Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Полодии превращаются в пространственные кривые, подобные тем, которые были описаны в п. 2.1.1 и изображены на рис. 2.6. 7В 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Случай Ь). Здесь можно поступить совершенно аналогично, только иначе определив величины й, й и с: и = хг'хе ~ (1, Й = хег'х~ ч 1, т= к, (А — В) ( — С) / (А — В) (Н' — 2ТС) АВ У АВС (! — гс) = )/ — (! го). Используя эти обозначения, из (2.13) снова получаем нормальную форму (2.14). Обратив этот интеграл, мы найдем х(т) = огг(т), что позволит определить и все остальные проекции. В результате имеем (2.!7) х, — х~ ! — (х)х ) г, х, / Обратная функция от,=к=х, (Ьт.
На основании сказанного, учитывая, что 1 — 1Ь'т = 1(сЬ'т, нахо- дим точные значения проекций угловой скорости: / 2Т( — С) ! от, =+ )/ У А(А — С) сйт ' / 2Т о!2 + (Ьт, У В / 2Т(А — В) ! гоз = — )/ У С(А — С) сйс' случай с), (2.19) / Не — 2ТС 1 А(А — С) / 2ТА — Н' оте=+ х)г в(,! В) зпт случай Ь). „/ 2ТА — Н' з — — ) С(! С) спт Период угловой скорости периодического движения равен АВС Т, = 4К )/ (нг 2тс) (А в) (2.18) Предельному случаю й = 0 соответствует теперь вращение с постоянной угловой скоростью пт1с = )/27)(А вокруг оси 1. При малых возмущениях этого движения ось вращения совершает оборот вокруг оси 1 за время т,= — / 2н .,/ ВС от~о )г (А — В) (А — С) Равенства (2.17) позволяют определить также и полодии перициклоидального движения.
Случай с). Обозначив хг = хх — — 2Т)В, получим из (2.13) 2.3. Аналитическое решение по Эйлеру Приведенные знаки, как и ранее, представляют только одну из возможных комбинаций. Внд фигурирующих выше гиперболических функций (рис. 2.14) указывает, что движение уже не является периодическим, а имеет асимптотический характер. Для очень больших (положительных или отрицательных) значений т компоненты шг и ша весьма малы, так что движение практически сводится к вращению вокруг средчей оси эллипсоида инерции (ось 2).
Однако в интервале — оо ( т (+со вращение меняет Рис. 2.1ф Повеление гиперболических функции, входящих в формулы (2,12). свое направление по отношению к телу, потому что Й т изменяется в пределах от — ! до +1. Так как при вращении вокруг главных осей векторы угловой скорости и кинетического момента параллельны, а последний неподвижен в пространстве, то это означает, что в процессе движения ось 2 тела поворачивается на 180'.
Это движение мы разберем несколько подробнее в следующем пункте. 2.3.2. Движение главных осей. Мы сделали лишь первый шаг в изучении движения тела. Второй шаг должен состоять в том, чтобы по известным шв определить движение главных осей, т.
е. в конечном счете изменение положения тела со временем. Для этой цели можно было бы обратиться к эйлеровым углам хр, б, ср и путем интегрирования системы (!.53) выразить их как функции времени. Этот длинный и утомительный путь можно сократить, если непосредственно использовать теорему о кинетическом моменте и определенным образом выбрать систему координат. В качестве системы, связанной с телом (подвижной), примем систему главных осей, а неподвижную систему сориентируем так, чтобы ее ось 3 совпала с неподвижным направлением вектора кинетического момента Нь Тогда проекции кинетического момента в подвижной системе будут Н, = Аш1 =На!пбз(п4р, Н, = — Вшх = Н з!и б соз гр, (2,20) Н, = Сш, = Н соз д. 2. Свободный гироскоп с неподвижной гонкой опоры Во Отсюда непосредственно определяются два угла Эйлера: С соз О = — сов, Н Зг Аыс !ар= В Выо ' (2.
21) Угол ор находим из (1.53/1) посредством интегрирования: + / ыс в!п ф+ соо сов ф Принимая во внимание (2.2!), преобразуем это выражение к виду (Аы~с+ Выев) Н ~/А в~!+ В~в~ )/Н вЂ” С Н вЂ” С~сов~ (2.22) Так как проекции со, вычисленные в п.
2.3.1, нам известны, то, имея в виду равенства (2.21) и (2.22), вопрос об определении углов Эйлера как функций времени в принципе можно считать исчерпанным. Продолжим наши выкладки для выяснения характера изучаемого движения. В случае а) эпициклоидального движения после подстановки соо из (2.15) в (2.2!) получим I С (27А — Но) созб = ),г, А с)от=спад! с)пт. Н' (А — С) (2.23) Так как вследствие Н') 2ТС подкоренное количество всегда меньше единицы, можно считать, что угол О! изменяется в пределах от О до и/2; кроме того, имеем 1 ) с(п т ) )')г'! — /св. Вводя в рассмотрение угол Ож определяемый соотношением созд,=созд! )/1 — Й' = )г' С (2Т — Н') Нт ( — С) Между граничными углами существует следующая зависимость: Мп О~,с В (А — С) в(п дг У А ( — С) (2.25) которую нетрудно проверить путем подстановки.
