Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Второе решение означает стационарное вращение вокруг осн, лежащей в Таким образом, все три составляющие в; как функции времени найдены. Саму вспомогательную величину а можно получить по- следующим интегрированием из в[ = да/[(г: '="+ 1.,"". ='(а) Образовав обратную функцию, мы найдем а(г).
Получающиеся здесь интегралы в общем случае не приводят к табулированным функциям. Однако представление о возможных видах движения можно получить путем качественного анализа функций от а, фи- гурирующих в (3.156) (см., например, Лейманис [7, 3 11)). Укажем еще на одну важную и несколько неожиданную особен- ность: система уравнений (3.155) допускает два совершенно различных частных решения, где составляющие в постоянны, а именно: 1) в[=во, во=во=6, 2) в,=й, во=пузо вз=взо с причем взовзо= С В во. звв 3. Гироскоп. Силы и движение плоскости 2-3. Это вращение может поддерживаться моментом привода гироскопа, направленным по оси 1.
Но в таком случае момент больше не служит в качестве движущего вокруг оси 1, так что желаемая скорость собственного вращения не может быть достигнута. Хотя, как показал Граммель, решение (3.158!2) неустойчиво, тем не менее для определенных начальных условий не происходит перехода к первому решению. Движение представляет собой вращение, вектор угловой скорости которого колеблется около осн 2, но желаемое состояние се1 = сео не наступает.
3.5. Гироскоп с вынужденным возбуждением Если моменты, входящие в уравнения гироскопа (1.83) или (1.84), имеют своей причиной внешние воздействия и если их составляющие являются известными функциями времени в системе координат, не связанной с телом, то обыкновенно говорят, что мы имеем дело с гироскопом с всчнужденнььн возбуждением. При этом большей частью представляют интерес периодические функции возбуждения, хотя исследовались также и функции случайного характера. Роль последних существенна в случае применения гироскопов в навигационных приборах для судовождения, аэронавигации и космонавтики, поскольку волнение и шквалистый ветер, которые могут привести к вынужденному возбуждению гироскопических приборов, можно рассматривать как случайные функции. В качестве первого примера рассмотрим вынужденное движение тяжелого гироскопа, вызванное колебаниями его точки подвеса. Если Ь; — ускорение точки подвеса, то момент, действующий при этом на гироскоп, может быть определен точно так же, как в разобранном выше случае тяжелого гироскопа.
Нужно только вместо ускорения силы тяжести дз подставить разность аз — Ьь Таким образом, из (3.26) получим Мс = азиз!зе! (из Ьз). Обозначим з; = вам, где а,з — единичный вектор в направлении оси симметрии тела. С другой стороны, мы можем написать дс — Ь| — — — [Ь~ап + Ьзазж + (й'+ Ьз) азс! где ам, ам, ам — неподвижные единичные векторы, причем аз; на- правлен вертикально вверх. Отсюда получаем момент М, = — тее;,а/з(Ь,аы + Ьзазз + (д+ Ь,) азз]. (3.159) Совершенно аналогичное выражение можно получить в примере, заимствованном из области молекулярной физики. Здесь нас может интересовать поведение врагцающнхся магнитно поляризованных частиц, которые находязся в изменяющемся во времени внеш- 35. Гироскоп с вынужденным возбуждением !89 нем магнитном поле.
Если магнитный момент частицы рассматривать как вектор ри в направлении намагниченности частицы и если Ь, — вектор напряженности внешнего магнитного поля, то на частицу (т. е. на гироскоп) накладывается момент М, = — емец,Ь,. (3. 160) Разложим напряженность поля на постоянную и переменную составляющие: Ь > = Ь > + 6';. Примем, что ось 3 неподвижной системы координат 1, 2, 3 направлена по постоянной составляющей напряженности. Тогда можно написать Ь> =Ь!а»+ 6'ам+(Ь + Ьз) азь Приняв далее направление намагниченности частицы за направление осн 3', получим )з; = !заев.
Следовательно, результирующий момент принимает вид М> = — !запел>з ГЬ~ а>з + Ьзаы + (6 + Ьз) азз1, (3.161) который совершенно аналогичен (3.169). 3.3.!. Возбуждение переменным полем, параллельным постоянному. Будем рассматривать поле неизменного направления, для которого Ь> = 6> = 0 и Ьз — (Ь + Ьз) аз> =Ь (1+усова!) аз> (3.162) Модуляцию здесь отражает функция косинуса, а глубина модуляции обозначена через у=йз/Ь~. Для эйлерова угла д, показанного на рис.
