Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 41
Текст из файла (страница 41)
!8. Положение равновесия системы с определенно-отрицательной потенциальной функцией 0 при нечетном числе нециклических позиционных координат не может быть стабилизирована добавлениелг каких угодно сил Р, 6 или Е, [8, стр. 215]. 19. Положение равновесия сигтемьс с определешго-отрицательной потенциальной функцией сг' при четном числе нециклических позиционных координат и наличии сил Р с определенно-положительной функцией Рэлея Р махает быть стабилизирована, если добавить вместе с гироскопическими силами Рт неконсервативные позиционньге силы Е„ [8, стр. 2151. 2О. Движение системы неустойчиво при произвольных силах Рт, Ет и Е,„если след матрицы Н, отрицателен [8, стр.
213). Условие зр(сг, ) ) О физически означает, что демпфирующая часть функции Рэлея является преобладающей по отношению к ускоряющей части. Действительно, матрицу с! некоторым преобразованием координат можно привести к диагональному виду, и тогда положительные диагональные элементы будут соответствовать затухающим, а отрицательные — нарастающим колебаниям. Если сумма положительных элементов больше, чем сумма абсолютных величин отрицательных элементов, то преобладает демпфирование.
)!о сумма диагональных элементов матрицы, т, е. ее след, инвариантна относительно преобразования координат, поэтому преобладание демпфирующей нлн ускоряющей части определяется следом исходной матрицы Н„„. 5.3. Приблинсеиное исследование систем е быетровращающпмнея гироскопами Технические гироскопические приборы, как правило, содержат быстровращающиеся гироскопы, так как кинетический момент, необходимый для удовлетворительного функционирования прибора, желательно достичь при возможно меньшем весе. При обычных движениях таких устройств гироскопические силы доминируют над другими силами — силами инерции, позиционными силами и силами трения.
язв З. Гироскопические системы В этом случае, сделав ряд пренебрежений, можно прийти к значительно более простому, но достаточно точному способу приближенного аналитического исследования системы. Благодаря такому упрощенному подходу весьма сложные приборы оказываются доступными для изучения. Такого рода приближенные исследования объединяются под названием «техническая (или инженерная) теория гироскопов», соответственно говорят о технических уравнениях гироскопа (или уравнениях прецесгипнноб теории). Рассмотрим теперь подробнее исходные положения указанной теории и границы ее применения.
5.3.1. Уравнения системы с быстровращающимися симметричными гироскопами. Выражение для кинетической энергии, разложенное, согласно (5.8), на три части, послужило отправным пунктом для исключения циклических координат. Подобный подход будет применен и в рассматриваемом здесь специальном случае. В качестве циклических координат, определяющих положение имеющихся в системе роторов гироскопов, выберем углы чс„поворотов роторов относительно их кожухов. Эти повороты совер. шаются вокруг осей симметрии роторов, моменты инерции относительно которых обозначим через С„. Тогда кинетическая энергия (5.8) записывается в виде Т = У,а„зс)„у + '/,С„(ф„+ й„,ф„)«.
(5.39) Индексы а и !3 принимают значения от 1 до тп, индекс х — от тп + 1 до и. Величина й, равна косинусу угла между направлением оси симметрии х-го гироскопа и направлением вектора угловой скорости д . При этом должны учитываться лишь те индексы а, которые соответствуют переносным вращениям для к-го гироскопа. Сумма, стоящая в формуле (5.39) в круглых скобках, равна проекции абсолютной угловой скорости и-го гироскопа на его ось симметрии. Предположение, что у„являются циклическими координатами, означает, что моменты, действующие относительно осей симметрии, взаимно уравновешиваются (Я„= О). Из (5.1) тогда следует = Свп (Ф, + и 4 ) = Н„= сопз1. дТ (5. 40) По индексу, заключенному в скобки, здесь и в дальнейшем суммирование, в виде исключения из общего правила, не производится.
Подстановкой (5.40) в (5.39) получаем Для функции Рауса имеем из (5.12) 1 ! НХ Я=Т" — Н„%„= ~ а зч,Чз+Н„й ч" я с, . (5.41) 5.3. Системы с быстровращащщимися гироскопами (5.44) Вследствие постоянства )го уравнения движения (5.!6) принимают вид Эти общие уравнения упрощаются, если в случае быстровращающихся гироскопов предположить, что часть тсв кинетической энергии пренебрежимо мала по сравнению с )сь Физически это означает, что энергия движения, соответствующая вращениям г)„, т.
