Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следует совместно использовать теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте. Формально такое исследование можно довольно просто провести путем объединения вектора количества движения и вектора кинетического момента в некоторый объект более высокого порядка (импульсмотор) и получить обозримые уравнения (см., например, [42]), однако при решении конкретных задач эти уравнения необходимо проектировать на осп координат, что не дает существенных упрощений.
Мы хотим привести уравнения к такому виду, чтобы был облегчен переход к их матричной форме, удобной для решения на вычислительных машинах. Существенными достижениями в этом направлении мы обязаны Лурье (43], Роберсону и Виттенбургу (44]. 5.4.1. Уравнения движения для одного из тел системы. В п. !.5,3 было установлено, что равенство, выражающее теорему о кинети- ческом моменте, принимает простую форму в системе отсчета, на- чалом которой служит центр масс 3: — (Оэта)=йз — +е атВзвт =Мз а(цг) ц дг магас к ° (5.81) Здесь, как и ранее, через Ых;/й = х~ обозначен результат дифференцирования в инерциальной системе, а через Н*х,/Ж = х; — результат дифференцирования в системе, связанной с телом.
Если Вращение связанных с телами систем отсчета следует принимать во внимание потому, что все входящие величины затем пересчитывают для одной, надлежащим образом выбранной системы отсчета. Такой системой отсчета может оказаться, например, система главных осей инерции того из тел, которое нас главным образом интересует. Так, если исследуются вращательные движения спутника, внутри которого имеются подвижные массы, то целесообразнее всего использовать систему отсчета, связанную с оболочкой спутника. Если общая система отсчета вращается с угловой скоростью йь то векторное равенство, выражающее в этой системе теорему о кинетическом моменте всех тел, записывается вместо (1.85) следующим образом: З. Гироскопические системы зов оз — вектор скорости центра масс, то теорема о количестве движения выражается равенством т16 — =тбз=РР лс (5.82) Далее равенство (5.81) нужно преобразовать для случая, когда начало коордиаат находится не в точке о, а в некоторой другой Рис.
Ку. К аыаолу теоремы о кииетичееиам моменте дли тела, алодищего а систему. точке Р тела (рис. 5.2). На основании соотношения Гюйгенса— Штейнера (!.17) имеем 6з. = 6Р— т(г г б — гл ). н и (ело 0 Умножим это равенство на а;: 6з.а =6р.а.— тГг г а. — г г а1; ц г ц! (ли е е!!) отсюда, учитывая (1.8), получаем 6,. а =6,,а — те,,г,в, а,г . 6 (5.83) Примем во внимание еще соотношения Мз=МР— и.. г Р цл! ле ох=пи+в. а.г ем т ы оз — пр т ' + ттиа!ге+ етиатеы а~гщ тогда из (5.81) и (5.82) следует равенство 6Р а + в,, а,.блр,а, + тзц г блр = МР, (5.84) которое выражает теорему о кинетическом моменте для одного тела в системе отсчета, началом которой служит точка Р, движу- щаяся вместе с телом.
Этот результат соответствует полученному ранее уравнению (1,76), 25! 5.4. уравнения движения типа уравнений Эйлера допустим теперь, что имеется Лс составляющих систему тел Ка (се = 1, ..., ст), и мы рассматриваем их движение относительно снстемы координат, вращающейся с угловой скоростью асс. Осями такой системы координат могут быть, например, главные оси инерции тела К, которое является телом отсчета для рассматриваемой совокупности тел. Если через св",. обозначить относительную угловую скорость тела с номером а, то его абсолютная угловая скорость будет д 1 а с с с Далее имеем о я — я — ст 1 а се о вса вта+ в гтлва а 1 ц а сгл с л с ил ! ле ~с+ вт' ~с + ряс + всгл" лвв Разобьем главный момент, приложенный к указанному телу, на два слагаемых: момент Мс, возникающий от взаимодействия Ва Рлс.
5.3. система твердых тел. тело отсчете К и тела К'". с телом отсчета, и сумму прочих моментов Мс, тогда из (5.84) Ра, следует о о ~Ра(сч 1 а+ и ст а) + ф + а)с8ра сст + а) +иве. с'бра=Мне+Мв". (5.85) паса с с Кроме того, запишем для тела равенство (5.82), выражающее Ва теорему о количестве движения, обозначив через гс силу взаимодействия с телом отсчета и через г'с сумму сил, действую. щих со стороны остальных тел: а.за го+ рва (5.86) 252 В. Гироскопические системы Здесь реакции гу" и реактивные моменты Мс" взяты со знаком минус.
5.4.2. Уравнения движения для системы твердых тел. Реакции и их моменты, вообще говоря, нас не интересуют; чтобы их исключить, следует объединить уравнения для отдельных тел. Так, из (5.86) и (5.87) получаем уравнение, выражающее теорему о количестве движения для всей системы: той+ Хт'67'=Рс+ ХР'с = Йь (5.89) где Кс — главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе.
Прибавлением У уравнений (5.85) к (5.88) можно исключить Мс'. Учитывая (5.86) и относя все внешние моменты к началу отсчета О, получим следующее векторное уравнение: (0ц + ~ Ой') О! + вне( (0~с + ~ Ой') г)с + о ~~ Р~0Рв (соа 1 з 4) а) + з сч 0Ра а + з. „соеСЭге (О + соо) + т"в,, (гобго + хебзе)~ + + те г бо =Мо+ ~чР~ Мое Мов пеке с с — с э а (5.90) где Мс — главный момент относительно точки О всех внешних оя сил, действующих на систему. Практическое использование векторного уравнения (5.90) требует значительных вычислительных усилий, так как прн переходе к общей системе отсчета придется использовать матрицы преобразований, дающие переход от систем координат, связанных с телами, к общей системе, причем элементы этих матриц в общем случае изменяются во времени.
