Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тогда непосредственно видно, что о>' — о>, '= саго ! 2о>|о>я = сазе. Если задавать определенные соотношения между постоянной энергии Ео и постоянной кинетического момента Не, то можно обнаружить даже такие случаи, где переменные удается выразить через элементарные тригонометрические функции. 3.3.4. Особые виды движения тяжелого гироскопа. Особые виды движения, осуществление которых связано с удовлетворением совершенно определенным начальным условиям, неоднократно подвергались исследованию с разных точек зрения. Около 1900 г.
поиски новых интегрируемых случаев столь привлекательных нелинейных уравнений движения тяжелого гироскопа превратились чуть ли не в своего рода спорт для математиков. При этом исследователи зачастую уходили даже от собственно физической проблемы и посвящали свои обширные исследования и таким случаям, которые неосуществимы либо физически — вследствие нарушения связывающих А, В и С неравенств, — либо геометрически — ввиду невыполнения условия имам = 1.
Мы не имеем возможности останавливаться здесь на этих работах. Сделаем лишь несколько замечаний по поводу приведенных в п. 3.3.! случаев, которые могут представить интерес с точки зрения понимания общих принципов поведения гироскопа. а) Гироскоп по Горячеву и Чапльггину. Случай, фигурирующий в таблице под рубрикой 4, родствен случаю Ковалевской. Поло>кение центра масс определяется теми же условиями 3, = в чь О, зя = вл = О, но характеристика эллипсоида инерции несколько иная: А=В=4С. 3. Гироскоп. Силы и движение 140 Таким образом, гироскоп Горячева — Чаплыгина более вытянут, чем гироскоп Ковалевской, но и он имеет неоднородное распределение масс и симметричный эллипсоид инерции для точки опоры. Существенное отличие этого случая от предыдущего состоит в том, что здесь вводится еще ограничение, касающееся начальных условий: постоянная Но кинетического момента (3.33) должна быть равна нулю.
При этой посылке можно найти еще один интеграл уравнений движения и свести математическое решение к квадратурам. В разбираемом случае, пользуясь (3.29), приходим к системе 4в, — Зв,вз — — О, 4в, + Зв,вз = 2 сазе йз = — 2 сазе (3.87) свз (4 31в1 + 1аззвз + ззвз) Но это условие вследствие предположения Не = О выполняется всегда. Именно в силу А = В = 4С имеем А Но = Нзазз = — (4в~ аз~ + 4в,азз + взазз) = О. 4 Мы не станем определять переменные, используя новый интеграл (3.88).
Это привело бы к гиперэллиптическим интегралам, вычис- ление которых требует значительно большего объема расчетных работ, чем, например, в случае гироскопа Лагранжа. Легко поддаются анализу частные случаи, когда гироскоп вра- щается вокруг горизонтальной оси 2' или 3'. Тогда либо а) в,=в,=О, азз=О (вращение вокруг оси 2'), либо р) в,=в,=О, а„=О (вращенне вокруг оси 3').
Обозначая угол, образованный осью 1' с вертикалью, через 6, имеем для случая а) ам = соз О, азз = зщб, для случая ()) ам = сов б, азз — — — зщб. где с имеет прежнее значение (3.74). Новый интеграл в предположении Но = О можно найти в виде (вз+ в') в — 2св,а = сопз1. (3.88) В самом деле, дифференцируя (3.88) по времени, получаем 2в,(в,й, + взв,) + й,(в', + в',) — 2сй,а„— 2св,а„= О. Подставляя сюда значения йо в,, й, из (3.87), а также ам из (3.31), находим 3.3. Тяжелый гироскоп 141 Подставив указанные величины в (3.87), получим следующие уравнения, описывающие вращение: а) Ь вЂ” Чз с 3! п О = О, 6) Π— 2с з(п О = О.
Оба дифференциальных уравнения аналогичны уравнению плоского физического маятника. Их можно решить с помощью эллиптических функций. Здесь возможно движение колебательного характера и движение, при котором происходит опрокидывание маятника, но и то, и другое в любом случае отличается непостоянством угловой скорости. о) Частные случаи Мерцалова и Стеклова. Под рубриками 5 и 6 таблицы фигурируют два случая, подобные уже рассмотренному случаю 4. Во всех трех случаях приняты ограничения, касающиеся как формы эллипсоида инерции и положения центра масс, так и начальных условий.
Мерцалов рассматривает тот же гироскоп, что и Горячев и Чаплыгин, но требует других начальных условий. Он принимает Но Ф О, но считает, что начальный вектор угловой скорости (озз)о не имеет составляющей по оси симметрии 3'. При этом предположении можно отыскать дополнительный интеграл уравнений движения. В случае Нз = О он переходит в (3.88).
