Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Для кинетической энергии симметричного гироскопа ранее 1гл. 1, формула (!.62)) было найдено следующее выражение; Вд Малые колебания гироскопических систем Отсюда находим уравнения Кельвина — Тэта, описывающие движе- ние симметричного гироскопа: Ад — А в|п д сов дфа = Яе — р„яп дф, (5.26) А в!пади+ 2А Мпд сов ддф=Я + рев1пдд. Динамические нагрузки в этом случае отсутствуют, так что в уравнения движения входят в качестве дополнительных сил только гироскопические силы с кососимметричной матрицей ~0 — 11 пав — — р в(пд ~ 1 5.2.
Малые колебания гироскопических систем Для приближенного исследования гироскопических систем особенно плодотворными оказались два метода: метод малых колебаний и метод, которым изучаются системы с быстровращающимися гироскопами. Здесь мы обсудим первый из названных методов, а в э 5.3 будут рассмотрены метод исследования и упрощения для систем с быстровращающимися гироскопами. Исходным пунктом в методе малых колебаний является линеаризация уравнений движения.
В качестве малых величин берутся отклонения координат системы от известных постоянных значений, соответствующих положению равновесия системы, или в более общем случае от известных функций времени а о(1), описывающих некоторое движение системы. Эти функции должны, очевидно, удовлетворять уравнениям движения.
Нас интересует, как изменят данное состояние системы малые возмущения. Координаты, описывающие возмущенное движение, положим равными Ча(~) Чаой) + ха (() (а= 1 щ) (5 2т) где отклонения ха(1) должны рассматриваться как малые по модулю величины. Если д„,— не зависящие от времени постоянные величины, то они соответствуют положению равновесия. Более важным для гироскопических систем является, однако, случай, когда д„о представляют собой функции времени.
5.2.1. Уравнения возмущенного движения. Используя выражение кинетической энергии Т = '/аа„„х),г)„ (5.28) з к. магнус Ь. Гироскопические системы дТ ! 2 (а»ЬЧЬ + а,»Ча) = аа»Ча, доу даат Оа»Ча + оауЧа Оа»Ча + д ЧЬЧа ЧЬ 1 дааа 2 д ЧаЧь. (5.29) дТ доу Здесь мы предположим, что оа не зависят явно от времени. Уравнения движения (5.1) принимают вид да„у 1 да„в оа»Ча + д ЧаЧЬ 2 д ЧаЧЬ ~у (у=1, ..., лу).
(5.30) Обобщенные массы оау (Ч~ Чт) = оау (Ч!о+ х~ Что+ хт) и входящие в (5.30) их частные производные можно разложить в ряды Тейлора по степеням малых величин х„: / даау 1 (, дев )о —:; =(" )..(:.';)." Индексом 0 обозначены значения соответству>ощих величин для невозмущенного движения. Подстановка этих разложений в выражения (5.29) дает с учетом (5.27) следующие равенства: Н Тдг'» / даау 1 ., 7 даат'1 ду ~д ) = оауоЧао+ ~а»ока+~ д ) Чаохв+ ( д ) Чво4ао+ Чь о ОВ О 7 даау 1 .
. . . 7 д'аау + ( д ) (Чвоха + Чае"в) + ( д д ) ЧаоЧво~р + 'у дев )о Чь Ооо д ) Если для обобщенных сил использовать аналогичные разложения 'еу — '>ус+ д хв+ д хв+ и учитывая, что обобщенные массы а ь могут зависеть от коор- динат Ч», найдем производные, входящие в уравнения движения (5.1): 227 5.2. Малые колебания гироскопических систем и учесть, что в силу (5.30) для исходного решения справедливы тождества ( даат ! ! / дааа У то уравнения движения (5.1) запишутся следующим образом: аа ха+5„ух„+со к,=Ру (у=1, ..., т). (5.3!) Здесь введены следующие обозначения: аа =аауо, 1( ду~ )о ( дду )о1 ч "а ( дЧа )о " Ыо' (5.32) " =( —.") ~(, 1: ) --(.
" Н '-( — ) Выражения Ру состоят из обозначенных выше многоточиями членов второго и более высокого порядка малости относительно х . В методе малых колебаний этими членами пренебрегают, т. е. полагают Р, = О. Тогда из (5.31) получаем систему линейных уравнений, которые называются уравнениями первого приближения. Ляпунов показал, что решение системы первого приближения в том случае верно отражает характер поведения возмущенных движений в окрестности исходного решения, когда корни характеристического уравнения этой системы имеют отличные от нуля вещественные части.
В случае когда хотя бы у одного корня вещественная часть равна нулю, требуются более подробные исследования с учетом нелинейных членов Р, (см., например, книгу Четаева (32)). Для дальнейших исследований нам понадобится несколько преобразовать систему уравнений (5,3!). Матрица масс по определению симметрична (аау = а ); матрицы й„у и с„у представим в виде сумм симметричной и кососимметричной матриц (гау с~ау + ьгау где г(ау /х ((гау + йуа) г(ау г!уа~ Иау lя ((гау йуа) аоау оуа (5.33) Сау = 1ау + Еау, где гау гх(сау+ суа) Гау Гуа~ ~ау = 4е(еау ~уа), еау = — Еу,. Тогда линейные уравнения движения, полученные из (5.31) при Р„= О, можно записать в виде оауйа + С(аула + Ыаука + ггауха + еауха = О (У = 1, ° ° °, лт).