е. перемещениям масс кожухов гироскопов и их подвесов, считается малой по сравнению с энергией роторов гироскопов. Такого рода предположение оказывается допустимым для многих технических гироскопических приборов. Таким образом, приближенные уравнения движения, как следует из (5.42), будут — ( — ) — — =Я, (а=1, ..., т). д !дм1~ дй дГ ( дда ) доа (5.43) Иными словами, приближенные уравнения движения получаются из уравнений движения Лагранжа второго рода, если в них кинетическую энергию Т заменить на линейно зависящую от угловых скоростей г)а часть функции Рауса )~! НхйхаЧа Уравнения (5.43) можно тогда привести к виду ~ча дяр 1 Кососимметричность матрицы д„а гироскопических сил здесь видна непосредственно.
Из (5.45) также следует, что движение системы в основном определяется равновесием между внешними силами Яв и гироскопическими силами Оа. Силы инерции выпали, так как они получаются из отброшенной части )св функции Рауса. При практическом использовании приближенных уравнений их можно еще больше упростить, если учесть, что в выражениях (5.40) для кинетических моментов Нх слагаемые, соответствующие переносным движениям, пренебрежимо малы по сравнению с первым слагаемым, соответствующим собственному вращению гироскопа грх )) йхаг)а. Итак, технический расчет гироскопических устройств может состоять из следующих четырех шагов: 1) берем в качестве постоянных кинетических моментов гироскопов их собственные кинетические моменты, т. е. полагаем Нх -"* = Снпф.; 2) находим укороченную функцию Рауса (5.44); 3) выписываем уравнения движения (5.43); 4) решаем эти уравнения. 238 8.
Гиросксиичесиие системы Порядок приближенных уравнений, получаемых на третьем шаге, ниже, чем порядок точных уравнений, что видно, например, из сравнения уравнений (5,45) с уравнениями (5.30). Это значит, что решения приближенных уравнений могут быть найдены не для любых начальных условий. Иначе говоря, приближенный подход годится не для любых допустимых движений гироскопической системы, хотя во многих случаях удовлетворительное описание поведения системы с помощью приближенных уравнений оказывается возможным.
Вопрос, при каких условиях это возможно, еще требует дальнейшего, разъяснения. Мы здесь ограничимся общим замечанием, что в невырожденных случаях приближение будет тем точнее, чем больше кинетические моменты имеющихся в системе гироскопов. Некоторые вопросы, возникающие при исследовании гироскопических приборов с помощью приближенных уравнений, будут оосуждены ниже в $10.1. 5.3.2. Формы движения и собственные частоты системы с быстро- вращающимися гироскопами. Для тосо чтобы получить более глубокое представление о картине движения гироскопической системы, мы ограничимся исследованием консервативной системы и примем во внимание упрощения, вытекающие из предположения о быстром вращении гироскопов. В силу (5.34) уравнения, описывающие движение в окрестности стационарного режима, будут а ха+ д ха+1 „х =0 (у=1, ..., и). (5.46) Решение линейных дифференциальных уравнений (5.46) в случае постоянных коэффициентов можно искать в виде х =А е".
(5.47) Для неизвестных амплитуд Ав получаем систему линейных алгеб- раических уравнений (азтЛе + д Л + 1 ) А = 0 (у = 1, ..., т). (5.48) Нетривиальное решение этой системы существует только тогда, когда ее определитель равен нулю: й (Л) = 4е1 (а Л'+ да„,Л + ( ) = О. (5.49) Таким образом, собственные значения Л должны быть корнями характеристического уравнения (5.49), которое является алгебраическим уравнением степени 2т и содержит только четные степени Л. К последним двум выводам мы придем, если раскроем определитель и убедимся затем, что вместе с корнем Л имеется и ко- 3.3.
Системы с Вь>стровращающимися гироскопами 239 Рень — Л. Действительно, УчитываЯ Равенства авт = атв, дзт = = — д В, 1"В =[та, имеем Ь( — Л) = <(е1(аз ( — Л)' — д Л+ [ ) = = <(е1(а Л'+ д зЛ+ [ 3) = = <(е1 (а Л'+ д Л + Р ) = А (Л). Здесь при переходе от второй строки к третьей было использовано известное свойство определителя: величина определителя не ме- няется, если его строки н столбцы поменять местами. Далее мы ограничимся случаем, когда тривиальное решение дифференциальных уравнений устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
