Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Наконец, следует. остановиться еще на одном специфическом типе жидкостного гироскопа, один из вариантов которого изображен на рис. 6.8 (см. Уинг в !15]). Твердое тело К закреплено так, что может вращаться относительно основания только вокруг оси А — А. Внутри тела имеется симметричная относительно А — А 2бт б.2. Гироскопы с жидким наполнением полость Н, целиком заполненная жидкостью. В двух симметрично расположенных точках в стенках полости имеются отверстия, соединенные трубочками с дифференциальным манометром М. При установившемся вращении тела и жидкости вокруг оси А — А разность давлений, измеряемая манометром, равна нулю.
При небольшом изменении направления оси А — А жидкость стремится сохранить прежнюю ось вращения, в результате чего ось вращения жидкости отклоняется от оси А — А на некоторый угол б. Если Рнс. б.б, Жидкостный гироскоп ринга. измерительные отверстия расположены под углом 45' к оси А — А, то при б « ! разность измеряемых давлений составит величину Лр = ргсйсойб. (6.27) Если бы трение полностью отсутствовало, то ось вращения жидкости  — В оставалась бы неподвижной в пространстве.
В реальных условиях за счет действия сил трения ось  — В постепенно приближается к оси А — А. Сближение осей имеет вид асимптотического экспоненциального процесса с постоянной времени Т = Йтс/)г ам, (6.28) где т — кинематическая вязкость жидкости, а й — 0,28 — коэффициент, который можно считать постоянным. Такой гироскоп предлагалось использовать в навигационных системах (гл. 16). За счет выбора конструктивных параметров значение постоянной времени Тз должно быть подобрано в зависимости от конкретного способа использования гироскопа в схеме.
268 6. Вращение не абсолютно твердых тел 6.3. Гироскопы с переменной массой Моменты инерции ракет, космических кораблей и искусственных спутников в общем случае не остаются постоянными, а изменяются с течением времени. Изменение может происходить по двум причинам: либо внутри тела-носителя имеются какие-то перемещающиеся массы, либо какие-то массы отделяются (или присоединяются).
В первом случае общая масса системы остается постоянной, во втором она меняется, так как отделившаяся масса не принадлежит системе после отделения, а присоединившаяся не принадлежала системе до соединения с телом. Примером системы с переменной массой, не относящимся, правда, к технике, может служить градина. При падении в области переохлажденного тумана она увеличивается. Капля дождя в определенных условиях уменьшается за счет испарения. 6.3.1.
Общие уравнения движения. Рассмотрим вращательное движение тела-носителя К (рис. 6.9). В нем происходит как изменение Рис. В.р. К выводу уравиеивй даиовеиия тела К с перемепваюпсейся массой две и присо- едивяющейся массой Нпед распределения масс за счет перемещения внутри тела некоторых частиц с массой й(тт, так и изменение полной массы вследствие присоединения (или отделения) дополнительной массы й(тн. Пусть мгновенное положение этих масс задано соответственно векторами гг и гню исходящими из неподвижной точки О. Относительная скорость массы Нтт внутри тела К равна огй. Абсолютная скорость массы Йпн непосредственно перед столкновением равна па, а сразу после столкновения становится равной он'.
Процесс поглощения массы можно рассматривать как абсолютно неупругий удар, при котором скорость частицы е(тн после удара равна скорости той точки тела К, в которую она ударилась. Для составления уравнений движения представим полный кинетический момент Н; в виде суммы двух слагаемых Н; и Ны г г первое из которых создается движением частиц й(тт, уже принадлежащих телу, а второе соответствует частицам й(тн, только что 269 6.3. Гироскопы с переменной массой присоединяющимся: Н =е.
„( го йщ=Нт+Нг= ай1 ей с ! ( гтот Дщт+ е ( ггог Дщг — 11й,' 1 й !1й„' 1 й т г (6.29) Скорость о" может быть выражена в виде суммы относительной скорости ойта и переносной скорости от", обусловленной вращением тела вокруг точки О: от „та 1 отг ота 1 е , т й й й й йьасе (6.30) Для записи закона изменения кинетического момента необходимо продифференцировать выражение (6.29), учитывая (6.30) и равенство Д,т Д~гт со гт ота 1 е со гт Д1 Д1 сало л о ~и сало о о н мы получим днт — =е.. ) г.(е сог т ° т д1 а1й1 11 йьи 1 ш т + ес й ~ гт(2е со ота+ ага) Ыщт (6 31) т где ага Д ота~Д1 й — относительное ускорение перемещающейся массы.
