Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Тогда вместо (3.2) получим (3.3) При заданной угловой скорости ин отсюда можно определить кинетический момент Н, = Онезь а следовательно, и гироскопический момент М;. Если вместо ыь сез, езз заданы углы Эйлера зр, О, ср к или кардановы углы а, 3, у, то сначала с помощью кинематических уравнений (1.49) или (1.51) могут быть вычислены ыь езз, озз. Эти вычисления не представляют затруднений, так как при этом не требуется интегрировать дифференциальные уравнения и все сводится лишь к операции дифференцирования.
Тем не менее в результате вычислений составляющих момента мы можем прийти к совершенно необозримым выражениям. Поэтому в дальнейшем мы займемся более подробным исследованием лишь типичных и практически наиболее важных частных случаев. Подставив эти векторы в (3.3), найдем гироскопический момент + Роззз — Еезз (3.4) О Здесь естественно рассмотреть два частных случая. 3.1.2. Вращение вокруг неподвижной оси. Неподвижной осью пусть будет ось 3 и одновременно ось тела 3'. Тогда в подвижной системе (штрихи для ее обозначения мы далее опустим) соз = [О О озз) Н' = [ — Есвз — Рсоз Созз). 3.1, Силы и случае гироскопа с дополнительной снпзью а) Вращение вокруг главной оси.
При таком движении надо положить 0 = Е = О, и тогда Мз = — Сглз. к При ускорении или замедлении вращения гироскопа возникает реактивный момент относительно оси вращения. Он противоположен движущему или тормозящему моментам и воспринимается подвесом. При равномерном вращении оз, =О и Мз =О.
о) Вращение с постоянной угловой скоростью. Здесь Мак=О. Остается момент, вектор которого перпендикулярен оси вращения, как показано на рис. 3.1, и для которого Мк = озз )У0'+ Еа и 1ц грк = — Е)0, Во вращающейся вместс с тслом подвижной системе он постоянен и поэтому действует на неподвижный поднес как периодический 3=3' 2 2 Рнс. ЗЛ. Мсмепт реакции гироскопа МК при вынумдеинпм вращении вокруг псн Зп вибрационный момент. В этом случае говорят о динамической неуравновешенности тела. Даже если тело статически уравновешено, т. е.
его центр масс расположен на оси вращения, могут все же возникать действующие на опоры периодические силы, которые растут пропорционально квадрату угловой скорости. Их можно устранить, если тело динамически уравновесить. Для этого требуется, чтобы ось вращения оказалась главной осью, т.е. чтобы 0 = Е = О. Это всегда возможно осуществить путем добавления к телу недостающей массы или удаления излишней. Рассмотрим более подробно случай симметричного ротора (А = В), особенно важного в технических приложениях.
Пусть тело вращается вокруг лежащей в главной плоскости 1СЗ' оси 3, которая является одновременно неподвижной и связанной с телом 3. Гироскоп. Силы и движение 96 Рис. 3.3. К расчету центробежных моментов инерции при повернутой системе координат. дул> а 3 Рис. 3.3. Гироскопический момент для сплюснутого )слева) и яля вытянутого )справа) симметричного тела вращающегося вокруг оси 3. осью и образует с осью симметрии тела 3' угол О (рис.
3.2). Тогда х, = х',созд+ х'зщб, хг хг г 3 — гМ Ы+ э а Отсюда в силу 0' = Е' = Е' = О для центробежных моментов инерции из (1.9) следует 0= ) хгхгс(т = — Е'з)од+ 0'созб=О, Е= )' хх, с(т = '/г (А' — С') з)п 26+ Е'сов 26= '/г (А' — С') 3!п2О. Подставив эти величины в (ЗА) и положив в последнем еуг = О, получим момент от небаланса МК = '/г (А' — С') вуг Зщ 2О.
(3.5) 3.!. Силы в случае гироскопа с дополнительной связью Знак момента зависит от формы тела. У сплюснутого ротора (А' ( С') момент стремится повернуть ось симметрии 3' к оси вращения, а у вытянутого (А') С') — в обратном направлении (рис. 3.3). Из (3.5) видно, что при О = О и О = п)2 (вращение вокруг главной оси), а также при А' = С' (шаровой гироскоп) вибрационный момент обращается в нуль. При 6 = п(4 он достигает максимума. В наиболее интересном для технических приложений случае малого д справедливо приближенное равенство Мк = (А' — С') юз6 (для 6 ~ 1). (3.6) 3.!.3. Вращение вокруг подвижных осей. Применим теперь общую формулу (3.3) к случаю, когда тело вращается с угловой скоростью сти вокруг главной оси 3', которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной оси 3 (рис. 3.4) с угловой скоростью бух.
Если движение связанной с телом системы 1', 2', 3' относительно неподвижной системы 1, 2, 3 описывается углами Эйлера, то при постоянном угле О мы получим, согласно (!.49), вектор абсолютной угловой скорости ср и!и д и!и гр тйз!пбсоз~р фсозб О а)„г т 4 О + К. Магнус Рис, ЗЛ, Сложеиие угловых скоростИ собствеииого (ы.! и лополиительиого (ы ) враг Ит (4! женив. В. Гироскоп.
Силы и движение Если в качестве системы координат, связанной с телом, выбрать систему главных осей, то кинетический момент составит АФ япб в(пф Вфв|пбсов~р С (ф + ф сов О) Н! —— Ограничиваясь случаем ф=фо = сопй, т.е. равномерным допол- нительным вращением вокруг оси, образующей с главной осью 3' тела постоянный угол О = бе, согласно (3.3) имеем ( — А — С) $фЯпбосовсР+ ( — С) феЯпбосовбосовЧс ( — А + С) 1Рф яп Оо в|и р — (А — С) фв яп Оо сов Оо яп<р — Сф+ (А — В) фее|и'Оозш~р сов~р (3.7) Следует прежде всего отметить, что момент возникает также и относительно оси собственного вращения 3' гироскопа.
