Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2. Чем больше по абсолютной величине угловая скорость ым собственного вращения, тем при большей вытянутости спутников может быть достигнута нх стабилизация. Даже спутники, почти совпадающие по форме со стержнем, можно сделать устойчивыми при достаточно быстром собственном вращении. (Этот вывод справедлив для твердых тел. Следует указать на то, что для деформируемых тел возможна передача энергии от вращения вокруг осн с наименьшим главным моментом инерции к вращению вокруг осн с наибольшим главным моментом. Вследствие этого спутник, вращающийся вокруг оси с наименьшим главным моментом инерции, может стать неустойчивым.) 3.
Поступательно движущиеся спутники (ам — — 0) будут устойчивы только тогда, когда они слегка сплюснуты (1 ( С/А ~ ( 1,33). Как стержень (С = 0), так и диск (С)А = 2) будут в этом случае неустойчивы. 4. Спутники, ориентация которых по отношению к центру не. изменна (ым —— 12), будут устойчивы, если они сплюснуты (2 > С/А > 1) или немного вытянуты (1 > С!А > 0,855). Особо подчеркнем, что все указанные здесь эффекты являются следствием воздействия моментов, связанных с градиентом силы притяжения. В однородном поле тяготения вращение тела вокруг оси симметрии всегда устойчиво. вт, =(О, О, а), азс =(О, 1, 0) (8.54) 8.3.4.
Спутник произвольной формы на круговой орбите. В случае, когда среди главных моментов инерции А, В, С нет равных, для исследования устойчивости рассмотрим возмущенные движения, близкие к движениям, описываемым частными решениями (8.46) и (8.47). Состояние относительного покоя, описываемое частным решением (8.46), представляет особый интерес для практических применений спутников, так как неизменная по отношению к орбите ориентация спутника часто бывает желательной илн даже необходимой (метеорологические спутники и спутники связи).
При движении, соответствующем решению (8.47), неизменным остается только направление одной из главных осей инерции, которая перпендикулярна к плоскости орбиты и вокруг которой вращается тело, так что в этом случае можно говорить о гироскопической стабилизации спутника. а) Устойчивость состояния относительного покоя. Чтобы можно было использовать введенные в и. 8.3.3 обозначения, будем считать, что ориентация связанных со спутником осей 1', 2', 3' совпадает с изображенной на рис. 8.7; при а = !) = ср = 0 имеем !', 2', 3' = — 2, 3, 1 (рис.
8.4), так что вместо частного решения (8.46) следует записать 3. Гироскоп в иентрально симметричном поле тяготения Для возмущенного движения величины и, 8, ф, ач и сов предпо- лагаются малыми. Из (8.50) тогда следует :1 — а+ Й6 — !) — ьеа (8.55) Подставив эти выражения в (8.44/3), мы получим уравнение для угла ф, соответствующее выведенному выше уравнению (8.48): Сф + Зйв (А — В) ф = О.
(8.56) Из этого уравнения, решение которого ф(/) может быть легко най- дено, непосредственно следует, что для устойчивого движения не- обходимо выполнение условия А ) В. Из (8.44/1) и (8.44/2) по- лучаем, используя (8.55), систему уравнений для а и !): Аа — рве(А+  — С) + а40в(С вЂ” В) =О, (8.57) В5+ ай(А+  — С) + рь)е(С вЂ” А) = О. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид ! А!се + 4йе (С вЂ” В) — М (А +  — С) Ль1(А+ С вЂ” В) В!ьв+ ьег(С А) =О, или где В С С Ст р= 2 — 3 — + 2 — — — + —, А А В АВ' (8.58) Коэффициенты р, с/ и вместе с ними дискриминаит Р = р' — 4с/ зависят только от отношений моментов инерции, поэтому области устойчивости и неустойчивости можно представить в виде частей треугольника формы (см.
п. !.3.6), как это изображено на рис. 8.9. Вершины треугольника для рассматриваемой здесь ориентации спутника (!', 2', 3' =— 2, 3, 1) соответствуют случаям стержня, направленного по касательной к орбите (А = 0), вдоль вертикали (В = 0) и перпендикулярно плоскости орбиты (С = 0). На основании диаграммы устойчивости можно прийти к следующим выводам. 1.
При А ( В (верхняя половина треугольника) устойчивость невозможна. Поэтому при стремлении достичь устойчивости одну из двух лежащих в плоскости орбиты главных осей инерции, а именно ту, которой соответствует меньший момент инерции, сле- 31б В.З, Вращательные движеиии искусствеииых спутников дует направить к центру притяжения (пассивная стабилизация с помощью силы притяжения). 2. В случае устойчивого движения момент инерции С, соответствующий главной оси, перпендикулярной плоскости орбиты, не должен быть средним по величине главным моментом инерции. 3.
Ориентация спутника будет устойчивой, если С ) А ) В (левый нижний частичный треугольник). Вершины этого треугольника соответствуют следующим телам: тело, эллипсоид инерции которого является сферой, стержень, ось которого направлена Ввс Рис.
