Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Для стержня это имеет место в том случае, когда ось стержня направлена к центру притяжения, поскольку тогда ближняя к центру половина стержня притягивается сильнее, чем другая половина, так что точка приложения равнодействующей сил притяжения (центр тяжести) расположена ближе к притягивающему центру, чем центр масс М. Такая звз З. Гироскоп а центрально-симметричном ноле тяготения ориентация стержня статически устойчива.
Положения же равновесия '), при которых ось стержня перпендикулярна орбитальному радиусу-вектору йгь напротив, статически неустойчивы. Этот результат будет получен как предельный случай при исследовании устойчивости в рамках приближенной теории, рассматриваемой в следующем пункте. 8.3.2. Приближенное исследование для случая малого спутника. К системе основных уравнений (8.29) — (8.31) можно применить различные способы приближенного решения.
Один из способов состоит в том, что некоторый параметр системы предполагается малым, и решение ищут в виде ряда по степеням этого малого параметра. В качестве подходящего для такой роли параметра могут, например, использоваться следующие величины: 1) разность между главными моментами инерции для тел, эллипсоид инерции которых близок к сфере (Луна); 2) отношение и)/ет угловой скоростн и! орбитального радиуса- вектора /се к собственной угловой скорости от спутника со значительным собственным вращением; 3) отношение /.//т линейного размера малого спутника к расстоянию гт до притягивающего центра.
Примеры использования двух первых величин для приближенного решения имеются у Лейманиса 17). В практике наиболее важным является, несомненно, приближенное исследование случая малого спутника. Это исследование будет здесь проведено с тем, чтобы рассмотреть некоторые интересные для практики проблемы. Следует особо подчеркнуть, что при предположении /.//с « 1 происходит разделение орбитального и вращательного движений, если отбрасываются все члены второго и более высокого порядка малости. Чтобы доказать этот факт, рассмотрим интеграл, входящий в (8.29). Разложение в ряд подинтегрального выражения получается путем умножения (8.4) на /тра=/г,+г, При интегрировании по объему тела члены этого разложения, линейные относительно гь исчезнут, так как при совпадении начала отсчета с центром масс М имеем ге йи = Паз, = О.
Остальные члены, кроме первого, не зависящего от гь будут малыми второго н более высокого порядков, В теории первого приближения мы ими пренебрегаем. То, что влияние размеров спутника имеет порядок (/,//т)е, можно, впрочем, усмотреть из выра- Ч Речь, раатнеется, наес о паяожеааяа относительного равновесия. — Прим. Ред. 8.3. Вращательные дан>кении искусственных спутников жений (8.38) и (8.41), полученных для спутника, имеющего форму стержня, без пренебрежения какими-либо членами.
Вследствие разделения движений исследование вращательного движения можно произвести отдельно на основании теоремы о кинетическом моменте, записанной, например, в форме (8.9) при з = О, с учетом кинематических уравнений (8.31). Проектируя на оси координат уравнение движения (8.9), получаем Ав, — ( — С) вевз =, (С вЂ” В) азеазз Зд Вф, — (С вЂ” А) в,в, = — (А — С) а„ааы Зл Сва — (А — В) в,вв = — ( — А) а„а„.
Зи !! (8.44) в~ =(О О вав) ам = [з!п (ваа — Я) 1, соз (вае — ьа) 1, 0). (8. 45) 3. Для несимметричного гироскопа (А, В, С различны), главные оси инерции которого 1', 2', 3' совпадают с орбитальными осями координат 1, 2, 3, имеем вс —— (ь), О, 0), ам — — (О, О, 1). (8.46) Спутник при этом вращается вместе с орбитальным радиусом- вектором, относительно же системы координат 1, 2, 3 ои находится в покое (состояние относительного покоя).
4. Несимметричный гироскоп, одна из главных осей инерции которого совпадает с осью 1, перпендикулярной к плоскости орбиты, может вращаться вокруг этой оси. Если, например, с осью 1 совпадает ось 1', т. е. плоскость 2'-3' совпадает с плоскостью 2-3, то имеем (угол ф показан на рис. 8.6) в~ = [Я+ ф (!), О, 0], авс=(0, з!пф, созф). (8.47) Отсюда нетрудно найти несколько частных решений для случая, когда центр масс М спутника движется по круговой орбите, т. е.
когда постоянны величины Я и д, а вместе с ними и угловая скорость ь)='у'дЯ. Укажем следующие четыре частных решения уравнений (8.44). 1. Для шарового гироскопа (А = В = С) имеем в; = вв = = сопз1. Ориентация оси вращения произвольна. 2. Для симметричного гироскопа (А = В), который вращается с произвольной, но постоянной угловой скоростью ваа вокруг оси 1 (рис. 8.2), совпадающей с осью симметрии, имеем (см. рис,8.6) ззо 8. Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготеиия Для угла гр(1) из (8.44/1) получается следующее дифференциальное уравнение: Аф — з/зьаз (С вЂ” В) з1п 2гр = О.
