Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 36
Текст из файла (страница 36)
4.12, где Ао (6м) ( Ае (8 о) и, следовательно, ) а (Руо) ~ ) | а (61е) ! Таким образом, если Ве ) О, то азимутальная скорость на верхней граничной параллели больше, чем на нижней, так что действительная траектория не будет замкнутой, и средний уход совершается в направлении, совпадающем с направлением движения в точке 2, лежащей на верхней граничной параллели. Механическое объяснение того факта, что движение оси гироскопа, вдоль которой направлен вектор собственного кинетического момента, происходит только в азимутальном направлении, состоит в следующем: при отсутствии трения через подшипники вертикальной оси внешней рамки могут передаваться только моменты, векторы которых лежат в горизонтальной плоскости, поэтому конец вектора кинетического момента может двигаться только вдоль параллели.
4тй Устойчиаость астатического несимметричного гироскопа 207 Нутационные колебания гироскопа, будучи свободными колебаниями, неизбежно должны затухать. При уменьшении амплитуды ил нутацнонных колебаний средняя скорость ухода а тоже уменьшается, так что при а-+0 угол ухода гироскопа стремится к конечному значению. 4.5. Устойчивость астатического несимметричного гироскопа в кардаиовом подвесе Устойчивые движения гироскопа в кардановом подвесе с несимметричным ротором коренным образом отличаются от известных устойчивых движений одного твердого тела в случае Эйлера (гл. 2), когда устойчивыми являются вращения вокруг двух главных осей инерции, а вращение вокруг третьей оси неустойчиво.
Для гироскопа в карданоном подиесе тоже возможны вращения вокруг осей, с которыми совпадают главные оси инерции всех трех тел. Их устойчивость зависит не только от формы одного ротора, но и от распределения масс обеих рамок. Оказывается, например, что в описанном ниже устройстве, с помощью которого Прандтль демонстрировал устойчивость эйлеровых вращений, можно также Рис. 4ЛЗ, Колеса Принятия. получить устойчивые вращения ротора вокруг всех трех его главных осей или случай, когда вращение ротора вокруг одной из главных осей устойчиво, а вокруг двух остальных неустойчиво. Остроумный прибор Прандтля представляет собой выложенный свинцом обод велосипедного колеса, которому с помощью стержневого подвеса обеспечено свободное вращение вокруг трех осей (рнс.
4.13). На ободе закреплены еще два дополнительных груза, поэтому его главные моменты инерции попарно не равны, 208 4, Гироствт и гироскоп в кврдвиовои подвесе Стационарными движениями в рассматриваемом устройстве являются 1) вращение вокруг оси ротора, 2) вращение вокруг вертикальной оси подвеса при таком положении невращающегося ротора, что дополнительные грузы находятся иа наибольшем расстоянии от вертикальной оси, 3) то же, что и в случае 2, но при повернутом на 90' роторе.
Эти движения мы будем называть вращениями Прандтля. С помощью других дополнительных грузов, помещенных на удлиненной оси ротора, можно изменять моменты инерции всей системы и добиться того, чтобы момент инерции относительно оси ротора оказался наибольшим, средним или наименьшим среди главных моментов инерции всей системы.
Три вращения Прандтля по существу можно указать и для гироскопа в кардановом подвесе. При этом указанные выше отличия от эйлеровых движений проявляются даже лучше, чем для колеса Прандтля. Кроме того, гироскоп в кардановом подвесе допускает любой угол поворота вокруг оси внутренней рамки, в то время как соответствующий угол поворота стержневого подвеса колеса Прандтля ограничен возможностью опрокидывания. В то же время оказывается, что наклон внутренней рамки существенно влияет на устойчивость вращения вокруг оси ротора. Это будет показано ниже. 4.5.1.
Уравнения движения и частные решения. В силу (4.31) и (4.32) кинетическая энергия несимметричного гироскопа в кардановом подвесе записывается в виде Т = '/и (а'(сове 8(Аи сов'у+ ВЯ в!п'у+ Ат+ А') + + яп'8 (Си+ Сз+ А'))+ бв(Ал в!п'у+ ВЯ сов'у+ Вг)+ увСл+ + аб (Ан — Вя) сов 8 з(п 2у+ ау2Ся в!п Я. (4.69) Это выражение при А" = В" переходит в (4.34).
Но теперь вместе с производной от угла у в него входит и сам угол, который уже не является циклической координатой. Поэтому здесь не удается получить достаточное количество интегралов уравнений движения, чтобы найти их общее решение, как это было сделано в случае симметричного ротора в п. 4.3.
