Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для этого перейдем от векторного уравнения (8.9) к системе скалярных уравнений, сохранив выбранную выше связанную с телом систему координат и положив 3 = 0: Ав, — ( — С) в,в, = — (С вЂ” В) аиазз зд г в=8 Вй, — (С вЂ” А) в,в, = — (А — С) аз,ам, зд го зв Сй, — (А — В) в,вг = й ( — А) аз,аз,. Эта система допускает в качестве частного решения вращение с постоянной угловой скоростью вокруг главной оси инерции, совпадающей с вертикалью ОА = ОМ. Если, например, вертикальна связанная с телом ось 3, то соответствующее частное решение системы (8.15) будет в! вг (1 вз взвя а31 азз 11 азз (8.16) Для исследования устойчивости этого вращения следует рассмот.
реть возмущенные движения, для которых переменные вь вз, азг, ам поэтому из (8.13) после интегрирования по времени следует Н' — — (ВСа,', + САа'„+ АВа,'-,) = Кв. (8.14) 298 8. Гироскоп в центрально. симметричном поле тиготении считаются малыми по абсолютной величине. Тогда из уравнения (8.15/3) и кннематического уравнения (3.31/3) следует, что скорость изменения величин вз и а33 имеет второй порядок малости; поэтому в теории первого приближения эти величины можно считать сохраняющими постоянные значения (8.16) '). Уравнениями возмущенного движения будут тогда первые два уравнения систем (8.15) и (3.31), которые с помощью обозна)ений С вЂ”  — =а, А В ' 8 =-Ь, — =х (8.! 7) записываются и виде й) + ао)зову — хаа32 О, й, — Ьа„в, + хЬам — — О, аз)+ а2 — азоа~з = О азу+ о)зоаз) вг (8.18) Характеристическое уравнение этой системы аазо О гь Ьх 1 гь азо — ах Ьазо 0 =0 г о)зо или )за+ рД2+д=О, где р= в,' (1+ аЬ) — х(а+ Ь), )7= аЬ(в' — х)2, (8.19) имеет корни !ь = — — -)- — )г р — 4)7.
2 2 (8.20) Ч Теория первого пряблнженяя здесь может дать только необкодямые условна устойчнвостя, так как характеристическое уравнение, соответствующее полной системе уравнснгг)) в взрначнях, имеет двукратный нулевой корень. — Прем. )гед. Невозмущенное движение будет устойчиво только тогда, когда корни 2ч 2 действительны и отрицательны.
Для этого коэффициенты р и )7, а также дискриминант р' — 4д должны быть положительны. В зависимости от величины главного момента инерции С относительно оси 3, вокруг которой вращается гироскоп, возможны три случая. При этом, не ограничивая общности, можно считать, что А>В.
1. А > С > В, т. е. С является средним по величине главным моментом инерции. Тогда вследствие (8.!7) будет а > 0 и Ь (О. 8.К Гироскоп с неподвижной точкой Если аЬ ( О, то из (8.19) следует, что д < О, поэтому перманентное вращение не может быть устойчивым. 2. А > В > С, т. е. С является наименьшим главным моментом инерции. В этом случае а ( О, Ь ( О, следовательно, р > О и з) > О. Дискриминант тоже положителен, так как из (8.19) следует, что р' — 44 = ет'„, (! — аЬ)'+ 2хот,' [4аЬ вЂ” (1 + аЬ) (а + Ь)[+ + х' (а — Ь)'! (8.21) среднее слагаемое здесь при аЬ > О, а+ Ь ( О будет положительным.
Следовательно, условия устойчивости выполняются. 3. С > А > В, т. е. С является наибольшим главным моментом инерции. Имеем а > О, Ь > О, следовательно, д > О. Коэффициент р будет положительным только при (8.22) Выражение для дискриминанта (8.21) разложим на множители: р' — 4д = ]созе(1 — [ аЬ)' — х ( а — 1 Ь)'] !тоз (1 + ) аЬ) — х ([' а + [ Ь)'] значит, дискриминант равен нулю при (Ь а — )Ь Ч з „, (Уа+1Ь ~' ~во=~и = ) - / " зо=мпз =х), ~! — раЬ / !+раЬ Учитывая, что озтт ( етттт, получаем условия положительности дискРиминанта: взо ( отзп и отз' ) етзп, Дла величин а и Ь вследствие С >А > В и неравенств (1.!О) справедливы условия 1 > а > > Ь > О, из которых следует, как нетрудно установить, двойное неравенство ( 1' а — р' Ь ) а+ Ь ( и' а + и' Ь ) означающее, что озн ( сот ( вщ. Таким образом, существует только одно критическое значение озк — — озттт угловой скорости, такое, что при отзо ( вщ условия устойчивости заведомо нарушаются, т.
