.10) циклические скорости можно исключить нз выражения (5.8) для кинетической энергии Т, после чего Т будет некоторой функцией от д„, е)„и р„, которую мы обозначим через Т*. Таким образом, Т" (ць..., а, )и ..., д, р „, ..., р ) = = Т(у„..., д., до ..., д.). (5.11) 6. Гироскопические системы 220 для которой с учетом предыдущих равенств имеем дд дТ" ддн дТ Р дно дг)н дни дни дй дТ' дйн дТ вЂ” Р ддо дело дйс дно Итак, первые и) уравнений исходной системы (5.1) можно записать в виде уравнений (а= 1, ..., пг), (5.13) левые части которых не содержат циклических координат и их производных.
Совместно с и — и) уравнениями (5.9) или (5.!О) они образуют систему а уравнений для и обобщенных координат г)я. Циклические координаты не входят явно в уравнения (5.13), и поэтому их иногда называют скрытыми координатами '). Следует заметить, что исключение всех циклических координат не является необходимым: некоторые из координат дм могут быть тоже циклическими.
Обычно из обобщенных координат выделяют те циклические координаты дн, которые следует исключить как не представляющие интереса; среди остальных координат, существенных для описания состояния системы, могут быть и циклические. Примером координат первого типа являются углы поворота роторов гироскопов. для которых на основании свойств операции умножения матриц имеем следующие выражения: Угу= 'т'г (а,а — а А'аона „)П„Г)а, Р,=а а„,р о),, уго= 'тга„АР„РА (5.
15) ') Разумеется, иря условии, что С) не зависят от циклическях координат. Это условие о часто включают в само ояределеиие циклических координат (см., иаорнмер, Лурье А. И., Аналитическая меканика, Фнзматгиз, 1Яб!). — Прим рзк 5.1.2.
Уравнения Кельвина — Тэта. Уравнения движения (5.13) можно привести к более удобной форме, для чего используем некоторые свойства функции Рауса )т. После подстановки (5.8) и (5.10) в (5.!2) получим Р= ')гаоаг)оЧа+ а ~г)„анн !Рм аамЧа)+ Если раскрыть скобки, то окажется, что по отношению к нециклическим скоростям функция й состоит из квадратичной формы,линейной формы и постоянного слагаемого: к = )сг+ гс) — усоз 61. Уравяовия движения в форме Лагранжа 221 Уравнения (5.13) теперь принимают вид Два средних слагаемых в правой части мы можем объединить: д д (5.17) где коа — — д (а;„'а„ара) — д (а;„'а„орв) = — йа„. (5.18) д д Вечичины 6„назовем обобщенными гироскопическими силами, Как следует из (5.17), они линейно зависят от обобщенных скоростей, соответствующих неисключенным обобщенным координатам.
Гироскопические коэффициенты д„а образуют кососимметричную матрицу, поэтому, в частности, д„= О. Уравнения движения (5.16) могут быть теперь записаны в форме, которую указали Томсон и Тэт: — — ) — — =1е„+6„— — (а=1, ..., па) (5.19) и / дРа 1 дйа дйр Й (, дда ) деа " о дда (уравнения Кельвина — Тэта).
Из этих уравнений видно, что при аналитическом исследовании движений системы можно поступить так, как если бы имелись только нециклические координаты, изменение которых существенно влияет на состояние системы (их называют также позиционными координатами). Чтобы получить уравнение (5 19), нужно с соответствующими исходными уравнениями Лагранжа проделать следующие три операции.
1. К внешним обобщенным силам 1;1 добавляются обобщенные гироскопиче кие силы 6„. Об этих силах ниже будет сказано более подробно. 2. К внешним силам следует добавить также динамические нагрузки — дйо/дд„. Это могут быть, например, центробежные силы, обусловленные существованием циклических координат. Величину )го можно рассматривать как потенциальную функцию таких сил. 3. Вместо кинетической энергии берется величина Яа, которая, как следует из (5.15), тоже является квадратичной формой скоростей д, однако ей соответствует другая матрица, масс. Практически это означает, например, изменение моментов инерции. Систему, у которой 6„= О, будем называть гироскопически несвязанной.
Из (5.17) непосредственно следует, что это будет, Ь. Гироскопические системы например, при а,а = О. Последнее условие, подставленное в (5.15), дает с учетом (5.9) следующие равенства: Р~ = О, Ре = 7еаарЧаЧа. Таким образом, в данном случае Ле действительно является кинетической энергией, соответствующей «видимым», т. е., вообще говоря, нециклическим позиционным координатам, а Йо представляет собой кинетическую энергию, соответствующую скрытым, циклическим координатам.
