Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 45
Текст из файла (страница 45)
6.1, то поверхность диска изгибается и принимает форму, наглядно демонстрирующую действие гироскопических сил (сил Кориолпса). В направлении деформации ясно видна тенденция к совмещению осей собственного и дополнительного вращений (совершаемых с угловыми скоростями о>1 и о>е). Эти эффекты, в том числе и аналогия с поведением жесткого гироскопа, хорошо объясняются теорией. Покажем это на примере, в котором вместо гибкого диска рассмотрим гибкое кольцо (свернутую в кольцо цепочку).
Кольцо приводится в быстрое равномерное вращение в плоскости 2-3 ведущей шайбой 5 (рис.6.2). Тонкие нити, подобно спицам колеса, соединяют каждое звено цепочки с веду>цей шайбой. Шайба вращается вокруг оси 1, и се центр О неподвижен в пространстве. Если отдельные звенья цепочки достаточно малы, то ее можно считать сплошным гибким канатиком. Пусть положение отдельного звена длины с1з с массой рсЬ характеризуется вектором гь представляющим собой сумму векторов >г; и 1.о направленных соответственно по радиусу шайбы и вдоль нити. На это звено в качестве внешних сил действуют со стороны нити сила натяжения ге и со стороны соседних звеньев силы К; натяжения цепочки, которые можно свести к одной результирующей силе ЛКь Если пренебречь несом цепи 6. Вращение не абсолютно твердых тел и сопротивлением воздуха, то уравнение движения отдельного звена можно представить в виде г2о р с(з — „, = Ре + ЬК; = ((, + Лй;) Из.
Для случая равномерного вращения ведущей шайбы с угловой скоростью в; = (вю, О, 0) нетрудно найти частное решение, согласно которому цепочка в виде кольца радиусом гс + Ь вра- Рис. 6.2. Вращающееся гибкое ггольцо. щается концентрично с ведущей шайбой в той же плоскости. Это решение таково: г,=)ье —, г — — Л+Л=г„ гт+ и (6.2) Сила го+ ЛКо направлена по радиусу и в точности уравновеши- вается центробежной силой.
Рис. 6Л. Деформация бмсгравращающегося гибкого диска при дополивгельиом вращеиии вокруг оси 2. Ое = ЕЦеюуГ„ была Гага ,й ='нл"!,~~ = РГОВ16 )О + ~~6. О = 'ОВ|6 = Во — Гв аюв 6.!. Деформируемый гироскоп Для того чтобы найти решения, близкие к (6.2), запишем уравнение (6.1) в системе координат, связанной с вращающейся шайбой. Согласно (1.55), до~ о о~ — „' = — „,' + е; есогвы поэтому из (6.1) следует / д'о Р( — „, + впесогве~ = 1~+ М Здесь о; — абсолютная скорость звена цепочки.
Ограничимся тем, что выделим из системы (6.3) уравнение для малых отклонений от основного решения по одной только координате 1, т. е. будем рассматривать лишь отклонения звеньев цепочки от плоскости ведущей шайбы. Если опять положить сог = (го1о, О, 0), то, учитывая, что щ = гь левую часть (6.3) можно записать как 1егь ПРоекцию силы натЯжениЯ нити в пРавой части при малых отклонениях можно приближенно выразить в виде (6.3) Соответствующее выражение для проекции сил натяжения цепочки можно получить из тех соображений, что результирующий вектор этих сил должен совпадать с главной нормалью цепочки, имеющей теперь форму пространственной кривой. В первом приближении вектор главной нормали имеет координаты Если принять во внимание соотношение Ко = е Ко до, = б його то проекция сил натяжения на ось 1 запишется в виде дгг~ дог| бйъ бйого дог йо дог Теперь можно выписать первое координатное уравнение системы (6.3): д'г| (о дег1 др + г'ГАВ=КО де ° (6.4) Я К.
Мегмус Решение гг —— г1(з, 1) этого уравнения в частных производных зависит от переменных з и й Оно определяет форму цепочки и перемещения ее звеньев вдоль направления 1. Рассмотрим решение этого уравнения для двух частных случаев. Сначала положим, что )о = О. Это соответствует полностью освобожденной цепочке, не испытывающей никакого воздействия со б. Вращение не абсолютно твердых тел стороны нитей.
В этом случае уравнение (6А) переходит в одномерное волновое уравнение д'г1 а д'г~ — ='— сд да' со скоростью распространения волны е= У К~/и. Имея в виду, что Ко = Лйого, и учитывая последнее соотношение (6.2), получаем Ко =ргоесоещ, так что е = гасо~ о = но. (6.6) Таким образом, скорость распространения возмущения вдоль цепочки в точности совпадает с абсолютной скоростью движения ее звеньев, так что любое местное смешение звеньев, перпендикулярное плоскости невозмушенного движения, при распространении волны навстречу движению цепочки остается постоянным в пространстве.
