Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Камешек может быть устойчивым при правом вращении и неустойчивым при левом и наоборот. Брошенный на горизонтальную плоскость, он сам «выбирает» то вращение, при котором его движение устойчиво. При этом главная ось инерции (меньшая или большая) всегда оказывается впереди соответствующей (меньшей или большей) оси главных кривизн. 1ое Глава 8 Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения При исследовании движения тяжелого гироскопа в предыдущих главах предполагалось, что земное поле тяготения однородно. Вектор веса оказывался тогда приложенным в центре тяжести (центре масс) тела и постоянным по величине и направлению.
Такое предположение, хотя и приближенное, вполне допустимо при решении большинства технических проблем, но все же пренебрегать изменением веса или градиентом поля тяготения можно не во всех случаях. Этот градиент, например, существенно влияет на движение относительно центра масс искусственных спутников н даже учитывается при вычислениях, связанных с работой некоторых высокочувствительных геодезических приборов.
Земное поле тяготения в этой главе будем считать идеальным центрально-симметричным, как если бы Земля была однородной сферической оболочкой. Возмущениями, которые вызываются отклонением от сферичности, неоднородностями и наличием других небесных тел, пренебрегаем. Если тело находится в центрально- симметричном поле тяготения, то линия действия результирующей силы притяжения в общем случае не проходит через центр масс, так что относительно этой точки может возникнуть момент. Поэтому тело в центрально-симметричном поле не имеет центра тяжести, так как не существует такой связанной с телом точки, через которую проходила бы линия действия результирующей силы притяжения при произвольной ориентации тела.
Следствием этого факта является то, что твердое тело в поле тяготения принципиально нельзя считать свободным от действия сил даже в случае идеального лишенного трения подвеса в центре масс. 8Л. Момент енлы притяжения твердого тела Пусть дано твердое тело К, которое находится в центрально-симметричном поле тяготения с центром О (рис. 8,!). Началом системы отсчета, связанной с телом, выберем точку А, отличную от центра масс М. На элемент массы йп, находящийся в точке Р, действует, согласно закону Ньютона, сила ал, Момент силы притян<енгтя твердого тела 993 направленная к центру О.
Здесь у — гравитационная постоянная, птв — масса притягивающего тела (например, Земли). Момент силы с(гг относительно точки А будет вгМу =е; дг с(г'й, (8.2) а суммарный момент в силу )сг = )тт + гг определяется равенством Г ~~~а Мс — — — утке,га ) — г2т. (цр)а (8.3) к Входящий сюда интеграл, а вместе с ним и момент М; зависит, очевидно, не только от распределения масс тела )г„ но и от его Рис. ап. К выводу формулы для момента сил тяготения, действующих иа тело в центральио- симметрняном гравитационном поле.
ориентации в пространстве. Точно вычислить интеграл удается только в немногих исключительных случаях. Однако имеется возможность приближенного вычисления, так как потенциал поля тяготения разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по специальным функциям (см. Лейманис (7)), который можно использовать для приближенного вычисления момента. Приближенное выражение, вполне удовлетворительное в большинстве случаев, йтогкно получить и другим, более простым способом, если расстояние г мегкду точками А и Р тела мало по сравнению с расстоянием )т от точки А до притягивающего центра О. Учитывая, что ЯР=~ Рг+ ге)= РУЯг+ г,)'=(Де+ г'+ 2Р~гг)~', разложим знаменатель подинтегральной функции в (8.3) в ряд по степеням малого отношения г/)с: ()РЯ+ гй + 2й,г,)-" = а'(1 3( а ) — — ( — )+ — (~,) +...~. (8.4) гв4 8.
Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения В этом разложении мы далее сохраним только два первых члена, пренебрегая квадратом и более высокими степенями отношения г//7. Введем еще локальное, т. е. соответствующее точке А, ускорение д = угпл/Щ создаваемое полем земного тяготения; тогда А'з Г / г1!т1 ! Мз = визге ) гг — ~! — 3 ( — /] сзт.
Гй~ (2! / (8.5) Принимая во внимание, что а,е = /7з/В является единичным вектором, направленным по вертикали ОА, и что ту= О, ) г с(т = тзм к получаем из (8.6) М; = Овзгзазгзз + (ЗдЯ) езгз ) ггазз (г,ам) с(т. (8.6) К Первое слагаемое здесь представляет собой известный момент силы веса в однородном поле тяготения. Оно обращается в нуль при 3 = О, когда началом отсчета выбирается центр масс М. Второе слагаемое, которое учитывает градиент сил тяготения, можно преобразовать так, чтобы при интегрировании были получены компоненты тензора инерции 611 тела.
Для этого используем тож- дества (С вЂ” В) аззам (А — С) аззаз1 ( — А) аз,аз,. 1232зз аззз2 аззз — аззаз аз!зз а32з! (8.8) еззазгазь=е гьазгаззг г. =нгзаззг г Ьыаз1=0; входящее в (8.6) произведение, если к нему прибавить послед- нее выражение, равное нулю, преобразуется к виду е„,г,азз(гзам)=езгзазг(г г Ьы — гьг,)ам. В силу (1.!3) выражение (8.6) для момента сил тяготения тогда приобретает форму М; = Ое;гааз;зз + (38//7) ез.зазгВззаз1 (8.7) Из полученного выражения следует, что добавочное слагаемое, создаваемое градиентом сил тяготения, исчезает, когда или одна из главных осей инерции тела в точке А направлена к центру О, или эллипсоид инерции тела вырождается в сферу.
