Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогда приближенные уравнения движения записывают, исходя из условия равновесия между силами инерции и гироскопическими силами: а ха+а х =0 (у=!, ..., т). Их решение дает, опять же за исключением вырожденных случаев, нутациоиные колебания, соответствуюшие корням раа из (5.60). Уравнения (5.64) и (5.65) образуют систему дифференциальных уравнений, порядок которой в два раза ниже порядка полной системы (5.46) '), поэтому найти их решение гораздо проще. Однако довольно сложно получить оценку погрешности, возникшей от замены точных уравнений приближенными. Поэтому очень важным является знание условий, достаточных для того, чтобы ошибка приближения стремилась к нулю при Н- оо.
Меркиным [8, стр. 185] указаны следуюьцие три условия: (5. 65) !) должно выполняться неравенство с(е( (лр ) Ф О, откуда следует, что пт должно быть четным; 2) решения приблигкенной системы (5.45) или соответственно (5.64) должны быть устойчивыми; 3) система первого приближения не должна иметь кратных корней. (5.66) 5.3.3.
Пример: несвободный гироскоп в трехрамном подвесе. Схематически изображенный на рис. 5.1 гироскоп в трехрамном подвесе представляет систему четырех предполагаемых абсолютно твердыми тел; ротора 1, внутренней рамки 2, промежуточной рамки 3 и внешней рамки 4. Углы последовательных относительных поворотов этих тел обозначим соответственно через гр, (>, га, 6, причем 6 является углом поворота внешней рамки относительно неподвижного основания.
Центр тяжести подсистемы, состояшей из ротора и внутренней рамки, находится на оси ротора и в обшем случае не совпадает с точкой пересечения осей подвеса, т, е. на систему действуют моменты силы тяжести. Кроме того, в ч для системы (555) понижение порядка достигается с помощью подстаноякн «а=ра.— Прим, ред. Условия (5.66) по сушеству уже были использованы выше.
Следует, однако, отметить, что невыполнение этих условий не обязательно приводит к отказу от приближенного метода исследования. Это будет более подробно пояснено на примере. 244 З. Гироскопические системы горизонтальное положение равновесия внешнюю рамку приводят пружины. Для данной гироскопической системы составим технические уравнения, которые в случае малых отклонений линеаризуем и решим. Затем для случая малых колебаний исследуем общие уравнения, чтобы таким путем найти приближенные значения для собственных частот системы. Ряс.
ЕЛ. Тяжелый гироскоп и трехрлмяои подполе ня пружпяах. Н, =С,ф=Н. Далее найдем, согласно (5.44), укороченную функцию Рауса Я, = Н„Ь с)„= Н(а з)п(! — Ьз!и асов р) и, согласно (5.43), приближенные уравнения движения, справед- ливые для случаи быстровращающегося гироскопа: !)Н соз "р'+ ЬН соз и соз 6 = Я„, — иН соз 5 — ЬН з!п а з!п р = Яз, — аНсозасозр+ 5Нз)паз!п5 =с,гм (5.67) Обобщенные силы Я можно определить с помощью потенциала сУ = сУ(а, р, б). Выписывая потенциал, сразу же ограничимся Для вывода приближенных уравнений используем данные в и. 5.3.1 рекомендации. Здесь имеется только один ротор, поворот которого вокруг оси симметрии описывается циклической координатой гр, поэтому будет один постоянный кинетический момент 5.3.
Системы с быстровращвгощимиси гироскопами случаем малых отклонений углов а, 8, б от значений а = 6 = = 8 = О, соответствующих положению равновесия; тогда Н = г/,лтдз 1а'+ (6+ 5)') + '/,с Ьг. Мы положили (/(О, О, 0) = 0 и пренебрегли всеми членами, поря- док которых относительно а, 8, у выше второго; через с, обозна- чен постоянный коэффициент упругости пружины. Положив с = = гцкз, найдем обобщенные силы дУ вЂ” — = — са, да — — = — с(8+ 5), дУ дР— — = — с(р+ д) — свб. дУ дд Следовательно, линеаризованная для малых отклонений система (5.67) имеет вид Н(1+ НЬ+ са = О, — На+ сб + сб = О, — На + ср + (с + св) 5 = О.
