Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Здесь тоже можно говорить о движении за».з меняющего гироскопа с самовозбуждением, зависящим от времени и угловой скорости. 4.1. Гнроствт 184 4.1.2. Свободный симметричный гиростат. Будем считать, что М; = 0 и Ак = Вк; тогда вследствие Ав = В" имеем также А = = В. В этих предположениях уравнения движения (4.7) решаются без труда. Прежде всего из (4.7/3) следует, что Оув — — ыы. Затем, введя комплексную функцию От*= От»+!Оуь (4.8) заменим два первых уравнения (4.7) одним эквивалентным уравнением Айт'+ 1[(А — С") Отзб — Ни[От" = О. (4.9) Его общее решение, удовлетворяющее начальному условию От'(0) =Отб', имеет вид От* = Отюе »т», гДе чг =1(А — СК) Отао Н»»»)[А' (4 10) Вектор Оу», составляющими которого являются Отзб и От' = О»1+ +»буй, при движении несущего тела вращается вокруг оси 3' с кру- Рнс.
4.1, Подвнжнмй аисоид, соответствующий двиигению свободного симметричного гиро- стата. говой частотой Р, образуя боковую поверхность прямого кругового конуса (подвижного аксоида, см. рис. 4.1). Угол 14 между образующей и осью конуса определяется из соотношения (и 14 =! Отй [»' Оузо. О Гиростат и гироскоп в кардаиовои подвеси 582 Неподвижный в пространстве вектор кинетического момента Н; в системе отсчета, связанной с телом, тоже движется по поверхности прямого кругового конуса, коаксиального с подвижным аксоидом.
Движение самого гиростата представляет нутационные колебания, при которых ось 3', являющаяся и осью вращения ротора, и осью симметрии гиростата, вальсирует вокруг неизменно направленного вектора кинетического момента. Вектор Н =(Ав! Ав» Сквао+НЯ) лежит в плоскости, проходящей через вектор в! и ось 3'.
Угол раствора д конуса, описываемого этим вектором в связанной с телом системе отсчета, определяется равенством (об=(иб,= "!юо! С~вес+ Н (4.11) откуда с учетом (4.11) получаем ! фо ' 6 А )гг(А ~ в," ~)'+ (Скв,о+ НЯ)й (4.12) 1юо ! Мы нашли обобщенную формулу, определяющую частоту нутационных колебаний, которая при Н" = 0 переходит в известное выра>кение, справедливое для одного твердого тела. Угловую скорость ф собственного вращения нетрудно найти из равенства вао = ф+ фсозд, если использовать (4.11) и (4.12): ф = в„— (С~вм + Н У(А = пг, (4.13) откуда после интегрирования определяется угол Эйлера гр.
Нутациоиное движение симметричного гиростата, подобно движению одно~о твердого тела около неподвижной точки, можно трактовать как качение подвижного аксоида по неподвижному. Такую интерпретацию дал Лейпгольц в (15) '). Однако она не столь наглядна, как в случае одного твердого тела (см. 3 2.1). 4.1.3. Вынужденное движение симметричного гиростата. Полученное в п. 4.!.2 решение можно без труда обобщить на случай, когда имеется момент Мь проекция которого на ось симметрии равна '! В русский перевод [гв! статьи Лейпгпльца ие иключеиа.
— арпи. ред, Если ось 3 неподвижной системы отсчета направить вдоль по- стоянного вектора Нь то угол д = бо между этой осью и осью 3', связанной с телом, будет являться одним из углов Эйлера. Ско- рость изменения ф угла Эйлера ф находится, согласно (1 49), из соотношения ~ во ~=в',+во™+(фз(пбо)'=Ф'3!п'до, 4.!. Гиростат !88 нулю'). Тогда из (4.7/3) снова следует ва = вао, а из первых двух уравнений, полагая М* = М, + >Ма имеем Аа*+ !((А — Ск) а — Нл) в'= М'. (4. 14) Полагая М'/А = и* и сохраняя обозначение (4.10) для т, запишем (4.14) в виде уравнения й + !атв = ел*, (4.15) общим решением которого будет в'=в'е '" -1- )' лг'(т)е 'е" "о(т.
о о (4.16) Для некоторых видов функции т'(!) интеграл можно вычислить и затем обсудить полученный результат, как это было сделано для аналогичного решения (3.129), описывающего движение гироскопа с самовозбуждением. 4.1.4. Свободный несимметричный гиростат. Для гиростата с несимметричным несущим телом (Ак Ф Вк) в случае отсутствия внешних моментов также можно найти точное решение. Способ нахождения решения такой же, как и в п. 2.3.1, но потребует больше выкладок. Мы ограничимся лишь тем, что наметим путь вычислений. В качестве исходных уравнений возьмем уравнения (4.7), в которых положим М; = 0: Ай, — ( — Ск) в,в, + Н "аг — — О, Вйг — (С вЂ” А) аав, — Нла, = О, Сказ — (А — В) в~во = О. Умножив эти уравнения соответственно на вь в,, вм сложив и проинтегрировав по времени, получим интеграл энергии т/г (Ааг + Ваг -1- Скв') = Е (4.18) Умножим далее уравнения (4.17) на составля>ощие кинетического момента Авт, Ввг, Слвг, сложим и проинтегрируем по времени: Агсо,' + В'о>г + (Ск)г ваг + 2Нл ~ (А — В) в, вг Ш = сопз1.