8.8. диаграмма устойчивости лчи иесимметричиого спутника. ориеитироваииого иа Землю 1положеиие атиасительиога равиовесиак к притягивающему центру, и симметричный диск, лежащий в плоскости орбиты. Точка, соответствующая естественному спутнику Земли — Луне, лежит в этом частичном треугольнике близко к центру всего треугольника. 4. В частичном треугольнике А ) В ) С устойчивость может иметь место, если отклонение формы спутника от симметричного относительно оси 1'(В = С) сплющенного (А ) С) тела не слишком велико. Во всем частичном треугольнике А ) В ) С имеет место статическая неустойчивость, так как момент, вызываемый градиентом сил тяготения, стремится вывести спутник с такими моментами инерции из его положения относительного равновесия.
Однако для спутников, соответствующих узкой полосе, принадлежащей на рис. 8.9 области устойчивости, незначительный гироскопический момент, создаваемый движением спутника по орбите, оказывается достаточным для компенсации момента сил притяжения. Здесь можно усмотреть некоторую аналогию с волчком, который, будучи статически неустойчивым, тем не менее благодаря 316 8. Гнроскоп н центрально-снмметрнчном поле тяготения гироскопической стабилизации может некоторое время вертеться, стоя на острие.
Эту аналогию можно продолжить и дальше; как волчок вследствие потери энергии, вызываемой трением, в конце концов опрокидывается, так и спутник, изображающая точка которого находится в устойчивой узкой полосе, должен будет потерять устойчивость и поэтому практически не используется, ибо неизбежна диссипация энергии, вызываемая, например, деформацией, качаюшимися антеннами или перетекающей внутри жидкостью (см.
также теорему 1! в п. 5.2.2). 5. На медиане, исходящей из вершины С = 0 треугольника, можно снова продемонстрировать все свойства симметричного спутника при ым = ь), найденные в п. 8.3.3 (рис. 8.8). Следует отметить, что полученные там случаи устойчивости изображаются точками, лежагцнми на границе области устойчивости. Более подробный анализ показывает, что в этих граничных случаях ориентация обеих главных осей инерции, лежащих в плоскости орбиты, становится неопределенной. Спутник может поворачиваться вокруг оси симметрии, перпендикулярной плоскости орбиты, сохраняя неизменным ее направление.
Ь) Устойчивость вращающегося спутника произвольной формы. Кинематические соотношения для возмущенных движений, близких к плоскому движениею (8.47) спутника, можно получить из (8.50) циклической перестановкой координат; заменой осей 1, 2, 3 на 3, 1, 2. Предположим, кроме того, что а « 1 и !3 « 1; тогда ф+й — а соз ~р — 5 3!и чг + Я (8 сон ег — а з!п ср) а 3!п~р — (3 созср — 12(!! 3!и ср+ асов ~р) (8.59) а аы = з!п~р соз ~р Подставив эти выражения в (8.44/1), придем снова к уравнению (8.48) для угла ср.
Следовательно, в первом приблигкении движение по углу ср — колебания или вращение спутника относительно перпендикулярной к плоскости орбиты главной оси — независимо от движения самой этой оси (от углов а и Я. В рассматриваемом случае нас интересует монотонно возрастающее решение ср(1) уравнения (8.48), соответствующее вращательному движению спутника; его можно получить при начальных условиях ~р(0) = и/4 фг(0) ) з/г()г! В С (/А т.
е. когда начальная угловая скорость достаточно велика. 3.3. Вращательные двингеиия искусственных спутников 317 Не вдаваясь в детали вычислений, мы наметим здесь лишь путь решения и укажем результаты; более подробное изложение смо например, в работе[62). После подстановки 1р = ср(1) и выражений (8.59) в (8.44/1, 2) получаются два дифференциальных уравнения, члены которых содержат множители 81п бр или соз 1р Как и в случае симметричного спутника, эти уравнения можно преобразовать. Однако если для симметричного спутника мы пришли к уравнениям с постоянными коэффициентами, то коэффициенты уравнений для спутника произвольной формы будут периодическими: в них войдут з)п21р н соз 2ср. Границы областей устойчивости для этих уравнений можно найти на основании теории Флоке, для чего потребуется найти с помощью вычислительных машин несколько частных решений.
Результаты вычислений представлены в виде треугольников формы на рис. 8.10 и 8.11. Параметром здесь служит величина С=О Е=О Рис. 8ЛВ, Диаграмма устойчивости для несимметричного спутанна иа круговой орбите при ратличвык положительнык ана. ченияк относительной угловой скорости собственного вращения й=(м /Й)щ. Рис. 8.П. Диаграмма устойчивости для несимметричного спутника на круговой орбите при рааличнык отрипательиыт авачевияк относительной угловой скорости собственного вращения й=(м /П)щ. й = (от1/81) — осредненное за время полного оборота спутника отношение угловых скоростей. Операция осреднения используется потому, что угловая скорость от1 ж ф + 81 уже не является постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
