Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Прн юо- со мы имеем и,- ио нли созбз- созбо и траектория вершины гироскопа заключена в узкой широтной полосе, определяемой близкими друг к другу граничными значениями ОО н бь Все изображенные на рис. 3.18 кривые имеют то общее, что их точки возврата лежат на верхней граничной окружности (О=ОО), а касательные к ним в этих точках направлены вдоль меридиана.
В этом можно убедиться, рассматривая полученное на основании (3.40) н (3.51) выражение (3.55) Интерааа азмеаеаая Е, Таа Траектораа р,=о О < зрю<броз зра = броз броз < "ро < аров ЗГО ЗРОО броз < зра С точками возврата, ниже б Фа Волннстая, анже 6 его Совпадает с параллелью б = 60 Волнистая, выше 6= ба С точками возврата, выше 6 Юо Петлеобразная, выше й = бо В этом случае при определенных начальных условиях траектории могут: достигать верхнего полюса, проходить через него илн ОГОР ОР Сыо сп т бзи В 2Ат (1 — и') зп т бп т прн принятых нами началызых условиях.
Траектория достигает верхней граничной окружности в момент то = (2п+ 1) К. Так как сп то = О, а знаменатель (3.55) для этого значения т в нуль не обращается, то (с(бр/б(и) о = О. В то же время из (3.55) видно, что траектории касаются нижней граничной окружности, т. е. не имеют на ней точек возврата. Действительно, так как зп 2пК = О н 1сп 2пК) = 1, имеем Ызр!Ии), — оо, Подобным образом можно исследовать и другие виды движения тяжелого гироскопа.
На рис. 3.19 изображены траектории (в детали их расчета мы входить не будем), относящиеся к тому случаю, когда гироскоп начинает двигаться из исходного положения О = ОО с азимутальной начальной угловой скоростью зра Ф О. Угловая скорость вращения вокруг оси фигуры (шо) принята постоянной, а начальной угловой скорости зро придаются различные значения. В следующей таблице указаны шесть различных типов Траекторий, которые соответствуют определенным интервалам изменения зро Г26 3.
Гггросггоп. Силы и движение Ряс. 3.!3. Траектарпо некоторой точки осв фигуры твнгелаго гироскопа прн постоянном собственном квнетнческом моменте н разлнчнык значенвяк горизонтальной начальной скорости. окружать его. Все представленные на рис. 3.18 и 3.19 траектории могут быть периодически продолжены, так что они будут опоясывать поверхность сферы. В общем случае эти кривые не замыкаются. На рис. 3.20 и 3.21 показаны некоторые найденные экспериментально траектории для тяжелого гироскопа. Они были получены путем фотографирования траекторий определенной точкиоси Рпс. 3.20.
Экспериментально найленные траектории некоторой гочки ося фигуры тяжелого симметричного гироскопа (по Гебелейнур !28 3. Гироскоп. Силы и движение уравнения (3.35) и (1.49) аз = соо н 6 = до (Ь = 0), получим Аа, — (А — С) вов, = 6з яп Оо соз ф, А а, + (А — С) соосо, = — бе з! и Ьо з! п ф, а~ = ф з!пдо япф, в, = ф з !и Оо сов ф. Исключив далее из этих уравнений в| и вз, найдем А (зр з1п ф + фф сов ф) — (А — С) воф соз ф = Оз сов ф, (3.56) А (зр соз ф — зрф з! и р) + (А — С) воср з! п ф = — 6з яп ф. Умножив первое уравнение (3.56) на япф, а второе на сов ср и сложив их, получим Аф=О, т.
е. зр=фо — — сопз1. Отсюда на основании (3.39) следует (3.57) которое после подстановки в него (3.58) приводит к квадратному уравнению относительно зр А сов боз)з — Сапой+ 6з=О, (3.59) имеющему корни зр1 1 Са, ~1 /1 40зА соз оо (3.60) зйз ) 2А соз Ео 1 'р" С во На рис. 3.22 представлены кривые изменения этих корней в зависимости от во для различных углов наклона Оо. Здесь нужно различать следующие случаи. 1. 0(бо( и!2, созбо > О, стоячий гироскоп: 46зА соз Оо при в, '( Сз ' = а,'з — действительных корней нет, при а'=а' — два равных корня ф,=ф„ прн а'> а' — два действительных корня того же знака, что и во. ф=во — ф,созб,=ф,=сопз1.
(3.58) Таким образом, если мы потребуем 0 = Оо, то отсюда вытекает постоянство угловых скоростей зр и ф. Такого рода движение называется регулярной лреценией. Подстановка ф= 0 в (3.56/2) дает равенство Азрр — (А — С) аозр = бз, 229 З.З. Тяжелый гироскоп 2.
Оо=пг2, созда=О, ось фигуры горизонтальна: уравнение (3.59) имеет действительный корень йа ЧР2 = Сао ' (3.61) 3. и!2 < 6(~ и, сов бе ( О, висячий гироскоп: два действительных корня противоположных знаков. При выбранных нами обозначениях всегда ! тР, !) ~ чрй 1. Поэтому движение с угловой скоростью чрг иногда называют быстрой Рис. 2.22.