'> Прелиоломсатие Мд 0 остается е силе. — Прем рсд Здесь Ео равно разности между постоянной полной энергией гиростата Ео и энергией собственного вращения ротора вокруг его оси симметрии: Ео = Ео тгНлаало = Еа >7гСл (вл)г 4. Гиростат и гироскоп в кардановом подвесе Интеграл можно вычислить с помощью (4.! 7/3); в результате получим .4заг+ Взвуз+ (Ск)з вуг 1 2НпСкву Н' (4.19) где Но =(Н,) — (Н )'; через Но обозначен полный кинетический момент гиростата. С помощью первых интегралов (4.18) и (4.19) составляющие угловой скорости втг и итз выражаются через составляющую озз. Подставив эти выражения в (4.17!3), получим для соз дифференциальное уравнение первого порядка А — В фз = оу~ (озз) отз(озз) = В (озз) С (4.
20) откуда после разделения переменных следует Путем обращения интеграла найдем функцию вуз(1), подстановка которой в найденные ранее выражения позволяет найти зависимость от времени и составляющих втг и озз. При практической реализации указанного способа нахождения решения придется рассмотреть значительно больше различных частных случаев, чем для одного твердого тела (5 2.3) Лейпгольц (29) нашел при исследовании этой проблемы четыре различных типа решения для семи случаев. 4.1.5.
Перманентные вращения тяжелого гиростата '). Пусть точка подвеса гиростата не совпадает с центром масс, и пусть внешний момент М; в (4.1) обусловлен только силой веса. Тогда из (3.26) с учетом равенства Од = — Оазд следует, что М; = — глегудггазд (4.21) оуг = ауге с(оуг'с(( = О. Н". = 6 ..го = 6. оз., пг иго Поскольку вектор кинетического момента Нг тоже будет неподвижен отиок сительно тела и постоянен по величине.
Так как, кроме того, момент силы веса не влияет на вращение ротора относительно тела, то относительная угловая скорость и кинетический момент ротора, Ч В втам пункте в отли чие ат предыдущих не предполагается, нто ось вращения ротора совпадает с главноа асье пнерцнн несущего тела — Прим рсд Перманентным вращением назовем снова, как в п.
3.3.4с, вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной и в про- странстве, и относительно тела: 4.1. Гиростат 186 соответствующий его относительному вращению, также остаются постоянными. При указанных предпосылках в исходном уравнении (4.!) исчезает член, содержащий относительную производную аг'/с((, так что для определения перманентных вращений остается условие равенства гироскопического момента и момента силы тяжести: (4.22) Это равенство может выполняться только тогда, когда векторы мь Н, + Н;, зь азг компланарны (только в этом случае состав- К Я ленные из них векторные произведения будут коллинеарны). Вектор ам вертикален, поэтому связанная с телом плоскость, в которой лежат все перечисленные векторы, должна все время оставаться вертикальной.
Но это возможно лишь при условии, что вектор угловой скорости еи тоже вертикален: (4.23) ВЦ = Етго = М'ззо Таким образом, перманентные вращения тяжелого гиростата, подобно вращениям Штауде твердого тела, могут совершаться только вокруг вертикальной оси. Используя (4.23), можно привести равенство (4.22) к виду озгеааазгдыаз, + веп,аз, Наа + Оецаз,аза = О.
(4.24) или 82 зз З~ Зг Зз = О. (4.25) аз~ азг азз Нк Не Нд 3 з аз1 азг азз Лаз, Ва,а Са, Мы получили квадратное уравнение относительно оз с постоянными коэффициентами, ибо все входящие в векторные произведения векторы связаны с телом и постоянны. Следовательно, из (4.24) можно найти угловую скорость перманентных вращений для любой связанной с несущим телом оси. Легко убедиться, что при неравном нулю моменте силы тяжести перманентные вращения гиростата в отличие от вращений Штауде твердого тела могут совершаться с конечной угловой скоростью также вокруг главных осей инерции несущего тела. В этом особом случае из уравнения (4.24) исчезает слагаемое с озг, а оставшиеся члены означают, что момент силы тяжести компенсируется гироскопическим моментом ротора, ось вращения которого не должна, конечно, совпадать с главной осью несущего тела, Положение в несущем теле осей перманентных вращений можно найти из (4.22).
Умножив это равенство скалярно на вектор зь получим условие, определяющее кинематически возможные оси: 3, ем,а, (Нк + Нза) = и ем аз, (оздакгазг + Нак) = О, 166 4. Гиростат и гироскоп а кардаиовом подвесе Подставив сюда найденное из (4.24) значение в, будем иметь уравнение, в которое, кроме компонент кинетического момента ротора и Н; входят величины, зависящие лишь от несущего тела. Совокупность векторов а„, для которых выполняется условие (4.25) совместно с (4.24), определяет связанный с телом конус, который можно назвать обоби!ениым конусом Штауде.
Поверхность этого конуса является геометрическим местом кинематнчески возможных осей перманентных вращений. Однако среди этих осей динамически возможными будут только те, для которых выполняется равенство (4.22). Динамически возможные оси могут соответствовать устойчивому или неустойчивому движению. Поэтому следует провести исследование устойчивости, подобно тому как это было сделано в п. 3.3.4с для одного особого случая движений Штауде. 4.1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