(5.34) 228 5. Гироскопические системы Каждый из входящих сюда членов можно механически интерпретировать как обобщенную силу. Рассмотрим подробнее эту интерпретацию. Ат = — а„х, — суть силы инерции; своим происхождением они обязаны кинетической энергии — определенно-положительной квадратичной форме (5.7).
Рт= — с(„тх„— являются зависящими от скоростей неконсервативными силами, которые изменяют количество энергии в системе. Этим силам ставится в соответствие функция Рэлея О = '/ес(„,х,х„. Если 0 — определенно-положительная квадратичная форма скоростей, то энергия в системе рассеивается и движение затухает.
В этом случае 0 называется диссипативной функцией. 0 = — д, х„— уисе упоминавшиеся гироскопические силы, не производящие работы при любом движении системы. Если обобщенные силы Яе не зависят от скоростей х„, то д„т совпадают с Ь е, выражение которых дается равенствами (5.32). Р = — Г', х„— консврвативньле позиционные сильк потенциалом для которых служит квадратичная форма У = Я„~х„х . (5.36) Если движение системы происходит вблизи статически устойчивого положения равновесия, то У будет определенно-положительиой квадратичной формой.
Ее = — е„х,— неконсервагивньче позиционные сильк которые, как и силы демпфирования, могут изменять энергию системы. Их называют также циркуляционными силами. С такого рода силами мы встретимся, например, при рассмотрении гироскопических навигационных устройств (гл. 12). Влияние совокупности всех указанных сил на движение системы рассматривается в следующем пункте. 5.2.2.
Общие теоремы об устойчивости движения линейных систем. Для стационарных невозмущенных движений коэффициенты уравнений (5.34), описывающих возмущенное движение, будут постоянными. В этом случае можно доказать несколько общих утверждений об устойчивости движения и о возможности стабилизации движения.
Эти результаты являются существенными для конструирования гироскопических приборов и для понимания ги- 6.2, Малые кслебаяия гироскопических систем 229 роскопических систем, поэтому мы приведем их сводку и по мере необходимости будем давать соответствующие пояснения. Прежде всего следует указать на то, что все приведенные ниже утверждения справедливы для системы, движение которой описывается линейными уравнениями (5.34). Однако при условии, что мы не имеем дело с критическим случаем, когда действительные части корней характеристического уравнения равны нулю, все эти результаты могут быть перенесены и на исходную обычно нелинейную систему (5.3!). Движение линейной системы будет устойчивым, если действительные части Гсе(А) корней Х характеристического уравнения не положительны, причем в случае Гсе(г.) = О не должно быть кратных корней.
Возможным в этом случае незатухающим колебаниям соответствуют отклонения координат, не выходящие за определенные пределы; при достаточно малых начальных возмущениях опи остаются малыми. Это дает основание считать движение устойчивым. Если бы критический случай Гсе(2,) = О был исключен, то все консервативные системы должны были бы считаться неустойчивыми, что не соответствует нашим обычным представлениям. Если для всех 2, выполняется условие Гсе(Х) ( О, то система асихгптотически устойчива. Используемое здесь общепринятое понятие устойчивости связано с поведением системы при г- со. Это может вызвать затруднения при некоторых практических применениях, так как во многих случаях нас интересует поведение системы на конечном интервале времени. В частности, некоторые из применяемых на практике и весьма полезные гироскопические приборы должны быть названы в силу употребляемой здесь терминологии неустойчивыми.
Для определения условий устойчивости линейной динамической системы часто применяются критерии, которые в алгебраической форме были найдены Эрмитом, Раусом, Гурвицем и др., в эквивалентной геометрической форме — Найквистом, Леонардом, Михайловым и Неймарком. Насколько ценными и полезными являются эти критерии при исследовании заданной системы, настолько трудной оказывается часто физическая интерпретация получаемых результатов. Между тем в процессе проектирования или синтеза гироскопических систем физически наглядное истолкование результатов имеет особое значение.
Известно несколько общих теорем, удовлетворяющих этому условию физической наглядности; некоторые из них связаны с именами Лагранжа и Дирихле, но большинство принадлежит Томсону и Тэту [34). Хотя ими в первую очередь рассматривались консервативные системы, удалось также исследовать и влияние не- консервативных сил. Мы намерены собрать здесь вместе результаты, достигнутые в этой области к настоящему времени, причем указать лишь теоремы с наиболее общими формулировками. Преимущество теорем, указанных в приведенной ниже таблице, З. Гироскопические системы 230 состоит в том, что они позволяют сделать заключение о влиянии сил различного рода на устойчивость системы. Конструктору эти теоремы дают указание на то, какие силы следует применить, чтобы достичь желаемой работы прибора; аналитику же часто достаточно одного взгляда на набор имеющихся сил, чтобы заключить, будет ли система устойчивой или неустойчивой.
В уравнениях движения (5.34) мы встречаем силы пяти видов: силы инерции А„неконсервативные линейные относительно скоростей силы с>т, гироскопические силы бт, консервативные Р и неконсервативные Е, позиционные силы. Чтобы упорядочить множество систем с различными комбинациями сил, введем классификацию систем так, как показано в таблице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
