Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 12
Текст из файла (страница 12)
2.4), которое называется иначе движением Нуанво, полюс Р, лежащий на мгновенной оси, описывает на неизменяемой плоскости кривую ВК, называемую гераолодией, а на эллипсоиде энергии кривую РК, которая называется полодией. Одновременно точка пересечения О главной оси инерции НТА, показанной на рис. 2.4, с неизменяемой плоскостью движется по некоторой кривой ЯК.
Названные кривые дают наглядное представление о геометрических свойствах движения. Рассмотрим их более подробно. 2.1.1. Паладин. Полодии представляют собой замкнутые кривые на поверхности эллипсоида энергии. Они могут быть найдены как кривые пересечения этого эллипсоида с кинетическим эллипсоидом (1.Тб). Последний является геометрическим местом концов векторов озь которым соответствует постоянное значение кинетического момента. Кинетический эллипсоид (2.3) 1+ 2+ 3™ всегда более вытянут, чем эллипсоид энергии .4оз', + Все', + Сете = 2Т. (2.4) Выберем главные оси так, чтобы было А ) В ) С. Тогда, умножив (2.4) на А, а затем на С и сопоставив оба полученных выражения с (2.3), найдем 2ТА ) Н') 2ТС. Отсюда получаем следующие неравенства, связывающие полуоси а н Ь соответственно эллипсоида энергии и кинетического эллипсоида: для малых полуосей 2т и' аз ) — =Ьз А - А' для больших полуосей 2т и' а'= — (» —,=Ь', з С Иа з Знак равенства имеет место только тогда, когда вращение происходит либо вокруг оси 1, либо вокруг оси 3.
В обоих случаях упомянутая кривая стягивается в точку. Если знак равенства содержится в первом соотношении, то кинетический эллипсоид охватывает эллипсоид энергии и касается его в обеих точках пересечения с осью 1. Знак равенства во втором соотношении означает, что кинетический эллипсоид вписан в эллипсоид энергии и касается его в обеих точках пересечения с осью 3. 3 к.
магнус Рно. 2.5. Полодпн как липин пересечения эллвпсандв энергии и квнвткческога эллипсоида. Рис. 2.5. Семейства полоднй на эллввсонде энергии. ВвС Рвс. 2.7, Эллнпсонд ввергли и полоднв сплюснутого ~а) и вытянутого (Ы симметрнчного гироскопа. 23. Геометрическая интерпретация Пуинсо вт Полодии как кривые пересечения двух эллипсоидов (рис. 2.5) являются пространственными кривыми. Вид последних проще всего уяснить себе, если рассмотреть их проекции на главные плоскости.
Это нетрудно сделать путем последовательного исключения составляющих угловой скорости из (2.3) и (2.4). В результате придем к следующим выражениям: 2ТА — Н'= В(А — В) а,'+ С(А — С) а,', 2Т — Н' = — А (А — В) а', + С( — С) а' (2 5) 2ТС вЂ” Н' = — А (А — С) а', — В ( — С) а,'. Левые части равенств содержат постоянные величины; в правых частях выражения в скобках положительны, ввиду того что А ) ) В ) С. Поэтому по знакам отдельных членов мы в состоянии судить о характере искомых проекций.
Так, в плоскостях 1-2 и 2-3 это будут эллипсы, а в плоскости 1-3 — гиперболы. На рис. 2.6 в аксонометрическом изображении показаны полодии на эллипсоиде энергии. Они образуют два парных семейства замкнутых кривых, разделенных двумя пересекающимися граничными кривыми. В проекции на плоскость 1-3 граничные кривые вырождаются в прямые, которые являются асимптотами семейств гипербол, определяемых уравнением (2.5/2), Уравнение этих прямых имеет вид „,т с(в — с) А (А — В) При В = С угол наклона прямой равен нулю, а при А = В он составляет я/2. В обоих случаях эллипсоид энергии есть эллипсоид вращения; в первом случае он по оси симметрии сплюснут, а во втором вытянут (рис.
2.7). Если точки полодии соединить прямыми с центром эллипсоида, то образуется конус полодии. Конусы полодии не будут эллиптическими, однако это симметричные конусы, плоскости симметрии которых совпадают с главными плоскостями тела. 2.1.2. Герполодии. Сам способ образования герполодий (рис. 2.4) позволяет выявить некоторые общие их свойства.
Это плоские симметричные кривые, завивающиеся вокруг центра, которым является точка М пересечения вектора кинетического момента с неизменяемой плоскостью. Хотя эти кривые состоят из конгруэнтных частей или симметричных участков, являющихся зеркальным отображением друг друга, они не обязательно замкнуты. Однако они заключены между двумя граничными концентрическими окружностями с центром в точке М, которых они попеременно касаются, Укажем без доказательства еще одно их свойство: герполодии не имеют ни точек перегиба, ни точек возврата. 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры ай Далее мы ограничимся определением радиусов В граничных окружностей. Пользуясь рис. 2.8, мы можем написать общее выражение: Яз = оу' — (2Т/Н)'.
(2.6) На основании геометрических свойств эллипсоида можно заключить, что экстремальные значения В достигаются тогда, когда оуе Рис. 2.В. К расчету гереаладел. оказывается в какой-либо главной плоскости. Здесь нужно различать два основных случая в зависимости от того, какому семейству принадлежит соответствующая полония на эллипсоиде энергии (рис. 2.6): а) движение, возмущенное по отношению к вращению вокруг большой оси эллипсоида (ось 3 на рис.