Угловая скорость г) регулярной прецессии тяжелого симметричного гироскопа. прецессией, а движение с угловой скоростью трй — медленной прецессией. Однако мы не будем пользоваться этими названиями,так как быстрая прецессия представляет собой именно то движение, которое для свободного гироскопа мы назвали нутацией. В самом 5 Ю магнус 130 3.
Гироскоп. Силы и движение деле, при з = 0 корнем уравнения (3.59) будет (3.62) Полученное для ф, выражение полностью совпадает с формулой (2.40) для угловой скорости нутации. Особый интерес представляет предельный случай — быстровращающийся гироскоп. Полагая ыо » сов, получаем, согласно (3.60), следующие приближенные выражения: ф1= ф=— Сы, Ог (3.63) Асеево ' Сво ' Первое из них совпадает с формулой (3.62) для угловой скорости нутации, а второе в с формулой (3.61) для угловой скорости прецессии.
Таким образом, можно принять, что угловая скорость нутации быстровращающегося гироскопа пропорциональна ыо, а утловая скорость прецессии пропорциональна 1!гоо. С возрастанием во растет и фь тогда какф, убывает. Рассматривая различные виды движения тяжелого гироскопа для некоторого начального угла отклонения бо прн отсутствии начального толчка (рис. 3.18), мы установили, что граничные параллели, между которыми заключена траектория, прилегают друг к другу тем теснее, чем больше угловая скорость собственного вращения гироскопа. У очень быстро вращающегося гироскопа практически наблюдается только движение по параллели, на которое накладывается мелкое дрожание (нутация) оси гироскопа.
Если отвлечься от этих нутационных колебаний, то движение ничем не будет отличаться от рассмотренной выше регулярной прецессии. Поэтому такое движение назвали псевдорегуляриой прецессией. Однако существенная разница между ними заключается в том, что регулярная прецессия возникает только при определеннгях начальных значениях де и $„тогда как в случае псевдорегулярной прецессии начальные значения могут быть произвольными. У достаточно быстро вращающегося гироскопа амплитуда неизбежных при этом нутаций остается малой, Теперь покажем, что частота упомянутых движений оси в точности совпадает с частотой нутации малой амплитуды свободного гироскопа. Формула (3.52) поэзо.чает вычислить период Ти колебаний гироскопа по углу О.
Если гироскоп вращается быстро, то для модуля эллиптических функций мы можем написать йв ~е и1 (( из и полный элиптический интеграл К(й) и/2. Далее, при а- оо из (3.54) находим С ~о 2 2 и1 е мз = 2а = збгА ' 18! З.З. Тяжелый гироскоп Подставив эти значения в (3.52), получим А Т =2п —.
Сыо ' (3.64) Но частота гон = Сгоо/А как раз и есть частота нутаций (2.42) в предположении малой амплитуды. Приближенное значение азимутальной скорости оси фигуры в случае псевдорегулярной прецессии можно получить, если подставить в (3.40) начальное значение Но = Соио. Сыо (ио — и) Азшой (3.65) Сообразуясь с (3.54) и (3.51), а также учитывая, что йе « 1, мы получаем для быстровращающегося гироскопа прн гоо- оо, т. е.
при а- оо, следующие приближенные формулы: 1 — и о и и 2д ио и — и = -соРт. Подставив этот результат, а также выражение для а в (3.65), найдем 26г ф — соз т, Сгоо откуда средняя азимутальная угловая скорость (3.66) Это в точности совпадает с полученным выше выражением (3.63) угловой скорости ф, регулярной прецессии быстровращающегося гироскопа. Полученный результат дает нам основание трактовать псевдо- регулярную прецессию как наложение регулярной прецессии и нутации. й) Устойчивость тяжелого гироскопа с вертикальной осью фигуры.
В п. в) мы видели, что ось фигуры тяжелого гироскопа может застыть в вертикальном положении при любой угловой скорости собственного вращения. Но это положение не во всех случаях устойчиво. Для доказательства этого утверждения в данном случае проще всего обратиться к исследованию гироскопической функции Н(и), определяемой формулой (3.46). Для гироскопа с верхним расположением центра тяжести при вертикальной оси фигуры имеем Но= Сги и Е = гйСоооо+ Ов.
!за 3. Гироскоп. Силы и движение Подставив эти значения в (3.46), получим (3.67) У (и) = — „(1 — и)'(1+ и — 2а), где по-прежнему ыо (3.68) Приравнивая выражение (3.67) нулю, найдем два равных корня и = 1, а в случае а = 1 их будет даже три. На рис. 3.23 сплошной Рис. 3.33. Поведение гироскопической функции У(и) гироскопа с верхним расположением центра тяжести при различных вначениях собственного кинетичесного момента линией представлены графики функции У(и) для различных а. Функция У в интересующем нас интервале — 1 ( и (+1 принимает положительные значения лишь для а ( 1. Поэтому при малых отклонениях оси фигуры от вертикали может оказаться и >О.
Это означает, что и Ь может оказаться положительной, и ось фигуры будет все дальше отклоняться от вертикали. Следовательно, этот случай мы должны расценить как неустойчивый. Более полную картину устойчивости дает исследование изменения корней для возмущенного движения. Предположим, что по гироскопу нанесен слабый удар поперек вертикальной оси фигуры. При этом константы оуо и Но не изменятся, но постоянная энергии Ео получит некоторое малое приращение е: Ео — — Ео+е='ЬСгоо+аз+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