е. неравенство „' В ! ~ В(с — В).;. кттз — ч~ з зз~ 1, 1/АВ +у(С А) (С вЂ” В)/ является необходимым условием устойчивости невозмущенного движения. Белецкий [58! доказал, что это и найденные выше для случаев 1 и 2 условия будут также достаточными. Итак, результаты исследования устойчивости перманентных вращений вокруг вертикально направленной главной оси инерции можно сформулировать в виде следующих трех утверждений. 8. Гироскоп в пентральио.симметричном поле тяготения 1.
Вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции неустоичиво. 2. Вращение вокруг оси, которой соответствует наименьший главный момент инерции, устойчиво. 3. Враи(ение вокруг оси, которой соответствует наибольший главный момент инерции, устойчиво только тогда, когда скорость вращения превосходит критическое значение (8.23) . Критическое значение (8.23) очень мало.
Например, вычисления, проведенные для симметричного диска (С =2А = 2В), находящегося на поверхности Земли, дают величину ьзк = = 2,15.10 — ' 1/с = 0,12 градгс. Отличие от поведения гироскопа Эйлера в однородном поле тяготения имеет место только в случае 3 при еззо ( пгк, однако следует отметить, что во всех случаях направление оси перманентного вращения уже не является произвольным; оно должно совпадать с направлением вертикали.
Для частного случая ьззе = 0 из проведенных исследований можно сделать вывод о том, что тело, имеющее возможность свободно двигаться вокруг неподвижного центра масс, находится в устойчивом положении равновесия только тогда, когда к центру притяжения направлена ось, соответствующая наименьшему главному моменту инерции.
8.2.4. Обобщенный гироскоп Лагранжа. Для гироскопа Лагранжа имеем А = В и з; =(О, О, з) = амз, где а,,— единичный вектор, направленный вдоль оси симметрии тела. Если уравнение движе- ния (8.9) умножить скалярно на а;з, то оба члена в правой части и второй член в левой части обратятся в нуль, так как соответ- ствующие векторные произведения при указанных предположе- ниях направлены перпендикулярно к оси симметрии тела. Таким образом, получаемое равенство имеет вид И'Нг ш гз иг агз = (Нгагз) = О, откуда после интегрирования Н ам= Нзе= сопз1, или вследствие Нз = Сезз гоз — — созе = сопз1.
(8.24) Найденный интеграл уравнения движения (8.9) вместе с интегралами (8.9) и (8.11) позволяют найти решение в квадратурах. Обратимся к особому случаю перманентного вращения гироскопа вокруг вертикальной оси симметрии, которому соответствует частное решение уравнения (8.9): оз! = ьзз = О ьзз = еззОю аз, = азз = О, азз =!. 8.2. Гироскоп с неподвнгкной точкой 301 Чтобы исследовать устойчивость этого движения, введем в рассмотрение возмущенные движения, для которых переменные огг, огз, азь азз предполагаются малыми, а величины огз и азз — сохраняющими, согласно теории первого приближения, постоянные значения огз — огзо, ам -- 1, так как скорость их изменения имеет второй порядок малости').
Из двух первых скалярных уравнений, получаемых проектированием векторного уравнения (8.9), находим следующие уравнения возмущенного движения: зд Аогг — (А — С) огзвогз = баз,з — — (А — С) азз, Аогз+ (А — С) огзюогг = — баз,з+ ~ (А — С) азг зд (8.25) Эти дифференциальные уравнения имеют тот же вид, что и урав- нения (3.35) для случая гироскопа Лагранжа в однородном поле тяготения, только вместо величины 68 здесь фигурирует выра- жение 68 — — (А — С). Зд й Сзвгз )4А [68 — ~ (А — С)]. (8.26) Это неравенство при тс- оо переходит в найденное ранее условие (3.70). Для гироскопа Лагранжа с закрепленным центром масс (8=0) из (8.26) следует, что его устойчивость существенно зависит от формы эллипсоида инерции.
Вытянутый гироскоп (А ) С) всегда устойчив, а сплюснутый гироскоп (А ( С) будет устойчив лишь тогда, когда угловая скорость превосходит критическое значение огк, что согласуется с результатом, полученным в п. 8.2.3. Критическое значение огх = с )г'(Зйе/)т') А (С вЂ” А) можно получить из (8.25) или из (8.23). 8.2.5. Обобщенные вращения Штауде. Тяжелый несимметричный гироскоп в центрально-симметричном поле тяготения тоже может совершать перманентные вращения вокруг оси, неподвижной как 'г См. нримечеине не етр. Ззз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