Действительно, в обоих случаях векторы аз; и 631а31 параллельны и их векторное произведение равно нулю, В системе координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела в точке А, вектор Мт имеет следующие коор- динаты: 8.2. Гироскоп с неподвижной точкой 29$ 8.2. Гироскоп е неподвижной точкой Уравнения движения гироскопа с неподвижной точкой А, который находится в центрально-симметричном поле тяготения, являющиеся обобщением уравнений (3,28), приобретают в силу (8.7) вид зе — = — + есс,всНз = Оессзазсяз+ — ессзазсдзсазс. (8.9) 8.2.1. Интеграл энергии и интеграл кинетического момента. Умножим скалярно векторное равенство (8.9) на в;; тогда вследствие (1.81) для левой части будем иметь Правая часть равенства (8.9), умноженного скалярно на вь преобразуется с помощью следующих равенств: "оз сС озс сС'з — +в ва =О и — О; — Нз сзз— ссс тогда с Озссзазсязвс = Ое,с„в;а„яс = — — „с (Оазсяс) ассзазсВзсазсвс = ессзвсаззВ;сазс = — —,с ~~ 2 азАсазс).
Таким образом, из равенства (8.9) после скалярного умножения на вс и интегрирования по времени следует интеграл энергии 2 Нсвс+ Оамзс + 2Л с9ссазсазс= Но зе (8.10) Это выражение при Р- оо переходит в полученный выше интеграл энергии (3.34). Умножим далее равенство (8.9) скалярно на ам, тогда его правая часть обратится в нуль, и, поскольку с(а !с(1=О, оно примет вид сснс сс — а, = — (На )=О, з —,сс с зс— откуда получаем интеграл кинетического момента (8.! 1) В трех случаях, о которых речь будет идти ниже (п. 8.2.2, 8.2.3 и 8.2.4), решение этих уравнений может быть получено классическими методами в квадратурах.
Для этого, как известно, кроме интеграла энергии и интеграла кинетического момента, следует найти еще другие интегралы. 8. Гнроскоп я пентрально-симметричном поле тяготения Он совпадает с ранее найденным интегралом (3.33) и означает, что вертикальная составляющая кинетического момента остается неизменной. Другие интегралы можно найти для шарового гироскопа и в случаях, представляющих обобщение случаев Эйлера и Лагранжа. Это будет сделано ниже, но доведение решения уравнений движения до квадратур, которое становится возможным, мы опустим, уделив внимание особенностям движения, обусловленным градиентом сил тяготения. 8.2.2.
Шаровой гироскоп. Если Л = В = С, то вектор 6гтгаат па- раллелен вектору ам и в уравнении (8,9) исчезает член, порож- даемый градиентом сил тяготения. Поскольку, кроме того, век- тор Нт параллелен вектору ыь это уравнение принимает вид а~, — = Вес~доя~за, откуда после скалярного умноженгия на з; получаем о'ОГ о'г зг — — — „(Нгз,) = О. Следовательно, еще один первый интеграл будет Н;з, = Н'= сопзг, или, так как Нг = Осог, где 6 — скаляр, отгз; = от' = сопзй (8.! 2) Таким образом, проекции кинетического момента и угловой скорости на прямую, соединяющую неподвижную точку с центром масс, постоянны.
Движение тяжелого шарового гироскопа здесь подробно не рассматривается, потому что он является частным случаем гироскопа Лагранжа и к тому же на него не оказывает влияния градиент сил тяготения. 8.2.3. Обобщенный гироскоп Эйлера. Исследовать движение гироскопа Эйлера с закрепленным центром масс (з = О) в центрально- симметричном поле тяготения оказывается гораздо сложнее, чем в однородном поле. Это связано с тем, что, хотя точкой опоры н служит центр масс, гироскоп все-таки нельзя считать свободным, т. е. не подвергающимся действию моментов, обусловленных гравитационными силами.
Тем не менее удается найти дополни. тельный интеграл уравнений движения. Для этого умножим скалярно векторное равенство (8.9) на вектор Нг. —,' Н; = — ег~ааа~~дагаагНгг 8.2. Гироскоп с неподвижной точкой 297 или — „, 1' 2 Н ) =- 8 внзг9ггазгНзазг. (8.13) Если в качестве осей связанной с телом системы координат взять главные оси инерции, то смешанное произведение, входящее в уравнение (8.13), можно записать в виде аз, а,з Вазе Сазз Вв, Свз аз~ Ааз1 Ав, вггздггазгНзазг —— = аз~ВС (аззвз — аззвг) + аз,СА (амв, — аз~вз) + аззАВ (аз~вг аззв~) гс' Учитывая равенство — „(а„)=а„в,— а„в, и два других, полу- вп чаемых круговой перестановкой индексов, находим окончательно вггиВггазгНзазг = — „, у(ВСа„'+ САа„-+ А Ва,'3)), в Это соотношение совместно с (8.10) и (8.11) позволяет найти общее решение исходных уравнений (Лейманис (7)). Рассмотрим в заключение вопрос о возможности перманентных вращений вокруг связанных с телом осей и их устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
