Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Эти кривые можно Рис. !0.2. К приближенной Формуле лля составляющих вектора кинетического мо. мента ИГ Рис, !0.3. Зависимость собствеяных частот ми и мр от кинетического момента н. рассматривать как частные случаи исследованных выше кривых, показанных на рис. 3.22. При Н = 0 мы получаем для частот колебаний выражения ~~ = )l — 6з/В, ~~ = )/ — 6З/А, (10.16) которые являются действительными числами только в случае маят- ника с нижним расположением центра тяжести (г ( 0). Для боль- шого Н частоты будут Н р ~О~~ (10.17) 10.
Элементы инженерной теории гироскопов 352 независимо от знака ж Эти формулы дают хорошее приближение для частот нутации и прецессии при достаточно большом кинетическом моменте Н. На рис. 10.3 им соответствуют сплошные кривые, проведенные тонкой линией (прямая и гипербола). К приближенным значениям (10.17) можно прийти двояким путем: либо разложив характеристическое уравнение (10.14) на множители, либо упростив исходные уравнения (10.11).
Если момент Н очень велик, то в уравнении (!0.14) доминирует второе слагаемое. Тогда, поскольку Н' » Вз(А + В), уравнение можно разложить на множители: АВ (Л'+ АВ ) ~Л + е ) ж О. Корнями этого уравнения являются приближенные значения (10.17). Последние показывают, что при большом кинетическом моменте нутация не зависит от момента силы тяжести, а прецессия — от моментов инерции. Поэтому соответствующими составляющими можно пренебречь непосредственно в исходных уравнениях (10.1!). Тогда нутационное движение может быть приближенно определено из системы уравнений Аа+Нр = О, ВΠ— На = О, (10.!8) а прецессионное — из системы НΠ— !гза = О, — На — Озй = О.
(10. 19) Этому результату можно дать физическую интерпретацию: при нутационном движении быстровращающегося гироскопа уравновешиваются гироскопический и инерционный моменты, а при прецессионном движении определяющим является равновесие гироскопического момента и момента внешних сил. Этот результат можно положить в основу весьма общих приближенных расчетов гироскопических систем.
Так, например, прецессионное движение, описываемое системой (10.4), можно найти из приближенных урав- нений Нсоз()р = М„ — Н созйа = Мв. Уравнения такого рода называют техническими уравнениями гироскопа. Иначе они называются также уравнениями прецессионной теории. Те же уравнения можно получить с помощью описанного в п. 5.3.1 общего метода приближений для случая быстровращающегося гироскопа.
Обращение к техническим уравнениям шпвоскопов равносильно пренебрежению нутационным движением. Для очень многих слу- 10.2. Лвюненне относительно вращающейся системы ноорлпнат Зйв 10.2. Движение гироскопа относительно вращающейся системы координат Описанный метод вывода приближенных уравнений остается в силе и в том случае, когда система отсчета вращается.
При этом предполагается, что ось ротора лишь немного отклоняется от некоторого направления, неизменного в выбранной системе координат. Это направление обычно совпадает с положением равновесия. Для большого числа гироскопических приборов, например для различного рода поворотных гироскопов (гл. !5), названная предпосылка оправдывается. Если 1ат = (йь Оа, 1)а) — вектор угловой скорости системы отсчета, то вектор кинетического момента Н; вместо прежнего выражения (!О.!2) может быть записан в виде А (а + й,) + Нй 1 Н, = В (5 + ь!а) — Ни ~.
Н (!0.2!) При этом мы снова принимаем Ма=0, так что кинетический момент Н = Сл (у+ а з!и 5+ Щ) постоянен. Обычно переносное вращение системы отсчета бывает столь медленным, что ьаа « у. !2 К. Магнус чаев применения гироскопов это вполне допустимо.
Следует, однако, напомнить, что при этом наряду с нутационными колебаниями мы пренебрегаем и вызываемыми имн вторичными явлениями, например кинетическими уходами, исследованными в $4.4. Их невозможно определить из приближенных уравнений. Если требуется описать эти эффекты, то можно применить прием, которым мы пользовались в 3 4.4. При этом малыми считаются только углы отклонения, но не их производные по времени. Полученные таким образом приближенные уравнения еще содержат нелинейные члены. Они образуют своего рода промежуточную ступень между точными исходными уравнениями и уравнениями движения, линеаризованными методом малых колебаний.