Это означает, что при отсутствии трения равномерное собственное вращение без наличия некоторого внешнего момента Мв невозможно. Неравномерное собственное вращение можно рассчитать с помощью дифференциального уравнения СсР— '/в (А — В) фе Я и' бо в |и 2 Р = О. Мзл = '/, (А — В) фв Яп'бо в|и 2фо! (3.8) Момент этот колеблется с удвоенной частотой собственного вращения. Его можно использовать для измерения проекции ф в|и б угловой скорости сох на ось, перпендикулярную оси 3'.
Амплитуда измерительного сигнала пропорциональна несимметрии А — В тела. В симметричных роторах такой момент отсутствует. Как видно из (3.7), остальные составляющие момента М~ сок держат слагаемые, в которые входят сомножители фф и фв, также являющиеся периодическими. Смысл этих членов проще всего обнаруживается при рассмотрении следующих двух частных случаев. а) Симметричный ротор, А = В.
Здесь (3.7) переходит в — Сфф в|и О, сов ~> + (А — С) ф' яп О, сов О, сов ~р Сфф вщб,вщф — (А — С) ф'в|и бе сов б, в|п~р Сф (3.9) Наоборот, если требуется равномерное собственное вращение с угловой скоростью ф,, то для его поддержания необходим перио- дический внешний момент 3.!. Силы в случае гироскопа с дополнительной связью Если внешний момент относительно оси 3' отсутствует, то ф= =фо = сопз1. Тогда вектор гироскопического момента перпендикулярен оси 3' и совпадает с линией узлов (линия пересечения плоскостей 1'-2' и 1-2), как изображено на рис. 3.5. Его величина равна Мк = Сфф з!п Оо — г)г (А — С) Фг и!п 20о = = ф и!и Оо [С (ф -1- ф соз Оо) — Аф соз Оо]. (3.10) У сплюснутого ротора (С ) А) при 0 < до ( и/2 момент всегда направлен по отрицательной линии узлов, если за положительное 2 1) Уг гА "оу)р з)п 2 Рр Рис. З.з.
К определению гироскопического момента симметричного ротора. принять направление вектора +Ь. У вытянутого ротора (А ) С) момент М; может совпадать с положительной линией узлов, поскольку Аф соз бо > С (ф + ф соз до) = Св,. Для стержневидного ротора (С = 0) это условие всегда выполняется, Возникновение момента (3.10) можно также объяснить, исходя непосредственно из теоремы о кинетическом моменте (3.2). Вследствие предполагаемой симметрии ось 3, ось 3', ось вращения и кинетическая ось лежат в одной плоскости, которая перпендикулярна линии узлов и вращается с угловой скоростью ф (дополнительное вращение). Из диаграммы, представленной на рис. 3.6, можно видеть, что гироскопический момент равен М" = г(Н/гав! = аф.
Подставив сюда а=(Св,)з!пдо — (Афз!пбо) созда и в,=ф+ фсозбат (оо 3. Гироскоп. Силы и движение мы сразу приходим к выражению (3.10). На рисунке вектор мо- мента направлен за плоскость чертежа, т. е. по отрицательной ли- нии узлов. Рнс. З.б. Построение вектора кинетического момента Н( симметричного ротора, совершаю- щего собственное (бгг и доноанитенвйое (Е( вращении. г ( Нь ( Аф, Нв)) ~ или Сф» ~ 1 Н', 1 вФ (3.1 1) Физически они означают, что кинетическая ось должна всегда на- ходиться в непосредственной близости от главной оси инерции 3', т, е, оси собственного вращения, б) Бысгровраща(ощийся гироскоп.
В технике, использующей гироскопические явления, быстровращающиеся роторы играют особую роль. Для них можно ограничиться более простыми приближенными соотношениями, которыми часто пользуются главным образом в теории гироскопических приборов. В рассматриваемом нами случае можно принять ф»ф Однако одного этого условия, как оказывается, недостаточно.
Требуется не столько высокая скорость собственного вращения, сколько соответствующий этому быстрому вращению большой кинетический момент Сф. Поэтому о быстровращающемся гироскопе можно говорить лишь в том случае, когда выполняются условия: 3.1. Силы в случае гироскопа с дополнительной связью 1О! Для быстровращающегося гироскопа мы получаем из (3.7) приближенное значение момента реакции ( — А — С) фаз(пбосоз р ( — А + С) фф и!и б, з(п ср — Сф (3.! 2) Если тормозящий или движущий момент отсутствует, то ф= О. Тогда величина вектора результирующего момента равна М» = фф з)п до 'рг( — А)'+ С вЂ” 2С( — А) соз 2ф. Направление вектора момента в плоскости !'-2' определяется нз равенства н — А+с 'й'= Н-А-С 'йф.
Для симметричного ротора (А = В) получаем М»=Сффз(пбс и а= — ф.ь пп. Как видно, обе составляющие содержат периодические члены двойной частоты относительно ф, пропорциональные разности  — А. Их тоже можно использовать для измерения составляющей угловой скорости фз)од, которая перпендикулярна оси собственного вращения. Онн более пригодны для этой цели, чем составляющие (3.8) в направлении оси ротора, полученные выше, потому что ф з)п б входит в ннх линейно, а в выражение (3.8) в квадрате.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