Мьг выпишем сами уравнения движения и укажем некоторые частные решения. Уравнения движения, полученные из (1.87) и (4.69), имеют при (г' = 0 следующий вид: а(сов'8(Аи совву+ Вл в!п'у+ Аи+ А')+ в!пи 8(Си+ Си+ А')! + +8'/т (Ал — ВЯ) сов 6 в!п 2у+уСл яп !1 — аб яп 28 (Ан сове у+Вл в!п"у+ + Аг — СЯ вЂ” Сг) — ау (Ан — ВЯ) сов'(1 и!и 2у— — рт/в (АЯ вЂ” Вн) в!п р в!и 2у+(1у сов(!((Ан — Вл) сов 2у+СЯ) = О, (4 70) 4.5. Устойчивость астатичсского иесимметричиого гироскопа йвй а'/г (А" — Ва) соз (! з!п 2у + р (Аа з!п' у + Вл созг у + Вг) + + агз/г з!п 2[! (Аа соз' у + Ва з!пг у + Аг — Са — Сх) + + аусоз 8 [(Ал — Ва) соз 2у — Са]+ ру(Ал — Ва)з!п2у = О, (4 71) аСл з1пр+ уСа+ й"/г (Аа — Ва) созгбз!п 2у— — а[1 соз р [(Ал — Ва) соз 2у — Са[ — 8г'/г (Аа — Ва) з!п 2у = О. (4.72) Эта система трех нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка имеет следующие частные решения: 1) вращение ротора вокруг своей оси а = ао Р = бо у = уо (4.73) где ио, бо, уо — произвольные постоянные; 2) вращение вокруг осн внешней рамки у=о, у = п/2, у=ус где ао и уо — произвольные постоянные; 3) вращение вокруг оси внутренней рамки а) а=ао 8 =8о у=О, Ь) а =ао 8=[)о у=а/2, (4.77) (4.78) где ио и йо — произвольные постоянные.
Вращениям Прандтля соответствуют случаи 1, 2а и 2Ь. Случай 2с, когда ось ротора совпадает с осью внешней рамки и рамки складываются, мы рассматривать не будем. Далее будет исследована только устойчивость вращений Прандтля; относительно случаев За и ЗЬ см. [31]. 4.5.2. Вращение вокруг оси ротора. Для движений, близких к перманентному вращению (4.73), введем вариации хз, х„хз переменных с помощью равенств а=ао+хо й=~о+хг у=уо+хз. (4.79) Уравнение (4.72) примет вид С (х! з1п Ро+ хз) ет (хз хг хз) Здесь через Я обозначена совокупность членов, имеющих относительно вариаций второй или более высокий порядок малости. В первом приближенна этими членами можно пренебречь, тогда а) а=аз, Ь) а=ао с) а=аз, 8=0, 8=0, [з = и/2, (4.74) (4.75) (4.76) 4.
Гнростат н гнросноп а нарданоаон подаесе имеем х, = — х1 яп ра С учетом данного равенства уравнения дви- жения (4.70) и (4.71) запишутся следующим образом: х, [соз' 8о(Аа соз' у + Ва з1п' у + Аэ + А") + з1п']!о (Сг + АА)] + + х,'/а (Аа — Ва) соз Роз)п2у — х,уо(Ал — Ва) соз'Цояп 2у+ + хауосоз]!а[(Аа — Ва) сов 2у+ Сл] =!с1, (хп ха, ха), (4.80) х,'/а (Аа — Ва) соз ~а з(п 2у + х, (Аа з)п' у + Вн соз' у + Вх) + + хаус соз ро [(Аа — Ва) соз 2у — Са] + х,у, (Аа — Ва) з)п 2у = = Яр (х„х„ха). (4.81) Левые части этих уравнений состоят из линейных относительно х, и ха слагаемых с переменными коэффициентами (угол у линейно возрастает со временем: у = уп!). Довольно громоздкие уравнения (4.80) в (4.81) можно приве- сти к обозримой форме, если вместо производных х~ и ха, совпадаю- щих с вариациями угловых скоростей а и 8, использовать пере- менные и и о, которые являются вариациями компонент саа и гаа угловой скорости ротора.