(5. 68) Из сравнения с (5.64) видно, что матрицы, введенные выше, для данной системы будут такими: (5.69) Отсюда непосредственно видно, что г)е1 (др ) = 0 и число и = 3 здесь будет нечетным. Рассмотрим характеристическое уравнение системы (5.68) с НХ Н) = се (Н'1сз + с') = О. (5.70) с с+ со л = ~ Рр/Н (5.71) соответствует прецессионное движение. Хотя в данном случае условие (5.66/!) не выполняется, мы получили вполне достоверный результат, что будет показано ниже с помощью точного решення (см. формулы (5.77)). Если ограничить свободу движения системы путем арретирования внешней рамки, то 6 = — 0 и третье из уравнений (5.68) Л*(Р) =бе((датй+/вт) = — НР— НХ с Его корням с 0 0 0 0 с с+со Ь. Гироскопические системы 246 совпадет со вторым. Гироскопическая матрица для системы оставшихся двух уравнений будет '-[ ' "1 откуда бе1 (Лтат) = Н' ~ О. Из характеристического уравнения этой системы с НЛ б"*(Л) = = Н'Л'+ с =Π— НЛ с находим снова пару корней (5.7!), которым, следовательно, приближенно соответствует прецессионное движение и в случае арретированной внешней рамки.
Однако на этот раз полученное приближение обосновано выполнением условий (5.66). Если внутреннюю рамку жестко связать с промежуточной рамкой, то свобода движения системы ограничивается условием 5 = О, поэтому второе из уравнений (5.68) можно опустить. Для системы оставшихся уравнений вновь бе1 (дат) = Н' Ф О, а характеристическое уравнение принимает вид с НЛ тз"'(Л) = = Н'Л'+ с (с + с,) = Π— НЛ с+ се н имеет корни )/ с(с+ с ) Н (5.72) Это приближение тоже является законным, так как и здесь выполняются условия (5.66). Таким образом, приближенные уравнения, справедливые для рассматриваемой системы с быстровращающимся гироскопом, в трех указанных случаях оказываются вполне пригодными, причем для двух последних случаев этот факт обоснован выполнением условий (5.66). Учтем теперь ту часть )7з энергии, которая была отброшена при выводе приближенных уравнений. В случае малых отклонений от положения равновесия имеем )аз = '/и [(А ~ + Аз + Аз) аз + (В, + В ) ф + + 2(В|+ Вз)(зб+(В1+Вз+ Вз+ В4) бз].
(5.73) Через А и В с индексами обозначены соответственно моменты инерции ротора и рамок относительно двух осей, которые в положении равновесия совпадают с осями 1 и 2; индексы соответствуют обозначениям рис. 5.1. Используя (5.42) и введя величины А= Аз+ Аз+ Аз, В =В1+ Вз+ Вз+В4, В"=В1+Вз, 247 б,з. Системы с быстровращающимися гироскопами получим вместо (5.58) систему уравнений движения, в которых сохранены вторые производные от координат: Аа+ Н(4+ НЬ+ са=О, В'р+ В'Ь вЂ” На+ сй+ сЬ= О, В*5+ ВЬ вЂ” На + с5+ (с + сл) 6 = О.
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид АЛа+ с НЛ НЛ вЂ” НЛ ВЛ +с ВЛз+с — НЛ В'Л'+ с ВЛз+ с+ сз 5(Л) = или ЬзЛ + Ь4Л + ЬзЛ~ + Ьз 0 с коэффициентами 15.75) Ьа=АВ (Вз+ Вл) Ьз=Нт(Вз+ Вз)+ с(А+ В )(Вз+ В4) + сзАВ, Ь, = Н'сл + с'(Вз + Вз) + сс, (А + В"), Ьз = с'сз. При заданных численных значениях моментов инерции и параметров Н, с, с нетрудно вычислить корни уравнения (5.75). Мы займемся здесь только случаем Н вЂ” оо, чтобы иметь возможность провести сравнение с ранее найденными приближенными решениями. Оставив в коэффициентах уравнения (5.75) только высшие степени Н, заменим его следующим приближенным уравнением: ЛзАВ'(Вз+ В ) + Л4Нз(В + В4) + ЛзНзсз+ сзсз — — О.