Это отношение зависит только от моментов инерции тела и не зависит нн от Н, нн от Т, мы на основании (2.23) заключаем, что угол О колеблется между граничными значениями О! и Оо по периодическому закону: и/2) Ов) д) 6!) О. (2.24) в) 2.3. Аналитическое решение по Эйлеру Поведение функции с(пт (рис. 2.13) таково, что моменты времени, соответствующие граничным значениям угла О, разделены промежутком АВС 1' (2ТА — Не) ( — С) ' (2.26) Таким образом, период угла д составляет 275. Подставив (2.13) в (2.21), для угла «р получим ««А( — С) спт 19 р= — 1Г В (А — С) ап т ' (2.27) Отсюда следует, что нули 19«р совпадают с нулями опт, а бесконечно большие значения 19«р совпадают с нулями зп т.
Поэтому каждый раз, когда безразмерное время увеличивается на Ьт = = К(й), «р возрастает на «5«р = и/2. В таком случае средняя скорость изменения «р составляет Жр Ит и / (27А — Н«) ( — С) ( ) ат Ж 2К(й) )«АВС На эту среднюю угловую скорость накладываются колебания, которые мы можем определить на основании (2.27). Интенсивность этих колебаний зависит от разности А — В. В случае симметричного (А = В) гироскопа й = 0 и со5 т 1д «р = —, = с1д т, 5«п т Продифференцировав (2.27), получим скорость изменения «р В (А — С) ап'т+ А ( — С) спет ' ( ) 2.29 (А — С) ( — С) «55 Из этой формулы видно, что ввиду А ) В) С знакф всегда совпадает со знаком ша. следовательно, «р(т) — монотонная функция.
Для симметричного гироскопа (А = В) А — С «Р= А "5 Подставив сюда (2.29), найдем 555 (А — С) ( — С) соле 'ь В(А — С) апет+ А( — С) сп«т )' В заключение рассмотрим еще угол чр. Вместо очень трудоемкого вычисления интеграла (2.22) будем исходить из (1А9/3). Мы получим (2.30) 82 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Замечая, что в (2.31) (А — С)( — С) (А — С)( — С) В(А — С) вп'с+ А ( — С) сп'т А( — С)+ С(А — В) вп'т (А — С) ( — С) А ( — С) мы приходим к выводу, что тр — знакопостоянная функция, совершающая периодические колебания около некоторого среднего значения. Поэтому тр(т) — также монотонная функция т. Таким образом, как видно из предыдущего, движение в целом характеризуется тем, что функции д, тр и гр совершают периодические колебания около постоянных средних значений, оставаясь при этом знакопостоянными; период колебаний Лт = 2К.
Наиболее интересуюгцее нас движение главной оси тела однозначно описывается углами тр и б. Обращаясь к рис. 1.23, мы можем заключить, что вследствие условия дв ) б ) дг и монотонности функции ф(т) главная ось (ось 3') постоянно вальсирует вокруг неподвижной кинетической оси (ось 3). Это и есть нутационное движение оси фигуры, уже описанное выше при изложении геометрической интерпретации движения. До сих пор все наши рассуждения касались эпициклоидального движения (случай а)). Подобным же образом можно поступить и при рассмотрении перициклоидального движения (случай Ь)). Мы придем к качественно одинаковым выводам: угол д колеблется между двумя граничными значениями, функции ~р(т) и ф(т) оказываются монотонными.
Разница заключается лишь в том, что в случае Ь) знак ф противоположен знаку отг. Это означает, что в системе, связанной с телом, линия узлов движется в направлении, противоположном направлению собственного вращения тела. Однако это не оказывает никакого влияния на движение главной оси: направление движения последней определяется функцией тр, знак которой в обоих случаях совпадает со знаком угловой скорости тела. Таким образом, нутационное движение всегда происходит в том же направлении, что и собственное вращение. Нам остается только рассмотреть случай с). Подставляя в (2.21) выражения (2.19) при условии О' = 2ТВ, получаем "С(А — В) 1 совб, спад=в В(А — С) онт сьт Так как сов бе < О, то де лежит геперь в интервале и/2 < де < и, так что постоянно а/2 < 6 <бе, поскольку сЬ т)~ 1.
Ни 6, ни гр не являются периодическими функциями т. Результат подстановки (2.!9) в (2.22) убеждает нас в том, что и угол гр не является периодической функцией. 2,3 Аналитическое решение но Эйлеру Для того чтобы яснее представить себе процесс движения, рассмотрим б и чр для некоторых характерных моментов времени: о О л/2 60 и/2 н и/2 О Имея в виду рис. 1.23, мы можем на основании этих значений заключить, что направление интересующей нас теперь средней главной оси (оси 2') для т = — оо противоположно направлению неподвижной кинетической оси (ось 3), тогда как для т = +оо оно Рис. 2пе Траектория тачки средней гласной оси Е' а промежуточном случае Ит 2ГВ. совпадает с направлением последней. Таким образом, главная ось поворачивается на 180'. Этот факт уже был нами установлен в предыдущем пункте при исследовании состояния движения тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