Уравнения движения сохраняют вид уравнений (3.87) в случае а). Они допускают два простых частных решения. Как и в случае а), возможно вращение вокруг горизонтальной оси 2' оз1=гоз=О, азз=О, которое удовлетворяет уравнению Π— Чз с 51п О = О. Кроме того, возможно стационарное вращение вокруг вертикаль- ной оси 1', для которого оз1 = озо озз = озз = О, пз! 1 пзз взз Укажем без доказательства, что в отношении устойчивости этого движения справедливо все, касающееся стационарного вращения гироскопа Ковалевской: только вращение гироскопа Мерцалова с нижним расположением центра тяжести устойчиво; гироскоп с верхним расположением центра тяжести всегда неустойчив.
В случае под рубрикой 6 таблицы, рассмотренном Стекловым, центр масс также расположен на главной оси (ось 3'). Но симметричность эллипсоида инерции для точки Р не обязательна, так как предполагается лишь 2А = С. Ограничение в отношении начальных условий сводится к тому, что вектор начальной угловой 142 3. Гироскоп, Силы и движение скорости (вз), должен лежать в плоскости !'-3'. Эти предположения позволяют произвести точное интегрирование уравнений, на чем мы, однако, останавливаться не будем. Устойчивость стационарных вращений гироскопа Стеклова также неоднократно подвергалась исследованию. Но при этом все сводится к частным случаям вращений общего вида, найденных Штауде, которые мы исследуем ниже более подробно. с) Перманентные вращения Штауде. Займемся исследованием того, при каких условиях тяжелый гироскоп может вращаться вокруг осей, одновременно неподвижных относительно тела и в пространстве.
При этом не будем накладывать никаких ограничений ни на форму тела, ни на положение центра тяжести. Штауде [2!) показал, что такого рода вращения вокруг вертикальных осей возможны и что гироскоп вращается при этом равномерно. Вертикальный единичный вектор ам сохраняет в этом случае неизменное положение также и по отношению к телу, так что аиазз/г/! = О. Тогда из (3.30) следует еп»в,аз» = О. Отсюда можно заключить, что вектор угловой скорости вз вертикален.
Таким образом, можно написать в1= "= вазы (3.89) причем вопрос о выборе того или иного знака остается пока открытым. В данном случае из интеграла энергии (3.34) следует, что как потенциальная, так н кинетическая энергия постоянна. Так как в, — вектор, связанный с телом, то остается постоянным в;ам, а вместе с тем и потенциальная энергия. Это легко объяснимо физически, так как при вращении вокруг вертикальной оси центр тяжести Я не смещается по вертикали. Постоянство кинетической энергии означает Т = 1/»Н;в, = 1/»6;,в,вз = 1/зв»61,а, ам = сопя!. (3.90) Так как ам — вектор, постоянный в системе осей, связанной с телом, то сохраняется постоянство квадратичной формы Опал!аль и в тоже должна быть постоянной.
Таким образом, вращение вокруг вертикальной оси, связанной с телом, должно происходить с постоянной угловой скоростью. Далее, при в» = сопз! из (3.90) следует, что и Н; — это связанный с телом вектор постоянной величины. Ввиду с/'в;/Ж = 0 из (3.28) следует е,1»в,Н» — — бе,1»аз!в». (3.91) Это означает, что в случае вращений Штауде гироскопический момент и момент силы тяжести сбалансированы. Равенство (3.9!) показывает, что это возможно только при компланарности векторов ам, вь Нз и зь В самом деле, из равенства (3.9!) следует, что плоскость, содержащая векторы в; и Нм параллельна плоскости векторов азз и зв Кроме того, требование, чтобы левая и правая !43 3.3, Тяжелый гироскоп части (3.9!) имели одинаковые знаки, позволяет установить знак ьм в (3.89). Знак плюс следует брать в том случае, когда векторы 3! и Н! лежат в одной и той же полуплоскости, если смотреть сверху; в противном случае надо брать знак минус (рис.
3.27). Воспользовавшись равенством (3.89), мы можем придать (3.91) следующий вид: аз! Рис. 3,27. Возможные рвсположення векторов озг, ы7, и! и в! при пермвиентиых вреже- ниях тяжелОго несимметричного гироскопе. димое, хотя и не достаточное, условие, при котором удовлетворяется равенство (3.9!), удается получить путем скалярного умножения последнего на 3;. Учитывая (3.89), получаем згег74оз;Не = оз ззе;,заз В47аз! — — О, 2 нли для пг ~ О 3! 32 аз =О згег74аз! !4!аз! гзз! 7232 7233 Аа„Ва„Са33 (С вЂ” В) и!аззазз + (А — С) ззаззаз! + (В А) азаззазз = О (3 93) е,,~аз! (.+ гоН вЂ” 634) = О.
(3.92) Это уравнение всегда удовлетворяется, если суммарный вектор, заклгоченный в скобки, вертикален. Чисто геометрическое необхо- 144 3. Гироскап. Силы и движение В силу амаз = 1 это соотношение определяет кривую на неподвижной единичной сфере с центром в точке опоры Р. Уравнение этой кривой зависит исключительно от распределения масс гироскопа, т. е. от моментов инерции и положения центра тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
