Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При этом следует учесть, что силы инерции Ат всегда существуют. Судя по наличию или отсутствию сил других типов в системе, ее однозначно относят в одну из шестнадцати клеток таблицы, отмеченных соответствую- шими сокращенными обозначениями (индексы при буквах в них опущены). Из таблицы видно, что возможна, напрямер, следующая классификация систем: ненагруженные консервативными силами — первая и вторая строки, нагруженные консервативными силами — третья и четвертая строки, негироскопические — первый и второй столбцы, гироскопические — третий и четвертый столбцы, с демпфирующими (или ускоряющими) силами — второй и четвертый столбцы, консервативные (должно быть одновременно с(=— 0 и е = =— О) — клетки А, Аст, АР, АС>Р ').
В клетках имеются номера от ! до 20; они относятся к формулируемым ниже в тексте теоремам. Некоторые теоремы носят общий характер, они справедливы для систем нескольких типов, на что указывают в таблице отрезки прямых, соединяющие различные клетки. Сами теоремы даются для наиболее общих систем, для которых они справедливы. Доказательство теорем может быть найдено в литературных источниках, приводимых после каждой теоремы. Таковыми будут, вообще говоря, не первые публикации авторов теорем, а современные работы, в которых эти результаты представлены наиболее полно; здесь прежде всего следует указать книгу Форбата (38] и монографию Меркина [8). Для лучшего понимания к некоторым теоремам даются дальнейшие разъяснения. Кроме того, для каждой из соответствующих систем указывается конкретный пример, '> Здесь в число коисервативиык автор включает и системы с гиросковическими силами, что сагласуетсв с авределеиием коисервативиой системы как системы, дла которой имеет место интеграл виергии.
— Прим. ред. 5.2. Малые колебания гироскопических систем 231 Своднап таблица общих теорем, справедливых для различных систем, и их взаимосвязей АО-системы (пример: движение твердого тела в состоянии невесомости или движущийся по инерции космический корабль, когда не учитывается градиент поля гравитации). !.
Положение равновесия системы, на которую действуют только гироскопические силы Оу, будет устойчиво тогда и только тогда, когда 11е1 (уит) М 0 18, стр. 126 ')]. Из этой теоремы сразу же следует, что система, на которую действуют только гироскопические силы, будет неустойчива, когда число т нециклических координат нечетно, ибо тогда ое1(д у) = 0 в силу (5.20). АП0-системы (пример: движение твердого тела в состоянии невесомости под действием сил, пропорциональных скорости). 2. Положение равновесия систелгы, на которую действууот только гироскопические и диссипативные силки 6 и От, всегда устойчиво, П Здесь и далее теоремы приводнтси в формулировках автора книги, а ие цигируым» ио укаааиным им источникам.
— армм. ред. В. Гироскопические системы 232 если функция Рэлея 0 (5.35) определенно-положительна [8, стр. 163]. Положительная определенность 0 означает, что движение по всем степеням свободы задемпфировано. Силы 0„ вызывают диссипацию, а не возрастание энергии. В дальнейшем мы будем использовать понятие диссипативных сил именно в этом смысле.
А06Е-системы (пример: вращающийся в состоянии невесомости космический корабль, ориентацией которого управляют с помощью Е-сил. Этими силами кинетическая ось приводится к желаемому направлению). 3. Если система нг содержит консервативных сил Р, то при четном числе и нециклических координат для осуществления асимптотической устойчивости необходимо помимо диссипативных сил 0 присоединить гироскопические силь) 6 [8, стр.
214]'). 4. Для системы, у которой Р = О, при нечетном значении т не может быть осуществлена асимптотическал устойчивость никакими гироскопическими, диссшгативпыми и ускоряющими силами 6 и От [8, стр. 214]. 5. Неустойчивое положение равновесия неконсервативной системь), у которой Р = — О, может быть стабилизирована только тогда, когда добавляются как диссипативнь)е, так и гироскопические силы О, и 6 [39, стр. 33]. АР-систелеы (пример: масса на пружине, совершающая незатухающие колебания). 6. Характеристическое уравнение консервативной системы, у которой 6 = О и потенциальная энергия У (5.36) не является знакоопределенной квадратичной формой, имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью.
Характеристическое уравнение АР-системы имеет вид ое1(а )е+[„у) =О. Существует преобразование координат, с помощью котоРого матРицы а„и 1 т одновРеменно пРиводЯтсЯ к диагональному виду [40, гл. 1О]. Если потенциальная энергия не является знакоопределенной, то хотя бы один диагональный элемент преобразованной матрицы [„т будет отрицательным. Отсюда следует существование корня характеристического уравнения, у которого Ке().) ) О. АОР-системы (примеры: гироскопический маятник, вагон монорельсовой дороги без демпфирующего устройства, волчок без трения). ') Как показано в работе )В), теоремы 3 н 4 не распространнютсн на полную (нелннеарнао ванную) систему уравнение движении. — Прим.