3.37, имеем з!п О =! зыка!заве ! и, таким образом, значение момента (3.161) равно М = рЬ'(! + у соз в!) з!яд. (3.163) — [С (ф + з[> соз О) [ = О, С (ф + з)> соз 6) = Св = сопз1. или (3.164) В дальнейшем ограничимся случаем симметричного гироскопа (А = В) и предположим, что ось 3' совпадает с осью симметрии. При этих посылках вынеденные ранее уравнения (1.90) могут быть непосредственно приложены к этому случаю. Ввиду М„= 0 из (1.90/3) следует гто 3. Гироскоп.
Силы и движение Вследствие Ме — — О н Мб — — — рй'(1+ т соз в!) 3!и 6 из двух других уравнений получаем Ае(г з(п'6 + Св„соз 6 = Но —— сопз1, (3.165) Ад — Асрв3!об созб+ Сввннр3!яд= — !3Ло(1+ у сов в!) 3!пб. (3.166) Аналогично случаю классического тяжелого гироскопа равенства (3.164) и (3.165) выражают то обстоятельство, что составляющие 3 г' !г Рис. 3.37.
К рвсчегу гироскопа с вынужденным вовбужденпем. кинетического момента по оси симметрии 3' и по неподвижной оси 3 постоянны. При у = О мы возвращаемся к уже рассмотренному выше тяжелому гироскопу. Для выяснения влияния функции возбуждения рассмотрим возмущенное движение относительно регулярной прецессии. При у = = О уравнения (3.164) †(3.166) имеют частное решение (3. 167) 6 = Ое нр = срс Ф = Фо причем, согласно (3.58), фо = взо — ейо сов Ое.
Рассмотрим теперь решения для возмущенного движения 6=63+ х, 3Р =е(го+ у, утьО, (3.168) где х, у, у — малые первого порядка, Поскольку ф нас не интересует, мы в дальнейшем не будем принимать ее во внимание (если потребуется, то ее потом можно найти из (3.164)). Подставляя (3.168) в (3.165) и (3.166) и опуская при этом величины вышс Зд. Гироскоп с выиуи<деииызз возбуждеиисы !71 первого порядка малости, получаем линейную систему уравнений в вариациях Ах+ (Созв,зрп сов б, — А4 соз 20, + рй~ сов бп) х+ + (Созвю ззпбе — Азрс и!и 2бо) у = — !зйпу яп бс соз оз1, (3.169) (Афс яп 2бс — С созе з 1п бп) х + А я из Осу = О. Исключая из этих уравнений у, находим х+ тех= — и т ' сов озй рйзт в1п о (3.!70) где т =( А ) — 3 А зросозбв+зро(2+сов 2бп)+ А созбв.
Общее решение уравнения (3.!70) слагается из собственных колебаний с частотой т и вынужденных с частотой оз. Мы можем написать (3. 171) б — б, + 8 соз (тЫ + б) —,, соз со!, где зВ, б — постоянные интегрирования. Величина у, а следовательно, н зр легко находится из (3.169/2). Результат (3.171) можно толковать как наложение регулярной прецессии (б=бе), нутационных колебаний (сообразно определенным начальным условиям) и вынужденных колебаний. То, что частоту т позволительно принимать за частоту нутации, следует из формул для быстровращающегося гироскопа: Свззз раз А вз' А что означает и ж озы. Выражение для амплитуды вынужденной составляющей в (3.171) указывает на возможность резонанса при равенстве собственной и вынужденной частот. Результат (3.17!) является решением первого приближения в смысле теории малых колебаний.
Уточнение расчета, в особенности при значениях у, которые уже нельзя полагать малыми первого порядка, может привести к качественно новым явлениям, подобным тем, которые были найдены для обычных физических маятников с колеблющейся точкой подвеся и наблюдались экспериментально. Не вдаваясь в подробности более полной теории, наметим здесь лишь удобную для расчета методику. Вычислив из (3.165) значение зр и подставив его в (3.166), получим Нз — Сезза сове ! / Нз — Свзо сов Эззв т озвв Азиза ! Азпзб ) соз" + + !зЬв(1+ тсозиз!)~ япб= О, (3.172) !72 3.
Гироскоп. Силы и лвигкеиие или Это нелинейное дифференциальное уравнение с периодическим ко- эффициентом можно исследовать с помощью формулы Фурье О=до+ Хс(„е'в"' (3.173) Вычисляя по методу итераций последующие приближения, подобно тому как это было выполнено Вайденгаммером (27], можно обнаружить во втором приближении два новых явления: 1. Некоторой средней угловой скорости прецессии з(го сопутствует несколько отличный от бо средний угол д при вершине конуса прецессии. Это соответствует отклонению положения равновесия маятника при колебаниях точки подвеса. 2. В результате колебаний возникает дополнительный направляющий момент, накладывающийся на момент от постоянного поля. Вследствие этого изменяются условия устойчивости для гироскопа с верхним расположением центра тяжести.