(8.48) Оно имеет тот же вид, что н уравнение плоских колебаний тяжелого маятника, и решение такого уравнения может быть выражено через эллиптические функции (см., например, [62)). При этом возможно как колебательное, так и вращательное движение. Из (8.48) следует, что при колебательном движении та нз осей 2', 3', которой соответствует меньший главный момент инерции, колеблется относительно вертикали (ось 3), так как именно в этом случае уравнение (8.48) принимает форму уравнения колебаний ф+ тзз!п2р = О, где тз) О, 3 з темза аг)г Рис.
8.8. Вращение связанных со спутником осей Г и 2' в пло. скости 2-8 для частиого случая движеиия симметричного спут- вика. Рис. 8.8. Расположеиие осей для частного случая движения кесиммегричиого спутиика. Из указанных выше случаев практически наиболее важны три последних. Поэтому следует подробнее остановиться на исследовании устойчивости этих частных решений. 8.3.3.
Симметричный спутник на круговой орбите. Рассмотрим возмущенные движения по отношению к движению, описываемому частным решением (8,45). Из (8.44/3) при А = В следует, что н для возмущенных движений имеем озз — — отзо — — сопз1. Две другие компоненты угловой скорости озз и озз являются малыми величинами. Для них из (8.44) получаем следующие уравнения: Аоз, — (А — С) оззоозз + ЗИ~ (А — С) аззазт = О, (8.49) Аозз + (А — С) втзооз, — Зьзз (А — С) азтаз~ = О. При исследуемых движениях ось симметрии тела (ось 3') остается вблизи оси 1, поэтому для описания ориентации тела целесообразно использовать угол Эйлера ор вместе с дополнительными 8.3.
Вращательные дан>кенни искусственных спутников 311 ' — и сов ф — 5 соз а 81п ф + ь) (з!п 5 соз ф — сов (1 з(п а в!п ф) ⻠— — а з)п ф — 5 сов а сов ф — Й (в>п 5 з!п ф + сов 5 в!и а сов ф) Ф вЂ” О з!п а + Й соз 5 соз а (8.50) сов а вбп ф сов а соз ф в!па ам= Для сс, (1 « 1 эти выражения можно упростить. Прежде всего, пренебрегая членами второго и более высокого порядка малости, получаем ф = в>,в — Я = сопз1. (8.51) Далее после подстановки (8.50) в (8.49) мы получим два дифференциальных уравнения для углов а и 5, в которых каждый 3'ы- рис.
В.т. углы, определк>ощве ораевгецею спутника. член содержит множитель сов ф или з!пф. С помощью преобра- зования эти множители можно легко устранить, так что после линеаризации мы получаем для а и 5 два линейных дифферен- циальных уравнения с постоянными коэффициентами Аа+ 5(Св>лв — 2Аьл) + а(Св>лова+ ЗСьет — 4Аьлт) =О, (8.52) А)> — а (Св>лв — 2Аь)) + !) (Св>вв() — Аьав) = О, углами сс = 90* — 0 и 5 = 90' — ф (см.
рис. 8.1). Тогда коорди- наты векторов в>е и аве будут ага 8. Гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения Характеристическим уравнением этой системы первого приближения будет АЛз + (Сотзоьа + ЗСьяз 4Аьак) (Ссозз 2Аьа) Л вЂ” (Сааза — 2Аьз) Л АЛз+ (Сотзоья — Аьаг) или Л'+ рЛ +4=о, где Устойчивое движение возможно только при выполнении условий р ) О, с/ ) О, 0 = р' — 4г/ ) О.
На основании этих неравенств в плоскости, где прямоугольными координатами служат отношения газо/й и С/А, построены области устойчивости и неустойчивости (рис. 8.8). Отношение С/А может Дпек 2 шар щ1 с бтп р етгь 04""""8""""2"""" """"'о ""'1" ж "2 ю "з' "жч"'""'Б гггг от за Рис. З.З. диаграмма устойчивости дяя симметричного спутника, движущегося па круговой орбите и вращающегося вокруг оси симметрии. принимать лишь значения, принадлежащие интервалу О(С/А<2; граничные значения О и 2 соответствуют спутникам, имеющим форму стержня и кругового диска, прп С/А = 1 эллипсоид инерции становится сферой (шаровой спутник). Если откладываемое по оси абсцисс отношение отзо/ьз = О, то спутник движется поступательно вокруг притягивающего центра, а при оззо/ь) = 1 ориентация спутника относительно орбитальной системы координат остается неизменной.
Области устойчивости и неустойчивости в плоскости (газо/ья, С/А) на рис. 8.8 отделены одна от другой участками кривых г/ = О и 0 = О (первая кривая состоит из двух пересекающихся в точке (1, 1) гипербол). С помощью диаграммы устойчивости можно сделать следующие выводы. 8.3. вращательные движения искусственных спутников 3!3 1. Сплюснутые спутники при !ывв/1!! > 1 заведомо устойчивы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
