Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для нормального полета снаряда требуется, чтобы выполнялось условие сле- жения 280 1. Вращение тел, не имеющих неподвижной точки выполняется условие (7.5), а при большом — (7.6). В этих случаях вместо стабилизации вращением применяют стабилизацию с помощью хвостового оперения. 7.1.2. Бумеранг. Особенно интересное взаимодействие сил гироскопических, аэродинамических и тяжести проявляется в полете бумеранга. Этот метательный снаряд имеет серповидную форму и при правильном броске пролетает по замкнутой траектории, возвращаясь к исходной точке. Закономерности полета бумеранга можно считать полностью выясненными благодаря тщательным исследованиям Гесса [561 Ему удалось чисто теоретически получить форму траектории бумеранга, полностью соответствующую его действительному полету со всеми характерными особенностями.
На рис. 7.5 представлено два примера. На фото слева показан след бумеранга, полученный в темноте от установленной на нем электрической лампочки. Справа изображена траектория, вычисленная на электронной машине и выведенная на графопостроитель с учетом искажений перспективы. Временной интервал нанесенных точек составляет 0,1 с. На рис. 7.6 в трех проекциях изображена еще одна вычисленная траектория бумеранга. Для выяснения закономерностей полета бумеранга необходимо учесть два обстоятельства: его особую форму и способ выполнения броска, от которого зависят начальные условия движения.
Существенно, что оба плеча бумеранга обработаны так, что в поперечном сечении они имеют профиль несущего крыла. При броске плоскость бумеранга примерно вертикальна и выпуклая сторона несущего профиля обращена влево, если бросок выполняется правой рукой. Во время броска, кроме начальной скорости оз центра масс, бумеранг приобретает достаточно большую угловую скорость юе— около !О об/с (рис.
7.7). Вследствие вращения скорость верхнего плеча Р больше скорости нижнего плеча Я, поэтому верхнее плечо испытывает большую аэродинамическую силу, направленную влево, чем нижнее. Из-за разницы сил возникает результирующий момент. Осредненный за оборот момент дает не только составляющую Мз, направленную в сторону, обратную полету, но и перпендикулярную к ней компоненту М,~.
Эта составляющая момента также создается аэродинамическими силами, но обусловлена в основном тем, что оси плеч бумеранга не проходят через центр масс 5. Поскольку бумеранг является в определенном смысле гироскопом, под действием моментов он прецессирует. Момент Мз вызывает поворот плоскости бумеранга влево вокруг вертикали; одновременно с этим действие момента М; приводит к наклону плоскости бумеранга вправо. Оба поворота сказываются на форме 282 7. Вращение тел, не имеющих неподвижной точки траектории центра масс.
Поворот вокруг вертикали приводит к появлению поперечной силы, добавляющейся к аэродинамическим силам, действующим на плечи бумеранга, и в результате бумеранг отклоняется влево. Наклон плоскости бумеранга вправо поворачивает аэродинамическую силу вверх, благодаря чему бумеранг несколько поднимается, так как возникающая подъемная сила противодействует силе тяжести. За счет дальнейшего поворота и наклона бумеранг пролетает по замкнутой траектории.
На последнем участке полета плоскость бумеранга почти горизонтальна и он планирует по пологой линии к месту старта, медленно теряя высоту. При большей начальной скорости бумеранг может и после планирования уйти на повторный подъем или даже описать еще одну дугу, пока не погасит свою энергию и медленно опустится, как приземляющийся вертолет. И опыт, и теория показывают, что характерные геометрические параметры траектории бумеранга почти не зависят от величины начальной скорости.
Это объясняется тем, что момент аэродинамических сил пропорционален произведению юо, а поскольку Н = йю, скорость прецессии оказывается пропорциональной отношению о/В независимо от величины ю. С увеличением скорости и соответственно растет и скорость поворотов бумеранга, так что форма траектории в плане (вид сверху) остается практически неизменной. При увеличении начальной скорости заметно растет лишь наибольшая высота, достигаемая бумерангом в полете. Более детальное исследование влияния начальных условий и характерных параметров системы на форму траектории можно найти в упомянутой публикации Гесса[56).
7.2. "твердое тело па горизонтальной плоскости Как в технике, так и в различных играх и спорте часто можно встретить такое движение твердого тела, при котором оно какой- либо своей точкой всегда опирается на некоторую плоскость. Характерным примером могут служить катящееся колесо, детский обруч, биллиардный шар или шар для игры в кегли, а также разнообразные игрушечные волчки различных форм и размеров. Отдельные, иногда довольно неожиданные, случаи движения таких тел были исследованы еще Даламбером (1761), Эйлером (1765) и Пуассоном (1811).