Первый интеграл в выражении (6.31) содержит лишь слагаемые, которые сохранились бы и в случае обычного твердого тела. Эта часть соответствует как бы замороженному телу К и сокращенно может быть записана как ДНо'1Д1. Второй интеграл отличен от нуля только при наличии масс, перемещающихся внутри тела К. Он учитывает наличие относительных и кориолисовых ускорений перемещающихся масс. При дифференцировании Нс в выражении (6.29) необходимо учесть, что присоединяющаяся частица Дщг в момент соударения с телом К испытывает скачкообразное изменение скорости на век г* га га личину о; — ос = ос, причем величина ос есть скорость частицы относительно той точки тела, в которой произошло соударение.
Выполняя дифференцирование, получаем Д1 = Д1;1й~ 1'й ' = е1й~ 1 й г =е,. ( гг(ог* „гйДЩг — е. ~ ггогаДщг (6.32) г г б. Вращение не абсолютно твердых тел сснс К вЂ” с=Мс+М; +М; +М;, и э с Ж (6.33) где результирующий моменс всех внешних сил обозначен Мь реактивный момент всех присоединяющихся (нли отделяющихся) масс Мн = еп ~ ггогн с(тг (6.34) г момент сил инерции, возникающих вследствие относительногоуско- рения перемещающихся внутри тела частиц, М — в гтцгй с)глг — — ца," са г (6.35) и момент кориолисовых сил инерции тех же частиц 1 ггсо огн с(глг с ссаы С С с ас г (6.36) Во многих случаях бывает целесообразно уравнения движения (6.33) отнести к системе координат, жестко связанной с телом К: л'окс — + в.
асо Нк = М, + Мн + Мв + Мс. (6.37) При покоординатной записи этого уравнения необходимо учитывать, что главные оси инерции системы могут поворачиваться относительно самого тела К. Поэтому в общем случае дело не сводится к простой форме уравнений Эйлера. Даже когда главные оси неподвижны относительно К, решение уравнения (6.37) представляет гораздо большие трудности, чем в случае обычного твердого тела, так как теперь вследствие изменения и перемещения масс моменты инерции становятся функциями времени. Здесь мы рассмотрим лишь отдельные случаи, допускающие простые решения (см. также Аминов [53]).
Это выражение определяет изменение кинетического момента системы за счет присоединения дополнительных масс. Величина нстг характеризует количество массы, присоединяющейся (или отделяющейся) в единицу времени. Относительная скорость присоединившейся массы после соударения полагается равной нулю.
Это допустимо, так как после соударения эта масса уже принадлежит телу, и если она продолжает относительно него двигаться, то должна рассматриваться как внутренняя перемещающаяся масса с(тт. С учетом выражений (6.31) и (6.32) из соотношения (6,29) можем получить теорему о кинетическом моменте 6.3. Гироскопы с переменной массой 271 6.3.2. Простые примеры.
Положим сначала, что сумма всех момен- тов, стояших в правой части (6.37), равна нулю. Если, кроме того, главные оси инерции неподвижны относительно тела К, то в проек- циях на эти оси система уравнений примет вид А (г) в, — [В (() — С (1) [ аз а, = О, В(О аз — [С(~) — А(0! азв~ =О, С (() в, — [А (1) — В (1)) в, вз = О. (6.38) Решение такой системы не вызывает затруднений в следующих трех случаях: а) Гироскоп имеет шаровой эллипсоид инерции: А(1) = В(() = = С(1). Отсюда немедленно следует постоянство всех составляюших вектора угловой скорости в1 = а1о вз = взо вз = созе.