Оба названных явления удается обнаружить во втором приблиг женин благодаря подстановке д(! + Ьсоз бв) вместо ускорения силы тяжести д. Здесь ~ — безразмерный, обусловленный колебаниями параметр, который может быть выражен следующим образом: тзрае 2Аыз при возбуждении периодическим перемен- ным полем, при периодических колебаниях с амплиту- дой а точки подвеса тяжелого гироскопа. (3.
174) аепгзыз 2дА пзз — — у + а з!ц 5 = огзв — — сопя!. (3.175) Тогда первые два уравнения упрощаются: Аа соз' 5 — Аа!з з)п 25 + Согзер соз 5 = М„ Ар+ Аа'з)п р сов (1 — Согзеа совр= М„. (3.176) 3.5.2. Возбуждение поперечным переменным полем. Если составляющие ускорения бг и Ьз в (3.!59) отличны от нуля, то для описания возможного движения целесообразнее вместо углов Эйлера воспользоваться кардановыми углами и, 5, у, определенными в п. 1.4.3с.
Тем самым можно обойти неопределенность эйлеровых углов, возникающую при б = О. Мы можем воспользоваться непосредственно уравнениями движения (!.91). Так как, согласно (3.159), момент М, не имеет составляющей по оси симметрии (ось 3'), то Мт = О, и из (1.9!/3) следует З.б. Гнроскоо с вынужденным возбуждением 173 Моменты М„и Мв можно найти, например, проектируя (3.159) на осн неподвижной системы координат. Соответствующие единичные векторы имеют следующие координаты: аа — — (в!п5, — в!пасов]3, совасов!3), а„=( 1, О, 0 ), ам=( О, 1, 0 ), азс=( 0 0* 1 ).
Подставив их в (3.159), получим М, = те((д+ Ь,) в!пасов(3+ Ь,совасов]3], М,=те((д+ Ь,) в!пй — Ь, совасов Ц М, = — те (Ь, в!п а сов ]3 + Ьз в!п ]3). (3.177) Ив рис. 1.25 видно, что угол а — это поворот вокруг оси 1, а угол 5 — вокруг оси 2 (2'). Поэтому Мо М1 Мв — — М, сов а + Мз в!п а, или М = пзз ((д + Ьз) сов а в!п (3 — Ь, сов 5 — Ь, в!и а в!п ]3]. (3.178) Подставляя, наконец, (3.178) в (3.176), получаем в общем виде уравнения движения в кардановых углах а и 5.
Найти общее решение этих нелинейных уравнений в явном виде невозможно. Поэтому мы ограничимся здесь исследованием случая малых углов а и ]3, тем более что уже при этом предположении удается выявить сушественные особенности движения. Полагая а « 1 и Р « 1, мы приходим к линеаривованным уравнениям Аа+ СоззФ вЂ” тз(д+ Ьз) а = тзЬз, А]3 — Соззоа — тз(д+ Ьз) Д = — гпзЬы (3.179) Приведем их к одному уравнению в комплексной форме Ах — зСоззох — тз (д+ Ьз) х = — !тзЬ", (3.180) где х = а + !]3, Ь" = Ь, + !Ьз. Найдем решение этого, пока еше весьма общего уравнения для двух частных функций ускорения. а) Вращающееся возбуждающее поле, перпендикулярное постоянной составляющей. При Ьз = 0 уравнение (3.180) переходит в дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и функцией возбуждения в правой части.
При Ь* = 0 уравнение становится однородным; оно позволяет найти собственные колебания. 3. Гироскоп. Силы и двиакеиие Г74 Собственные частоты определяются корнями характеристического уравнения АЛг — 1СввоЛ вЂ” тзд = О, именно Л, =(ве — А !1-+- )г! — 4тдеА/(Сгвг) !. (3.181) Они соответствуют полученным выше значениям (3.60) для бо = О. Собственные колебания могут быть вновь названы нутацией (ввг) и прецессией (вр), потому что при высокой скорости собственного вращения мы получаем уже знакомые нам собственные частоты Сва А иге я 'ор = в за Теперь предположим, что возбуждение исходит от поля постоянной напряженности Ьо, вращающегося с частотой в: и" кое вы (3.182) В качестве решения уравнения (3.!80) теперь получается наложение свободных и вынужденных колебаний в форме х = й,е "я + й,е'"р + !сег", (3.183) где й, и йг — постоянные интегрирования, а твоа (3.184) Ав' — Своев+ лаяв ! (в — вх) (ы — вр) ' График функции гс(в) представлен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