На основании (4.32) переход от старых переменных к новым дается преобразованием и = х, соз ра соз у + х, з!п у, (4.82) о = — х, сов рояпу+ х,созу, означающим введение системы координат, связанной с ротором. После замены (4.82) уравнения (4.80) и (4.81) приводятся к следующему виду: (Аа + 6а) и — [(Ва + 6а) — Са] оу, = = — 6о[(и — уоо) сов 2у — (8+ уаи) яп2у]+се'„саар + гсвяпу, (Ва + 6а) б — [Са — (Аа + 6а)] иУо = = — 6о[(и — Уао)з)п2У+(6+У,и)сов 2У] — Яр "" +ЯосозУ,(4.83) 6а= —,'(Ад+В')+ —,'С'!а'8о+, ", =6з(8а), 6о — — (А' — В') + — Сх !и 8а+ а — 6о(])о).
! ! А В величинах 6а и 6о находит свое выражение влияние инерционности карданова подвеса. Для безынерционных рамок 6н = 6о = = О, и в этом случае левые части уравнений (4.83) совпадают с левыми частями двух первых уравнений Эйлера, записанных для ротора. Величины 6н и 6о можно толковать как добавки, которые следует присоединить к моментам инерции ротора, чтобы учесть влияние рамок, причем оно зависит от положения внутренней рамки, 4В.
Устойчивость астатического несимметричного гироскопа 21! Соответственно принятому в теории малых колебаний подходу мы пренебрежем величинами Я„и Яз, которые имеют порядок малости выше первого. В результате получим систему линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами, которая в двух особых случаях может быть решена элементарно. Таковыми являются 1) 6о=О (4.84) или 2) и — у,о =О, (4.85) о+ус Случай ! ) с достаточной точностью реализуется колесом Прандтля (рис. 4.13), подвес которого подобен карданову подвесу; случай 2) имеет место для стержнеобразного ротора, у которого С" = О, А" = В".
В обоих случаях в уравнениях (4.83) остаются только их левые части, т. е, приходим к системе линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, решением которой будет и = и,сов(т! — ~р), о = оса!п(т! — гр), (А + 6а — СЯ) (Ви + 6з — С ) (А +6з)(В +6 ) ое а/ (А +6~)(А +6з — С ) у~ ~I (Вя+,з)( я+ з Са) (4.86) Необходимым условием устойчивости движения, описываемого равенствами (4.86), является условие та) О, или (Ам+Ох — СЯ)(ВЯ+ез — СЯ) ) О. (4.87) Отсюда можно заключить, что движение будет заведомо неустойчивым, если Аа ) СЯ вЂ” Оз ) ВЯ, (4.88) Если условие (4.88) не выполняется, то линеаризованная система (4.83) с отброшенными правыми частями будет устойчива в смысле Ляпунова.
Тем самым найдено необходимое условие устойчивости для исходной нелинейной системы уравнений (4.70) — (4.72). Но, согласно известной теореме Ляпунова, это условие не является достаточным. Условие неустойчивости (4.88) было получено только для двух особых случаев, а именно для (4.84) и (4.85). Оказывается, однако, что в первом приближении оно справедливо для системы (4.83) и в общем случае. Действительно, данную систему с периодическими коэффициентами можно решать, например, методом итераций. Этим методом находятся последовательно приближенные решения и условия их устойчивости или неустойчивости с возрастающей точностью.
Такой способ последовательных приближений й. Гпростат и гиРоскоп в кардаповом йодвесй осуществлен в работе (33). В первом приближении этим методом получается именно условие (4.88). Во втором приближении находится более точное условие неустойчивости Аа > 6 (Ро) > Ва, (4.89) 6 (ро) З (Аа + Еэ) (В + ю~) (С~ — !й~) + (!й~) (иАЛ + дна + 56~ — Са) з (Аа + н') (Ва ~- ей) — (но)й Это условие при 6в = 0 снова переходит в (4 88). Графики функции 6(ро) для гироскопа в кардановом подвесе при трех различных значениях массы внутреннеи рамки приведены на рис.
4А4. Кривая 1 соответствует изображенной на рнс. 4.2 модели карданова подвеса, внутренняя рамка которого не имеет добавочных грузов. Юо! 0 ууе! гпйз усат яlй угв Рпс. 4.!Е. К определению устойчивости несимметричного гироскопа в пардвновом подвесе. Условие (4.89) выполняется тогда, когда график функции 6(ра) лежит в затененной критической полосе. Для кривой 1 оно выполняется в интервале ро! ( ро ( рой. При углах наклона внутренней рамки, лежащих в этом интервале, движение будет заведомо неустойчивым. При 8о ( ро! и йо > рой устойчивость возможна. Если на внутреннюю рамку поместить добавочные грузы, то график функции 6(ро) изменится, что иллюстрируется кривыми 2 и 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