(з) Все моменты инерции меняются одинаково: А = Ао[ (1), В = Во) (1) С = Со[(1) Так как уравнения (6.38) линейны относительно моментов инерции, то функция времени )(() сокращается и задача сводится к случаю свободного твердого тела, рассмотренному в гл. 2. с) Гироскоп симметричен: А(1) = В(1). Из (6.38/3) следует постоянство составляющей аз — — вм. Первые два уравнения приводятся к форме а, — т(1) во=0, аз + т (() в, = О, где Решение имеет вид в, = в, азп [ [ т (1) си + во~, вз = — озо соз [ [ у (1) е 1 + еро~ (6. 40) и содержит две постоянные интегрирования ао и еро.
Полученному решению легко дать геометрическую интерпретацию: вектор ае обегает поверхность прямого кругового конуса с постоянной высотой ам и постоянным радиусом основания ао. По этому конусу вектор ае движется с переменной угловой скоростью т(1). Если отношение С(1)/А(1) постоянно, то постоянна и величина т(1) =то, так что решение соответствует движению обычного симметричного гироскопа. 6. Вращение не абсолютно твердых тел 272 6.3.3.
Демпфирующее действие реактивной струи ракеты. В качестве примера, соответствующего уравнению (6.37) при отличных от нуля правых частях, рассмотрим весьма важное для ракетной техники явление, обнаруживающее демпфирующее действие реактивной струи. Пусть имеется тело ракеты К, двигатель которой выбрасывает из сопла струю продуктов горения в направлении оси симметрии 3 (рис. 6.!О).
Чтобы воспользоваться уравнениями движения тела вокруг неподвижной точки, будем считать, что ракета Рнс. бдб. К определению демпфпрующето действия реэктяввой струи рэкеты. установлена на специальном испытательном стенде, так что ее центр тяжести О может рассматриваться как неподвижная точка.
(Смысл результатов не изменится, если ракета находится в свободном полете.) Предположим также, что внешние моменты отсутствуют. Границу тела К выберем так, чтобы корпус ракеты со всем содержимым и все массы, находящиеся в камере сгорания до сечения А, считались бы внутренними массами, а струя за сечением А — отброшенной массой.
Для нашего случая, согласно (6.34), момент Мл = О, так как г~ параллелен охал. В силу (6.35) Мв = О, так как г" параллелен а~а, поскольку в камере сгорания частички разгоняются в направлении оси 3. Отличен от нуля 63. Гироскопы с переменной массой 273 только момент М„это следует из (6.36), если учесть, что с. тт =(О, О тт) а! =(в! озм аз) отл=(0 0 — о™) Используя конструктивную постоянную 3 ]' тоти (лт т получаем Мс = ( 23а„28аг 0), (6.41) Уравнения движения ракеты в проекциях на ее главные оси, со- гласно (6.37), теперь можно записать так; Ай, — (А — С) в,соз = — 25а„ Айг+ (А — С) аза, = — 25в„ (6.42) Сй, Из последнего уравнения следует, что аз = азо.
Первые два урав- нения преобразуются к виду й ! + )с ()) в! — т (1) аг = О, аг + )с (~) аг + ~ (И) а! = 0~ (6,43) где т(() = азо [1 — ~ н )с (с) = с(!) з А(с) ] А(с) ' Используя комплексную переменную а' = а! + саг, получаем вместо системы (6.43) уравнение в* + [)з (7) + ! т (с)] в' = 0 (6.44) с общим решением а*= аоехр~ — ~ [)с(1)+со(!)]с(с+сро~.
(6.45) [в [=)!со'+а,'=[в,*~ее ехр~ — ] )г(!)с!!1. (6.46) Поскольку )с и т — действительные величины и )с - О, абсолютная величина переменной а* монотонно убывает и стремится к нулю: 274 6. Вращение не абсолютно твердых тел Вектор угловой скорости ракеты юе асимптотически приближается к оси 3; он обегает незамкнутую коническууо поверхность с по- Рис. б.11. Конус нутапни ракеты при ненпфироеании реактиааой струей. стоянно уменьшающимся углом при вершине (рис. 6.11). Это означает, что нутационные колебания ракеты, вызванные начальными возмущениями, постепенно затухают; таким образом, ракета демпфируется реактивной струей двигателя. Глава 7 Вращение тел, ие имеющих неподвижной точки При рассмотрении движения твердых тел вокруг неподвижной точки можно было принимать эту точку за начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