Все звенья поочередно пробегают неподвижную в пространстве впадину. Это явление представляет собой пространственный аналог известного свойства замкнутой цепочки сохранять свою форму при свободном движении в неподвижной плоскости— эффект Редингера. Чтобы подчеркнуть гироскопический характер движения, рассмотрим случай, когда в начальный момент 1 = О цепочка в форме кольца вращается в неподвижной плоскости, слегка отклоненной от плоскости 2-3, как показано на рис. 6.3; при этом гю = А соз (з(го) гю = — Асом з)п (з!го). Таким начальным условиям соответствует частное решение уравнения (6.5) г, = А соз (з/го+ союГ) (6.7) Во вращающейся системе координат 2', 3' (рис.
6.2) максимальное значение А координаты г, соответствует точке е + гоео1ог = О и перемещается вдоль цепочки навстречу движению ее звеньев со скоростью оо = гоеощ. Относительно неподвижной системы координат 1, 2, 3 положение этой точки остается неизменным, а следовательно, неизменным остается положение всей плоскости кольца. Таким образом, вращающееся кольцо цепочки сохраняет неизменной в пространстве ориентацию оси собственного вращения точно так же, как обычный свободный гироскоп. Однако уравнение (6.5) имеет и другое частное решение г, = А сов(з/го — со1о1) (6.8) соответствующее начальным условиям гю = А соз з/го гщ = Асом знт Фо бл. 22еформируемый гироскоп 2Б9 В этом случае точка, соответствующая максимальному значению гь перемещается со скоростью во = госцо в том же направлении, что и звенья цепочки, так что относительно неподвижного пространства ее скорость составит величину 2оо В каждый момент все звенья цепочки по-прежнему лежат в одной плоскости, но сама плоскость теперь колеблется относительно ведущей шайбы с круговой частотой 2о22о.
Это полный аналог нутационного движения твердого гироскопа, имеющего форму диска; его нутационная частота всегда равна удвоенному значению угловой скорости собственного вращения. Ркс. б.л. Прецессии гибкого кольца. При 12 Ф О движение приобретает характер регулярной прецессии. Легко убедиться, что уравнение (6А) имеет частное решение г, = А сов (э/го+ т(), (6.9) где ° + = оэю+ 2 КО (О 2 ГО 2 р кое яд М ру. И в этом случае все кольцо цепочки лежит в одной плоскости. Относительно же неподвижного пространства нормаль к этой плоскости совершает коническое движение с круговой частотой т — бчо ) О навстречу движению цепочки. Такое движение соответствует регулярной прецессии висячего симметричного гироскопа. Вектор кинетического момента Не обегает поверхность кругового конуса, ось симметрии которого совпадает с направлением оси 1 (рис.
6.3). В заключение найдем решение для случая, когда раскрученная цепочка участвует в дополнительном вынужденном вращении. аео 6. Вращение не абсолютно твердых тел Положим, что ведущая шайба, помимо быстрого вращения с угловой скоростью сощ, приводится в медленное вращение с угловой скоростью со" вокруг неподвижной в пространстве поперечной осн, например вокруг оси 2, как показано на рис. 6.4. Во вращающейся системе координат 1', 2', 3' в этом случае имеем ин (юге щ соз сею/ ю* з1п %от) нг' = (й~ гоюго з1п з/го гоюю соз з/го) Первое координатное уравнение системы (6.3) с учетом уже введенных обозначений принимает вид лет + гьсо|ою' соз ~согот+ — ) + ~ г~ — — с —. (6.10) ге Оно имеет частное решение г,=— рг~гаыгою' соз (юю/+ — ).
/о го (6.11) Кольцо цепочки лежит в плоскости, отклоненной от плоскости 2-3 на угол гг гпак гьг-Югоы ср ко — = го /о Величина наклона пропорциональна угловой скорости вынужденного вращения щ* и обратно пропорциональна усилию /о. На пр авление наклона обнаруживает тенденцию к совмещению осей собственного и вынужденного вращения. Такое поведение цепочки Рис. б.с. Отклонение плоскости гибкого кольца прн лополиитвльнои прошении вокруг оси Н б.2. Гироскопы с жидким заполнением 2а1 аналогично отклонению несвободного гироскопа, участвующего во вращении подвижной системы отсчета.
Это свойство используется в гиротахометре (гл. !5) для измерения угловой скорости м'. 6.2. Гироскопы с жидким заполнением В связи с попытками объяснить гироскопические явления в движении Земли были проведены н первые опыты с гироскопами, имеющими полости, заполненные жидкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