(5.76) Используя то обстоятельство, что при Н- оо коэффициенты этого уравнения являются величинами существенно разных порядков, мы можем приближенно найти его корни, приравняв нулю сумму двух соседних слагаемых. Тогда 2 с Л! Н'' 3 с з Нз Л. = —, Лз = — —.. (5.77) В,+В, ' АВ" ' Корню Л, здесь соответствует прецессионное движение, корню Лз — маятниковые колебания, корню Лз — нутационные колебания, Корень Л, совпадает с приближенным значением (5.71), уже найденным другим способом. Собственные частоты трех типов движения систелзы при большом кинетическом моменте достаточно удалены одна от другой, поэтому приблп>кенг1ое решение, найденное выше, оказывается все же полезным для технических приложений, хотя сне~(Ь'рт) = О, 248 З. Гироскопические системы Аа+ Нб + са= О, В6 — На + (с + се) Ь = О.
Корни соответствующего характеристического уравнения Л4АВ+ Ле(Н'+ с(А+ В) + сеА]+ с(с+ се) = 0 (5.78) при большом кинетическом моменте Н вЂ” е- оо имеют приближенные значения с(с+ се) е Н' Л~ Н' ' АВ' Ле = — —. (5.79) Корень Л1 здесь снова совпадает с приближенным выражением (5.72), найденным другим способом, в то время как Л, соответствует частоте нутации. Механическии смысл полученных результатов очевиден: изменению направления в пространстве оси гироскопа теперь должно сопутствовать и движение внешней рамки; при этом как частота прецессии (корень Л1), так и частота нутации (корень Л,) отличны от значений (5.77) для случая иеарретированной внутренней рамки: первая — за счет воздействия пружин, вторая — за счет увеличения моментов инерции движущихся масс. 5А.
Уравнения движения типа уравнений Эйлера Эйлеровы уравнения движения твердого тела в форме (1.83) мы смогли получить из векторного равенства, выражающего теорему о кинетическом моменте, спроектировав это равенство на оси свя- занной с телом системы отсчета; началом координат служил либо центр масс 5, либо произвольная точка тела или пространства. Если требуется исследовать движение системы тел, то соответ- ствующие уравнения можно написать для каждого входящего в систему тела. Прп совместном рассмотрении этих уравнений воз- никают следующие три затруднения: 1) системы отсчета для различных составляющих тел вращаются одна относительно другой, 2) начала координат тоже могут перемещаться одно относительно другого, 3) реакции и их моменты, возникающие при взаимодействии тел системы, должны учитываться при составлении уравнений движения и входят в них как доцолннтельные неизвестные, В случае ограниченной свободы движения, например при арретироваиии внешней рамки (Ь = 0), в характеристическом уравнении (5.75) следует сделать предельный переход се†оо, и тогда из числа корней (5.77) останутся толы<о Л~ и Л,.
Маятниковые колебания при арретировании внешней рамки исчезают. В случае арретирования внутренней рамки (8 =— 0) лучше всего обратиться к следующей системе, получаемой для этого случая из (5.74): 5.4. Уравнения дан~кения типа уравнений Эйлера 949 о Н, = Н;+ е~ вй Не =М,. (5.80) Здесь Н; — общий кинетический момент всех составляющих тел, а Й, — локальная производная по времени в выбранной системе отсчета. Величины Н; зависят весьма сложно от относительных движений отдельных тел, поэтому в дальнейшем целесообразно равенство (5.80) рассмотреть подробнее. При этом из-за возможных относительных перемещений тел нельзя ограничиться только их вращательными движениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