Уравнения такого рода уже применялись прн исследовании гироскопа в кардановом подвесе с несимметричным ротором в п. 4.5.1 (см. уравнения (4.70) — (4.72)). При решении конкретных задач ситуация значительно упрощается, когда составляющие систему тела оказываются снмме- Для самого тела отсчета К теоремы о количестве движения и о кинетическом моменте дают следующие равенства (началом отсчета служит точка О; см. рис. 5.3): тба Р '~ Рва а а 9о Я. + е О, 0оЯ + те,. „г бо =Мо ~чР Мво ~~ и васви (5 33) а а 6.4. Уравнения движения типа уравнений Эйлера 253 тричными роторами с осями симметрии, жестко связаннымп с телом отсчета. Решение может также облегчить специальное расположение центров тяжести 5 отдельных тел. В общих случаях необходимые преобразовання могут быть проведены до конца только с помощью вычислительных машин.
При надлежащем программировании можно даже автоматизировать вывод уравнений в координатах с последующим их решением. Соответствующие алгоритмы даны Виттенбургом ~451; они предусматривают одновременно возможность исследовать различные связи между составляющими систему телами. Часто встречающийся случай, когда некоторые из кинематических параметров системы изменяются незначительно, и получающиеся в нем упрощения исследовали Роберсон и Ликинс ~461.
Полученные уравнения движения можно дополнительно преобразовать. Так, Шилеи ~47] вместо тензора инерции второго ранга использовал величины третьего ранга, описывающие геометрию масс, и ввел тензор второго ранга для задания положений отдельных тел. В качестве начал отсчета были выбраны центры тяжести тел с тем, чтобы облегчить приложение к проблемам, связанным со спутниками, Таким способом получаются весьма компактные формулы.
Более подробное изложение упомянутых здесь результатов читатель найдет в специальных работах, Глава 6 Вращение не абсолютно твердых тел При анализе особенностей движения Земли, связанных с проявлением гироскопических эффектов, были обнаружены расхождения между наблюдениями и теоретическими результатами, полученными в предположении, что Земля — абсолютно твердое тело. Более точные расчеты показали, что эти расхождения могут быть объяснены упругой податливостью тела Земли и изменениями в расположении масс, обусловленными перемещением воды на земной поверхности.
Деформации маховика или вала могут заметно влиять и на поведение технических гироскопов. Для приближенного исследования подобных явлений можно было бы воспользоваться методами, изложенными в гл. 5. В этом случае деформируемое тело надо было бы представить в виде системы связанных между собой твердых тел, однако во многих случаях другие методы быстрее приводят к цели. Ниже рассматривается несколько наиболее типичных примеров; при этом анализ некоторых уже известных гироскопических явлений обобщается на случай не абсолютно твердых тел.
6.1. Деформируемый гироскоп Влияние упругих деформаций на частоты нутации и прецессии вращающихся тел эллипсоидальной формы было подробно изучено Клейном и Зоммерфельдом [6). Их цель состояла в том,чтобы выяснить и истолковать гироскопические эффекты в движении Земли. Оказалось, что в случае Земли, помимо упругих сил, необходимо учитывать н взаимное притяжение масс Земли. Было получено два важных результата: 1) упругие деформации гироскопа практически не влияют на период его прецессии; в отличие от этого 2) нутационный период деформируемого гироскопа, например Земли, больше, чем у такого же по форме, но абсолютно твердого гироскопа.
Из наблюдений за перемещением полюсов было установлено, что период нутации Земли составляет !4 месяцев — период Чанд- 6.1. Дефорыируемый гироскоп 255 лера. Расчет по формуле (2.38), справедливой для абсолютно твердого тела, дает для Земли время Т„обхода полодии, равное 1О месяцам. Если же учесть возможность малых упругих деформаций материала Земли, то можно получить хорошее совпадение теоретического периода с наблюдаемым. Для этого надо, полагая Землю однородным упругим телом, считать, что модуль упругости ее примерно на 25о>о больше, чем у стали. Таким образом, упругие деформации дают по крайней мере качественно объяснение наблюдаемых отклонений. Еше более точная теория должна учитывать, что Земля ие является однородным телом и частично состоит из жидкости, В гироскопической технике деформации роторов также могут оказывать столь существенное влияние, что должны приниматься во внимание.
Деформироваться могут как вал, так и маховик ротора. Влияние этих деформаций на поведение гироскопа будет подробно рассмотрено в 9 1!.3. У Перри [9] и Павлова [48] имеется описание опытов, в которых демонстрируются гироскопические явления и связанные с ними изменения формы гибкого диска. Диск из легко сгибающегося материала, например из бумаги или ткани, при быстром вращении приобретает свойства твердой пластины и может даже издавать звук прн ударе по нему палочкой, как металлический диск. Если диск из такого гибкого материала, вращающийся вокруг оси 1, перпендикулярной его плоскости, дополнительно поворачивать вокруг оси, лежащей в плоскости диска, например вокруг оси 2, как это показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
