Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 50
Текст из файла (страница 50)
к вычислению моментов, леаствующив нв волчок. оР" — скорость точки тела, совпадающей в данный момент с точ- кой опоры Р; слагаемые этой скорости образуются за счет дви- жения центра масс, вращения тела вокруг осей ! и 2 и собствен- ного вращения вокруг оси симметрии: олк = оз — Ьр + гуа, азлк =.;+ йа+ гК. (7.9) В силу малости составляющих оз величина Мз, определяемая соотношением (7.8), имеет второй порядок малости, поэтому из уравнения (7.7/3) в первом приближении следует, что у нзо = = сопз1. Подставляя (7.8) и (7.9) в уравнения (7.7), получаем систему уравнений для двух первых координат Аа+ ййеа — а6а+ Сото()+ Ипоой+ ййоз=О, (7А О) АР + И2Р— аб(3 — Созна — Игвтоа — Иоз = О.
7. Вращение тел, не имеющих неподвижной точни Используя два первых уравнения закона импульса (7.2), находим тбз = 77, = — й(оз — йр+ гю а), тдз= Я = — й(из+ йй+ ~~ 5). (7.!1) и = из+ 1оз. 1 2' (7.12) О= а+ 1р, Системы (7.10) н (7.!1) объединяются в одну систему дифферен- циальных уравнений с комплексными коэффициентами АО + ЬЬ вЂ” сб — ййш = О, ййб+ Ь вод+ ты + йод=О, (7.13) где для сокращения записи введены обозначения Ь= ЫР— (Сао, с = аб+ (яйгтоо, Воспользовавшись подстановкой стем получаем характеристическое уравнение системы (7.13) ! АЛ'+ ЬЛ вЂ” с — (яй =О, (7.14) или Лт [АЛ' — 1Са,Л вЂ” аб) + + й [(А + тй') Лх — 1(С + тйг) юоЛ вЂ” аб) = О.
(7.15) 7.2.2. Предельные случаи. Из уравнения (7.15) легко получить оба предельных случая, упомянутых выше. а) я = О, полное отсутствие трения ~ежду телом и опорной плоскостью. Из (7.15) следует АЛх — 1СотоЛ вЂ” а6 = О, или (7.16) Соответствующее движение не будет расходящимся только в том случае, когда Л имеет чисто мнимое значение. Для этого необходимо Схтоо ~ )4аСА (7.17) Третье уравнение закона импульса всегда удовлетворяется ввиду того, что в рассматриваемом движении при малых наклонах тела высота точки Б в первом приближении остается постоянной.
Для дальнейшего анализа введем комплексные переменные 7.2. Твердое тело на горнзонталаной плоскости что полностью соответствует условию устойчивости (3.70) тяжелого симметричного гироскопа с вертикальной осью при верхнем расположении центра тяжести. Следует только отметить, что в отличие от (3.70) в выражении (7.17) величина А означает момент инерции тела относительно поперечной оси, проходящей через точку 3, и вместо прежнего расстояния в между центром тяжести 3 и точкой опоры в выражение (7.!7) входит расстояние а от точки 3 до центра кривизны К.
Таким образом, прежней точке опоры соответствует точка К. Выражение (7.16) дает значения обеих действительных частот огн Сне ! 4аОА которые можно считать частотами нутации и прецессии. Центр масс во время движения остается неподвижным. Это легко увидеть из (7.11), положив й = О. Точка Р перемещается по кругу в направлении вращения тела с одной из частот (7.!8). о) й - оо, абсолютно шероховатая плоскость, случай чистого качения. Из уравнения (7.15) следует, что второе выражение в квадратных скобках должно обратиться в нуль. Сравнение со случаем а) обнаруживает полную аналогию, только вместо А появляется выражение А + тйг = А", а вместо С вЂ” выражение С + тйг. Необходимое условие устойчивости волчка на абсолютно шероховатой плоскости принимает вид (С+ тйг)г в,') 4а0(А+ тйг). (7.19) которое также выполняется на границе устойчивости и дает значение корня Л, = 1гво/й.
(7. 20) Подставляя значение корня (7.20) в первое выражение в квадратных скобках и приравнивая это выражение нулю, получаем соотношение, содержащее только параметры системы: вг — !С вЂ” А — ~ — аО = О. г гг г ~ о ь1 гг) (7.21) 7,2.3. Необходимое условие устойчивости для общего случая. При произвольном значении коэффициента й можно рассуждать следующим образом. Несмотря на комплекснозначные коэффициенты уравнения (7.15), граница области устойчивости соответствует чисто мнимым значениям Л. Но при Л = (в оба выражения в квадратных скобках становятся действительными, а поскольку первое из них еще умножается на Л, для выполнения (7.15) необходимо, чтобы оба выражения в квадратных скобках обращались в нуль.
Вычитая эти выражения одно из другого, получаем равенство тйЛ (йЛ вЂ” (гво) = О, йвз 7. Вращение тел, не имеющих неподвижной точки Таким образом, на границе области устойчивости должно выполняться соотношенне (7.21). Внутри области устойчивости левая часть (7.2!) положительна. В этом легко убедиться на примере иевращающегося тела (еоо = О). Известно, что оно устойчиво при а (О. Таким образом, необходимым условием устойчивости служит неравенство (7.22) Чтобы проанализировать полученное условие, рассмотрим плоскость (й/г, С/А)з изображенную на рис.