ред. 5.2, Малые колебания гироскопических систем ззз 7. Все корни характеристического уравнения консервативной системы, положение равновесия которой устойчиво, имеют вещественные части, равные нулю [38, стр. 49). Устойчивое положение равновесия может быть только при определенно-положительной потенциальной энергии О. Из приведенной теоремы, восходящей еще к Лагранжу, следует, что консервативная система, будучи выведена из устойчивого положения равновесия, совершает незатухающие колебания.
8. Неустойчивое положение равновесия консервативной системы при нечетном числе неустойчивых степеней свободы не может быгь стабилизирована никакими гироскопическими силами О [8, стр. 176[. Число неустойчивых степеней свободы равно числу корней Х, у которых гсе() ) ~ О. 9. Неустойчивое положение равновесия консервативной системы может быть стабилизирована гироскопическими силами О, если !) бе1(уа ) чь О, 2) потенциальная энергия О знакоопредгленна, 3) характеристическое уравнение не имеет кратных корней, 4) кинетический момент Н достаточно велик [8, стр. 179]. Теоремы 8 и 9 содержат классические результаты Томсона и Тэта [34).
Их практическое значение, однако, невелико, так как они относятся только к консервативным системам. У реальных систем энергия всегда рассеивается, вследствие чего состояние устойчивости может коренным образом измениться, как это будет видно из теоремы !!. !О. Устойчивое положение равновесия консервативной системы не может быть сделано неустойчивым добавлением гироскопических сил О [38, стр, 49). АООР-системы (пример: гироскопический маятник с демпфированием). !1, Если функция Рэлея Р опргделенно-положительна и матрица 1 не имеет равных нулю собственных значений, то устойчивость или неустойчивость не зависит от демпфирующих и гироскопических сил 0 и О, [41, стр.
47). Эта теорема чрезвычайно важна. В качестве гипотезы ее предложили Томсон и Тэт, а позднее сформулировал и доказал ь1етаев [32). Окончательно он показал, что полная АООР-система, описываемая уравнениями движения аауха + йауха+ аоауха+ [ауха' О (у ! 2 ' т) (6 37) будет устойчивой, если устойчива соответствующая АР-система, описываемая укороченными уравнениями движения аа х,+[„ух„=О (у=1, 2„..., т). (5.38) 5.
Гироскопические системы Иными словами, устойчивость АООР-системы определяется исключительно собственными значениями матрицы [ т, т. е. корнями уравнения йе!(7„,— )бкт) =О. С помощью теоремы 1! доказывается, что устойчивая система добавлением демпфирующих сил 0 может быть сделана неустойчивой. Например, можно показать, что гироскоп Лагранжа с верхним расположением центра тяже тв (а также н волчок) при учете демпфирующнх воздействий неустойчив, если применить введенное выше понятие устойчивости.
Этому не противоречит тот факт, что воздействие сил трения на волчок ведет к его выпрямлению и исчезновению прецессионного движения. При 1- кинетический момент станет настолько мал, что волчок опрокинется. Известную всем устойчивость волчка при достаточно большом кинетическом моменте следует поэтому назвать устойчивостью на конечном интервале времени или практической устойчивостью. !2. Если функция Рэлея 0 определенно-положительна, то число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью равно числу отрицательных собственных значений матрицы [, [41, стр. 47[.
!3. Устойчивое положение равновесия остается устойчивым при добавлении произвольных гироскопических сил О, и делиефирующих сил От со знакопостоянной положительной функцией Рэлея 0 (8, стр. 202[. В случае знакопостоянной положительной функции Рэлся 0 колебания системы по одной или нескольким степеням свободы будут незатухающими, в то время как все другие колебания затухают. 14, При знакопостоянной положительной функции Рэлея 0 и произвольных гироскопических силах О„движение системы неустойчиво, если все собственные значения матрицы [ отрицательны (41, стр. 48[. !5 Устойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым при добавлении сил 0 с положительно определенной функцией Рэлея 0 и произвольных гироскопических сил О [8, стр.
203[. АЕЕ-системы (пример: двойной маятник, причем на нижний маятник дейсгвует постоянная по величине сила, направление которой связано с этим маятником). !6 Положение равновесия консервативной системы при О = 0 может быть сделано устойчивым или неустойчивым добавлением неконсервативных позиционных сил Ее [35, стр. 108). АОРЕ-системы (прнмер; двойной маятник, такой же, как и выше, но с добавлением демпфирующих или ускоряющих сил). В 3. Системы с Оыстроараща~ощимися гироскопами 235 17. Если положение равновесия системы при 6 = О неустойчиво, то его нельзя стабилизировать добавлением неконсервативньгх позиционных сил Ет [39, стр. 33[. АРРЕЕ-системгм (примеры: гироскопический маятник с корректирующим устройством Сперри и демпфированием, вагон монорельсовой дороги со стабилизирующим устройством или вращающийся по околоземной орбите спутник с управляемой ориентапией).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