2.6),— эпициклоидальнпгй случай; здесь 2ТВ ) Н') 2ТС; Ь) движение, возмущенное по отношению к вращению вокруг малой оси эллипсоида (ось 1 на рис. 2.6), — перициклоидальный случай; здесь 2ТА ) Н' ~ 2ТВ; с) случай, промежуточный между а) и Ь); здесь Н'= 2ТВ. Это тот случай, когда тело приводится во вращение вокруг средней оси эллипсоида (ось 2 на рис. 2.6).
Ему соответствует граничная полодия, показанная на рис. 2.6. Случай а). Здесь всегда отз Ф О, Тогда получаем для 1) от, = О значение Й = Й н„, 2) пуз = О значение Й = Й пал. Из (2.3) и (2,4) при от1 = О следует Взоуз + Сзоузз — — Н', Вгоз + Соузв = 2Т1 2.1. Геометрическая интерпретация Пуансо 99 отсюда Нг — 2ТС В ( — С) ' 2Т — Н' С ( — С) Подставив полученные равенства в (2.6), получим значение В,и„ приведенное в нижеследующей таблице. Эта таблица содержит также результаты вьщислений для всех остальных случаев, полу- ченные совершенно аналогично. Радиусы граничных окружностей для герполодий ~г мак г И лил Случай 1 (2ТА — Нл) (Н' — 2ТС) АСН' (2ТВ Нл) (Нг 2ТС) а) Нг(2ТВ, апипнклоидальный Ь) Нг ) 2ТВ, перидиклоидальный с) Н' =2ТВ, промежуточный ВСНг (2ТА — Нг) (Н' — 2ТВ) 2Т (А — В) ( — С) АВС АВН' Приведенная таблица позволяет сделать следующие заключения (см.
также геометрическое описание в п. 2.1.1): Случай а). При Н' = 2ТС имеем )с ы = В„ах = О, вращение происходит вокруг оси 3; при А = В имеем )тппп = )т „, гироскоп симметричен относительно оси 3, герполодни превращаются в окружности; при Н' = 2ТВ имеем Впн = Π— промежуточный случай. Случай Ь). При Н' = 2ТА имеем Вкип )тыах = О, вращение происходит вокруг оси 1; при В = С имеем В ы = )с „, гироскоп симметричен относительно оси 1, герполодии превращаются в окружности; при Нг = 2ТВ имеем Н ы = Π— промежуточный случай. Случай с).
При А = В или В = С имеем Н 1 = Нжах = О, гироскоп симметричен относительно оси 3 или оси 1. 2.1.3. Траектории оси фигуры. Наряду с герполодиями представляют также интерес кривые (;)К (рис. 2А), по которым перемещается на неизменяемой плоскости точка пересечения с нею главной оси. Например, луч связанного с гироскопом источника света может прочертить такие кривые на экране, расположенном перпендикулярно кинетической оси. Назовем их граекториялги оси фигурок Сам способ образования этих кривых указывает на то, что они заключены между двумя граничными окружностями с радиусами гпнп и ужах. Для определения последних воспользуемся 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры 70 рис.
2.9, из которого видно, что (й дым — — Н,)Нэ = АыДСсоа) (оуй = 0), (И б.,„= Нй)На = ВиДСыэ) (ы, = 0). Исключив с помощью (2.3) и (2.4) соответствующие составляю- щие от, получим значения радиусов, приведенные в следующей таблице. Радиусы граннчнмх окружностей длн траекторий оси фигуры г2 аг! о 2 так Случай 4Тт А (Нт 2ТС) Н' С (2ТА — На) 4Т' С(2Т А — Н') Н* А (На — 2ТС) О На А (Н' — 2ТВ) Рис. 2.9, К расчету траектории оси фигуры.
Для симметричного гироскопа А = В (случай а)) или В = С (случай Ь)) снова имеем г и = г„„и траектории превращаются в окружности. Примечательно, что г,х-+ со для промежуточного случая (Н' = 2ТВ). г = (2 Т)Н) (и 6. При этом для случая а) а) На(2ТВ, эпициклоидальный Ь) Нт>2ТВ, перициклоидальный с) Н'= 2ТВ, промежуточный 4Та В (Нт 2ТС) Нт С (2Т — На) 4Т' В (2ТА — Н') 2.!. Геометрическая интерпретация Пуапсо Ь Нт)ЗТВ в Нт<2То с На и "лТВ Рис.
2.(О. Герполодик ах и траектории оса фигуры ок длк эпициклоидальиого (а) и пери. циклоидальаога (Ы даижеииа, а также дла проиежутачкого случаи (с). Сравнивая полученные результаты с данными предыдущей таб. лицы, приходим и выводу, что для случая а) ужах>тж(п>~)т)жал>~ ттж(п) (уж(„Ъ Я,„) ДЛЯ СЛУЧаЯ ))) Т~,„)~ )ь))т)ж)п.
~тех жи Тж)п 2. Свободный гироскоп с неподвижной точкой опоры Таким образом, в случае а) пересечение траекторий оси фигуры и герполодий невозможно, тогда как в случае Ь) это возможно. На рис. 2.10 представлены герполодии и траектории оси фигуры для эпициклоидального и перициклоидального движений. Соответственные точки начала движения лежат на одном радиусе-векторе. Для промежуточного случая нанесена только герполодия: траектория оси фигуры уходит в бесконечность. 2.2. Теометркяеекая интерпретация движения гироскопа, предложенная Мак-Куллагом Наряду с очень наглядной интерпретацией движения свободного гироскопа по Пуансо существует также весьма наглядная, хотя и не столь плодотворная, геометрическая интерпретация, предложенная Мак-Куллагом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