7.!О. Поскольку 0 с:С/А< й/г Рис. тна, диаграмма устоачивости лля волчков различных тисов (иостроевиаи ио яеобха лимтму условимр ( 2, нас может интересовать лишь выделенная на рисунке вертикальная полоса. Прямой й/у=1, соответствующей значению а = О, и гиперболой а ! А г С/А С выделенная полоса разбивается на четыре области.
Возможность обеспечения устойчивости в каждой из этих областей имеет свою специфику. й А Область 1: 1 « — —. Поскольку а+ г = й, то а ) О, левая С ' часть (7.22) отрицательна, так что независимо от величины угловой скорости собственного вращения оуо движение всегда неустойчиво. 7.2. Твердое тело нв горизонтальной плоскости 289 6 А Ь Область П: 1 « —; — —. Угловая скорость «тд, определяе- т' С г' мая соотношением отзв А (г/6) (С/А — г/Ь) ' играет роль критической. Устойчивое движение в этой области возможно лишь при ьзе ) ьзй, если же ьуе < мм то движение неустойчиво.
Область 1П: — « — 1. Теперь а (0 и условие (7.22) вы- А Ь г полняется при любом значении его. Движение всегда устойчиво. ь ь А Область 1Ъ'! — < 1; — < —. В этой области движение может г ' г С' быть устойчивым только при о!о ( ьуа., если же ьзо ) ом то движение неустойчиво. При ьуе = 0 система статически устойчива. Критическая скорость ьуй зависит от параметров системы. Ее значение обращается в бесконечность на граничной гиперболе /г/» = А/С.
Для быстрых гироскопов, согласно проведенным рассуждениям, диаграмма устойчивости имеет вид, представленный Нг а гни»гиле Ъ гис~ «гол рис. у.!!. Предельные диаграммы устойчивости дли быстрых (а! н медленнмк !Ь! волчков. на рис. 7.! 1, а. Для медленных гироскопов такая диаграмма (рис. 7.П,)у) совпадает с диаграммой статической устойчивости (/з/! < 1; а < 0) .
7.2.4. Следствия из диаграммы устойчивости. В справедливости полученной диаграммы можно убедиться с помощью опытов. Это вместе с тем показывает, что принятый закон трения удовлетво. )О К. Магнус т. вращение тел, не имеющих неподвижной точна рительно отражает реальные свойства трения. Впрочем, примечательно, что сам коэффициент трения А не входит в условие 17.22).
На диаграмме 7.11, а нанесены точки 1 — 6, соответствующие гироскопам, формы поперечных сечений которых представлены на рис. 7,12. Первый гироскоп неустойчив при любых, даже очень высоких скоростях собственного вращения; второй сохраняет устойчивость лишь при достаточно больших скоростях собственного вращения; четвертый устойчив при любой скорости; пятый устойчив только при небольших скоростях. оа гй Рвс.
7.!й. Формы сечений волчков рввлкчкык чкоов. Особенно интересен третий волчок, известный под названием тип-топ. Статически устойчивому положению За на диаграмме соответствует точка, лежащая в области, где при больших скоростях движение неустойчиво, поэтому при достаточно быстром вращении из положения За волчок переворачивается в положение ЗЬ и продолжает вращаться на своей ножке.
Положению ЗЬ на диаграмме соответствует точка в области, где при высоких скоростях движение устойчиво. Использованные уравнения первого приближения описывают, конечно, лишь начальную и завершающую стадии переворота волчка. У шестого гироскопа центр тяжести ниже точки опоры, й (0; такая форма использована в одном из гироскопических приборов !горизонт Флерие). При больших угловых скоростях, характерных для гироскопов, применяемых в технике, движение гироскопа на плоской опоре было бы неустойчивым. Однако для предотвращения боковых смещений опора выполняется в виде вогнутой 291 7.2. Твердое тело на горизонтальной плоскости поверхности.
Теория (Контенсу в !15)) показывает, что такая форма опоры обеспечивает и стабилизацию вращения вокруг вертикали. 7.2.5. Более общие случаи. Если поверхность тела в окрестности точки опоры Р не является сферой, то возникают новые эффекты, В этом случае радиус кривизны г в окрестности точки Р не постоянен, но обычно существуют два взаимно перпендикулярных направления, для которых радиус кривизны г принимает экстремальные значения.
Примером может служить тело яйцеобразной формы. Оказывается, что вращение вокруг вертикали для яйца, лежащего на боку, неустойчиво (рис. 7.!3, а). При достаточно быстром вращении яйцо поднимается из такого положения н продолжает вращаться на остром кончике (рис. 7.13, Ь). Рис. 7ЛЗ. Неустойчивое !а! и устойчивое !М положении тверлого тела яйцеобразной йюрмы, вращаюгцегосв вокруг вертикали. Весьма необычно поведение так называемого «кельтского камня» (Ке!1!зсЬег Фас(се!з1е)п). Это камешек неправильной формы, отличающийся тем, что направления главных кривизн в точке Р не совпадают с главными осями инерции. Теория, построенная Герглоцем [57], и опыт показывают, что устойчивость его вращения вокруг вертикали зависит от направления вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