Уравнения движения (5.19) принимают форму уравнений Лагранжа, только в правые части добавляются консервативные силы (динамические нагрузки), получаемые из )со как из потенциальной функции. Заметим в заключение, что уравнения движения подобного вида можно получить также для неголономных и реономных систем, для которых в уравнения связи (5.5) входят скорости и время (подробнее об этом см., например, 136)).
5.1.3. Гироскопические силы. Характерным для обобщенных гироскопических сил, определяемых равенством (5.17), является то обстоятельство, что они не совершают работы прн движении системы. Действительно, йА=ст,йс4=Г»„с)„с((=д, с),с7 й1=17е(й ( й )ф л й1 Вследствие д р = — два сумма, стоящая в скобках, равна нулю, поэтому с(А = ст„с(д„= О. Обратно, нз требования, чтобы работа на любом перемещении равнялась нулю, вытекает кососимметричность матрицы д„а.
Отсюда следует, что гироскопические силы можно определить как такие линейно зависящие от скоростей силы, работа которых на любом перемещении системы равна нулю. В силу такого общего определения в число гироскопических сил могут попасть и силы, которые не связаны с наличием в системе гироскопа или маховика. Так, например, было разработано чисто электрическое устройство — гиратор (37), с помощью которого в уравнениях электрической цепи могут быть получены гироскопические члены. Следует упомянуть о двух общих свойствах матрицы д„а, которые непосредственно вытекают из ее кососимметричности; / = О при нечетном т, с(е(й'в'( > О при четном т Приведем три простых примера, в которых появляются гироскопические силы.
а) Движение материальной точки относительно вращающейся системы отсчета, Пусть материальная точка, масса которой равна и, движется с относительной скоростью о; = хе в системе от- 8.1. Уравнения движения в форме Лагранжа 0 вз — аг аз О я1 в, — в, 0 .хгвз хзаг Х3% — Х1 Озз Х,Я, — Хгаз, =2 [ — 2 или Рг = дзгхг = Ог (1 1= 1 2, 5) где 0 аз — вз3 — в, 0 в, вг Я1 О йгг ! — — 2т Рассмотрим, какой вид имеют в данном примере уравнения Кель- вина — Тэта (5.19), и при этом будем считать, что система отсчета вращается с постоянной угловой скоростью вз вокруг оси хз. Тогда кинетическая энергия 1( ! Зхг) +( + '1) + 31' Если в направлении оси хз на материальную точку не действует внешняя сила, то координата хз будет циклической.
Следовательно, дТ вЂ” = тхз = рз — — сопз1. дхз Тогда в соответствии с (5.12) функцию Рауса можно представить в виде г --,-1а~ 3+- м.— 33-~2---,-1и:еч11. йг )ев Систему уравнений Кельвина — Тэта, описывающих движение материальной точки, находим из (5.19): тх = 1~3 + 2тязхг + тв'хо тхг = 133 — 2твзх, + озвззхг (5.22) счета, вращающейся с угловой скоростью вц тогда на нее действует кориолисова сила инерции Рг — — 2те;13о1ва, (5.21) работа которой на любом перемещении е(ха материальной точки равна нулю: аА =Р, е(х, =Р;о; Ж=2та,~го ввоз Ж =2твпао1оаа,е(1=0. Матрицу дп можно легко найти, если (5.21) записать в матричной форме.
Полагая ое = (хь хъ хз) и а; = (вь Ям аз), получаем З. Гироскопические системы 224 В качестве гироскопических сил с матрицей — 2т сиз О з — 1 О здесь снова фигурируют кориолисовы силы инерции; вместе с ними на материальную точку действуют динамические нагрузки, порождаемые центробежной силой.
5) Движение электрона в магнитном лоле. На носитель электрического заряда, например на электрон, движущийся со скоростью о; в магнитном поле с напряженностью Нь действует лоренцева сила е Рс = — е, еи!Не, с где е — величина заряда, а с — скорость света. Зависимость этой силы от скорости о; имеет такой же характер, как и в разобранном выше примере [см. формулу (5.21)).
Точно так же легко показать, что сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд, не производит работы. Гироскопической матрицей в данном примере будет матрица о и, — и — Нз О И~ н — и, о е с (5.23) Т = '/зА (бе + фз з!изб) + '/зС (ф + ф соз О)з (5.24) дТ Вследствие равенств — = О и Яе = О угол ф будет циклической дф координатой. Следовательно, —. = С (ф + ф соз О) = р, = сопи!. дТ дф Функцию Рауса составим в соответствии с (5.!2): Я= — А(бз+ фзз!пзб)+ — е — р ф. Учитывая, что ф =' де/С вЂ” асов О, получаем окончательно з 2 2 тс= и А(Ь +ф'з(п О) + фдесозб — 2С . Дз Де (5.25) с) Симметричный гироскоп при Яе = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