Вывод приближенных уравнений теории гироскопов способом, продемонстрированным на выбранном выше примере, имеет смысл только при выполнении следующих условий: 1) ротор симметричен (А" = В") и вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью; 2) нутационные колебания отсутствуют или весьма малы, т. е. кинетическая ось и ось симметрии ротора практически совпадают; 3) кинетический момент Н = Слота велик. В связи с рассуждениями, проведенными нами на базе простого, но типичного примера, следует указать на исследования более общего характера, с которыми мы познакомились в $ 5.2 и 5.3.
Разобранный там пример гироскопа в трехрамном подвесе (п. 5.3.3) также показывает значение полученных здесь результатов. !О. Элементы инженерной теории гироскопов 364 Тогда одновременно Айе « Н и Вй, « Н. Учитывая эти соотношения, после подстановки (10.21) в (10.1) мы получаем систему уравнений Аа+ Нр+ Нйза = М, — Ай, — Нй„ (10.22) Вн На + Нйзн Ме вйе + Нй1 ° Из этих уравнений видно, что направление оси ротора относи- тельно системы координат будет сохраняться только при наложе- нии моментов М~ = АЙ~ + Нйе, (10.23) м,= вй,— нй, отн соз ~р 0 гона!п р (10.24) где гр — географическая широта и гон — угловая скорость Земли (рис.
1ОА). Вектор результирующего момента равен Она+ М! ттз!1+ Ме 0 где 6з — момент силы тяжести, а М;=(Мы Ме) — дополнительный момент. Подставив М; в (10.22), получим уравнения движения относительно осей обеих рамок. Поэтому к приборам, ие снабженным датчиками моментов (М~ = Ме —— 0), уравнения (!0.22) приложимы лишь при условии й, = йт —— О, т. е. при совпадении оси вращения системы координат с осью ротора в ее положении равновесия. Это имеет место, например, у гироскопических горизонтов на вираже, о чем речь пойдет ниже (гл.
12). На вращение системы отсчета указывает не только появление возмущающих членов в правых частях уравнений (10.22), но и наличие по одному из них в левых частях. Эти составляющие можно воспринимать как дополнительные восстанавливающие или опрокидывающие моменты: при йз) О, т.е. при вращении системы координат в направлении вращения ротора, дополнительный момент является восстанавливающим, а при йл ( 0 — опрокидывающим. Названное свойство выявляет стремление оси ротора и оси вращения системы координат к одноименному параллелизму, Рассмотрим простой пример гироскопического маятника, точка подвеса которого неподвижна относительно вращающейся Земли. Если ось внешней рамки горизонтальна и направлена на север, а ось ротора в положении равновесия направлена вертикально вверх, то 102.
движение относительно вращающейся системы координат Заа в виде Аа + Н(1+(Нювз!пгр — Ог) а=М1, Вр — На + (Нсо~ з!п йу — 6з) () = Мй + Нсол соз гр, Чтобы ось ротора оставалась неподвижной относительно Земли, нужно сформировать дополнительный момент по закону М)=0, Мй= — Нщвсозгр. (10.25) Такой момент относительно оси внутренней рамки постоянно поддерживает горизонтальное положение плоскости внешней рамки. гам !р Рис. 10.4. Составляющие углояой скорости Земли ю,. для точки наблюдения с географиче- Я ской широтой р Гироскопический маятник может совершать колебания около положения равновесия, которые нетрудно определить из левых частей уравнений (10.25). При достаточно большом Н (быстровращающийся гироскоп) мы получим следующие приближенные значения обеих возможных частот: сам сор щ зщ ф Нн.аа !' АВ Н (10.26) 1йе Выражение частоты иутаций осталось таким же, как и в (10.17), а в выражении частоты прецессии появилась составляющая, зависящая от вращения Земли; ее следует прибавить или отнять в зависимости от знака второго слагаемого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