В более поздних работах, опубликованных преимущественно математиками, содержится множество разнообразных результатов, довольно трудно обозримых и в большинстве случаев представляющих лишь чисто академический интерес. Изложение некоторых из этих результатов можно найти в книгах Клейна и Зоммерфельда [6), Граммеля [31 или в цитируемых ими работах. В этом разделе мы приведем лишь основные соображения общего характера и перейдем к рассмотрению приме- 7.2. Твердое тело на горизонтальной плоскости ров игрушечных волчков, представляющих, однако, определенный технический интерес. Твердое тело, перемещающееся по горизонтальной плоскости, в общей сложности имеет пять степеней свободы. Для определения его движения можно воспользоваться законом кинетического момента (?.1), законом импульса (7.2) и выражением геометрической связи между телом и опорной плоскостью.
Эта связь может носить как кинематический, так и кинетический характер. Особенно просты и потому хорошо освещены в литературе два предельных случая: 1) полное отсутствие трения в точке касания тела с опорной плоскостью, 2) абсолютно шероховатая опорная плоскость, так что полностью исключается возможность проскальзывания тела в точке касания. Первый случай характеризуется тем, что реакция, действующая на тело в точке касания, всегда направлена вертикально. Второй — случай чистого качения тела по плоскости. В обоих случаях система является консервативной, так как сила, действующая на тело в точке касания с плоскостью, не совершает работы. Однако в рамках упрощений, соответствующих этим двум предельным случаям, не удается удовлетворительно описать наблюдаемые явления.
По-видимому, необходимо учесть реальный характер трения между телом и опорной плоскостью. В действительности тело может скользить по плоскости и вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости. При этом возникает трение скольжения и трение верчения. Оказывается, что непосредственное влияние трения верчения на движение тела весьма мало, однако вращение вокруг вертикальной оси существенно отражается на количественных закономерностях, характерных для трения скольжения. При чистом скольжении, согласно известному закону Кулона, сила трения остается постоянной по величине независимо от скорости скольжения.
При наличии же верчения происходит своеобразное осреднение, в результате чего фактическое сопротивление становится примерно пропорциональным скорости проскальзывания (см. Контенсу в 115]). Этот эффект легко наблюдать при работе полотера с вращающимися щетками. При невращающихся щетках для его перемещения по полу необходимо затратить значительные усилия (закон Кулона), в то время как при их вращении медленное перемещение полотера почти не требует усилий; вращение щеток резко уменьшает трение скольжения. 7.2.1. Уравнения движения волчка.
При некоторых предположениях относительно характера трения, включающих в себя оба упомянутых предельных случая, мы рассмотрим линейную теорию устойчивости вращения симметричных твердых тел на 284 7. Вращение тел, не имеющих неподвижной точки горизонтальной плоскости, основываясь главным образом на результатах Контенсу.
Пусть имеется симметричное тело, у которого А = В и центр тяжести лежит на оси симметрии 3' (рис. 7.8), Тело касается Рис. 7.8. Симметричный залчок с закругленным острием иа горизонтальной опорной пло- ско от и. опорной плоскости точкой Р. Поверхность тела в окрестности точки Р можно приближенно принять за сферу радиуса 7; центр кривизны К поверхности лежит на оси 3'. Горизонтальная опорная плоскость совпадает с плоскостью 1т2 неподвижной системы координат. Для описания движения тела используем кардановы углы се, р, у (см.
п. 1.4.3с), а также вектор хз, определяющий положение центра тяжести. углы а, р и изменения компонент вектора хз примем за величины первого порядка малости; поэтому уравнения могут быть линеаризованы. Если пренебречь трением верчения, то можно выделить стационаРное движение ее = Р = О, У = ойо, хз =ха. Волчок Равномерно вращается вокруг вертикальной осн симметрии 3' (спящий волчок). Из общих уравнений (1.91) для возмущенного движения получим следующую линейную систему, в которой учтено, что се н р — малые величины первого порядка: — (Аи + Сотар) = М„= М„ Ар — Сотой = МЗ вЂ” — Мул (7.7) — „, (Су)=М,=М,. 7.2. Твердое тело на горизонтальной плоскости 285 Эти уравнения представляют собой запись закона кинетического момента для движения системы относительно ее центра масс 5.
Моменты Мт с учетом обозначений, введенных на рис. 7.9, выра- жаются формулой М; = епаНутса, (7.8) где Ьолх Ьолх 2 0 тч2 ттз Здесь й = а+ г — максимальная высота точки 5 над плоскостью, й — коэффициент пропорциональности в выражении силы трения, Рио 7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
